Calcolo del determinante di una matrice

Calcolo del determinante di una matrice

Versione italiana

Calcolo del determinante di una matrice

Il determinante di una matrice è un valore scalare che fornisce informazioni importanti sulle proprietà della matrice, come la sua invertibilità. Ecco come calcolare il determinante per matrici di diverse dimensioni:

1. Matrice 2x2

Per una matrice A$A$ di dimensione 2x2:

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Il determinante è calcolato come:

\text{det}(A) = ad - bc

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

2. Matrice 3x3

Per una matrice B$B$ di dimensione 3x3:

B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

$$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

Il determinante può essere calcolato usando la regola di Sarrus o l'espansione per cofattori. Usando l'espansione per cofattori, otteniamo:

\text{det}(B) = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}

$$\text{det}(B) = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}$$

Calcolando i determinanti delle sottomatrici 2x2, otteniamo:

\text{det}(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$\text{det}(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

3. Matrice di dimensione n x n

Per matrici di dimensione superiore a 3x3, puoi utilizzare l'espansione per cofattori lungo una riga o una colonna. La formula generale è:

\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(M_{ij})

$$\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(M_{ij})$$

dove M_{ij}$M_{ij}$ è la matrice ottenuta eliminando la riga i$i$ e la colonna j$j$ dalla matrice A$A$.

Esempio di calcolo del determinante di una matrice 3x3

Consideriamo la matrice:

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcoliamo il determinante usando l'espansione lungo la prima riga:

\text{det}(C) = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

$$\text{det}(C) = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$

Calcoliamo i determinanti delle sottomatrici:

\text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = (1 \cdot 0) - (4 \cdot 6) = -24

$$\text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = (1 \cdot 0) - (4 \cdot 6) = -24$$

\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = (0 \cdot 0) - (4 \cdot 5) = -20

$$\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = (0 \cdot 0) - (4 \cdot 5) = -20$$

\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (0 \cdot 6) - (1 \cdot 5) = -5

$$\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (0 \cdot 6) - (1 \cdot 5) = -5$$

Ora sostituiamo:

\text{det}(C) = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1

$$\text{det}(C) = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$

Quindi, il determinante della matrice C$C$ è 1.

Calcolo del Determinante di una Matrice 3x3 con il Metodo di Sarrus

Consideriamo la seguente matrice:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Passaggi per il Calcolo

1. Scrivi la matrice e ripeti le prime due colonne a destra:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$

2. Calcola la somma dei prodotti delle diagonali che vanno dall'alto a sinistra al basso a destra:

D_1 = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

$$D_1 = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}$$

3. Calcola la somma dei prodotti delle diagonali che vanno dall'alto a destra al basso a sinistra:

D_2 = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33}

$$D_2 = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33}$$

4. Il determinante è dato dalla differenza tra queste due somme:

\text{det}(A) = D_1 - D_2

$$\text{det}(A) = D_1 - D_2$$

Esempio

Consideriamo la matrice:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Calcoliamo il determinante usando il metodo di Sarrus:

1. Somma delle diagonali dall'alto a sinistra al basso a destra:

D_1 = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 = 225

$$D_1 = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 = 225$$

2. Somma delle diagonali dall'alto a destra al basso a sinistra:

D_2 = 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9 = 105 + 48 + 72 = 225

$$D_2 = 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9 = 105 + 48 + 72 = 225$$

3. Calcoliamo il determinante:

\text{det}(A) = D_1 - D_2 = 225 - 225 = 0

$$\text{det}(A) = D_1 - D_2 = 225 - 225 = 0$$

Quindi, il determinante della matrice A$A$ è 0$0$.

English version

Calculating the determinant of a matrix.

The determinant of a matrix is a scalar value that provides important information about properties of the matrix, such as its invertibility. Here is how to calculate the determinant for matrices of different sizes:

1. 2x2 matrix

For a matrix A$A$ of dimension 2x2:

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

The determinant is calculated as:

\text{det}(A) = ad - bc

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

2. 3x3 matrix

For a matrix B$B$ of dimension 3x3:

B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$.

The determinant can be calculated using Sarrus' rule or the expansion by cofactors. Using the expansion by cofactors, we get:

\text{det}(B) = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b  \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c  \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}

$$\text{det}(B) = a \cdot \text{det}\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c \cdot \text{det}\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}$$

Calculating the determinants of the 2x2 submatrices, we obtain:

\text{det}(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$\text{det}(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

3. Matrix of dimension n x n

For matrices of size greater than 3x3, you can use expansion by cofactors along a row or column. The general formula is:

\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(M_{ij})

$$\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(M_{ij})$$

where M_{ij}$M_{ij}$ is the matrix obtained by removing row i$i$ and column j$j$ from matrix A$A$.

Example of calculating the determinant of a 3x3 matrix.

Consider the matrix:

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$

We calculate the determinant using the expansion along the first line:

\text{det}(C) = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

$$\text{det}(C) = 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$

We calculate the determinants of the submatrices:

\text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = (1 \cdot 0) - (4 \cdot 6) = -24

$$\text{det}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = (1 \cdot 0) - (4 \cdot 6) = -24$$

\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = (0 \cdot 0) - (4 \cdot 5) = -20

$$\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = (0 \cdot 0) - (4 \cdot 5) = -20$$

\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (0 \cdot 6) - (1 \cdot 5) = -5

$$\text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (0 \cdot 6) - (1 \cdot 5) = -5$$

Now we substitute:

\text{det}(C) = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1

$$\text{det}(C) = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$

Thus, the determinant of the matrix C$C$ is 1.

Calculating the Determinant of a 3x3 Matrix with the Sarrus Method

Consider the following matrix:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Calculating Steps

1. Write the matrix and repeat the first two columns on the right:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$

2. Calculate the sum of the products of the diagonals from the top left to the bottom right:

D_1 = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

$$D_1 = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}$$

3. Calculate the sum of the products of the diagonals from the top right to the bottom left:

D_2 = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33}

$$D_2 = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33}$$

4. The determinant is given by the difference between these two sums:

\text{det}(A) = D_1 - D_2

$$\text{det}(A) = D_1 - D_2$$

Example

Consider the matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Let's calculate the determinant using the Sarrus method:

1. Sum of the diagonals from top left to bottom right:

D_1 = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 = 225

$$D_1 = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 = 225$$

2. Sum of the diagonals from top right to bottom left:

D_2 = 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9 = 105 + 48 + 72 = 225

$$D_2 = 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9 = 105 + 48 + 72 = 225$$

3. Let's calculate the determinant:

\text{det}(A) = D_1 - D_2 = 225 - 225 = 0

$$\text{det}(A) = D_1 - D_2 = 225 - 225 = 0$$

So, the determinant of the matrix A$A$ is 0$0$.