Formulario analisi II

Formulario analisi II

Proprietà delle serie

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Formule per calcolare una somma di una serie geometrica

Ci sono diversi casi:

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Formula del cambio di base

• che tende all'infinito:

• che tende ad un numero:

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Determinare il comportamento di una serie

Criterio del rapporto

Sia definitivamente e supponiamo che . Allora:

• se

• se

• se

Criterio del confronto asintotico

Date due successioni e a termini definitivamente positivi, se (ovvero se ) allora le corrispondenti serie hanno lo stesso carattere, cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti

Seria armonica generalizzata

È una serie armonica di questa forma . Al variare di abbiamo che:

• diverge

• converge

Hessiano (H) e punti critici

- e   il punto è di minimo

- e    il punto è di massimo

- , il punto è di sella

- , il punto può essere di minimo, di massimo o di sella

Matrice hessiana di f

Convessità e concavità di una funzione a due variabili

• convessa = se è semidefinita positiva o definita positiva

• concava: se è semidefinita negativa o definita negativa

Derivata direzionale

Massima crescita

Minima crescita

Piano tangente

Migliore approssimazione lineare

Polinomio di Taylor di ordine 2

Curve

Una curva si dice:

• chiusa:

• semplice: preso un intervallo 

• cartesiana: se è semplice e piana

• piana: se n = 2

• regolare:

Velocità scalare:

Velocità vettoriale:

Accelerazione vettoriale:

Accelerazione scalare:  

Vettore tangente:

Versore tangente:

Retta tangente:

Curva rettificabile:

Lunghezza della curva:

Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine omogenea

Es.

Soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine non omogenea

Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea

1. se , dette le due soluzioni reali dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è:  

2. se , detta la soluzione (reale) dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è:

3. e sono le due soluzioni complesse dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione omogenea è:

Soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea

es.

la soluzione generale, y(x), sarà data da:

•  

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• 

La soluzione particolare, , dipende da che cosa c’è a dx dell’equazione:

• costante:     a non è il coefficiente nell’equazione

• polinomio di primo grado:  

Poi si deve moltiplicare i coefficienti dell’equazione caratteristica per la soluzione particolare e le sue derivate:

Procedimento

1. risolvo l’equazione caratteristica associata e trovo la soluzione generale

2. uguaglio la soluzione particolare alla parte a dx della funzione di partenza, e poi calcolo le derivata prima e secondo della soluzione particolare

3. per trovare il valore della soluzione particolare, prendo i coefficienti dell’equazione caratteristica e li moltiplico per la soluzione particolare e per le sue derivate (il coefficiente moltiplicato per andrà moltiplicato per la derivata seconda, ll coefficiente moltiplicato per per la derivata prima e il termine noto per la soluzione particolare) ponendo il tutto uguale alla parte dx dell’equazione differenziale di partenza

4. sostituisco il valore della soluzione particolare nella soluzione generale

Circonferenza

• equazione:

• raggio: