Formulario analisi II
Proprietà delle serie
Formule per calcolare una somma di una serie geometrica
Ci sono diversi casi:
Formula del cambio di base
che tende all'infinito:
che tende ad un numero:
Determinare il comportamento di una serie
Criterio del rapporto
Sia 
definitivamente e supponiamo che 
. Allora:
se
se
se
Criterio del confronto asintotico
Date due successioni 
e 
a termini definitivamente positivi, se 
(ovvero se 
) allora le corrispondenti serie 
hanno lo stesso carattere, cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti
Seria armonica generalizzata
È una serie armonica di questa forma 
. Al variare di 
abbiamo che:
diverge
converge
Hessiano (H) e punti critici
- 
e 
il punto è di minimo
- e 
il punto è di massimo
- 
, il punto è di sella
- 
, il punto può essere di minimo, di massimo o di sella
Matrice hessiana di f
Convessità e concavità di una funzione a due variabili
convessa = se
è semidefinita positiva o definita positivaconcava: se
è semidefinita negativa o definita negativa
Derivata direzionale
Massima crescita
Minima crescita
Piano tangente
Migliore approssimazione lineare
Polinomio di Taylor di ordine 2
Curve
Una curva 
si dice:
chiusa:
semplice: preso un intervallo
cartesiana: se è semplice e piana
piana: se n = 2
regolare:
Velocità scalare: 
Velocità vettoriale: 
Accelerazione vettoriale: 
Accelerazione scalare: 
Vettore tangente: 
Versore tangente: 
Retta tangente: 
Curva rettificabile: 
Lunghezza della curva: 
Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine omogenea
Es. 
Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine non omogenea
Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea
se
, dette 
le due soluzioni reali dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è: 
se
, detta 
la soluzione (reale) dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è: 
e 
sono le due soluzioni complesse dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione omogenea è:
Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
es. 
la soluzione generale, y(x), sarà data da:
La soluzione particolare, 
, dipende da che cosa c’è a dx dell’equazione:
costante:
a non è il coefficiente nell’equazionepolinomio di primo grado:
Poi si deve moltiplicare i coefficienti dell’equazione caratteristica per la soluzione particolare e le sue derivate: 
Procedimento
risolvo l’equazione caratteristica associata e trovo la soluzione generale
uguaglio la soluzione particolare alla parte a dx della funzione di partenza, e poi calcolo le derivata prima e secondo della soluzione particolare
per trovare il valore della soluzione particolare, prendo i coefficienti dell’equazione caratteristica e li moltiplico per la soluzione particolare e per le sue derivate (il coefficiente moltiplicato per
andrà moltiplicato per la derivata seconda, ll coefficiente moltiplicato per 
per la derivata prima e il termine noto per la soluzione particolare) ponendo il tutto uguale alla parte dx dell’equazione differenziale di partenzasostituisco il valore della soluzione particolare nella soluzione generale
Circonferenza
equazione:
raggio:
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