Disequazioni

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Versione italiana

Disequazioni

Le disequazioni sono espressioni matematiche che coinvolgono un'ineguaglianza tra due membri. Le forme più comuni di disequazioni utilizzano i seguenti simboli:

• > (maggiore di)
• < (minore di)
• >= (maggiore o uguale a)
• <= (minore o uguale a)

Tipi di Disequazioni

1. Disequazioni Lineari: Hanno la forma ax + b > 0$ax + b > 0$ o simili, dove a$a$ e b$b$ sono costanti e x$x$ è la variabile.

   Esempio:

   2x - 3 < 5

   $$2x - 3 < 5$$

2. Disequazioni Quadratiche: Hanno la forma ax^2 + bx + c > 0$ax^2 + bx + c > 0$.

   Esempio:

   x^2 - 4x + 3 \geq 0

   $$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

Risoluzione delle Disequazioni

Disequazioni Lineari

Per risolvere una disequazione lineare, segui questi passaggi:

1. Isola la variabile su un lato dell'ineguaglianza.
2. Se moltiplichi o dividi per un numero negativo, inverti il segno dell'ineguaglianza.

Esempio:

2x - 3 < 5

$$2x - 3 < 5$$

Aggiungendo 3 a entrambi i lati:

2x < 8

$$2x < 8$$

Dividendo per 2:

x < 4

$$x < 4$$

Disequazioni Quadratiche

Per risolvere una disequazione quadratica:

1. Trova le radici dell'equazione associata ax^2 + bx + c = 0$ax^2 + bx + c = 0$.
2. Determina i segni dell'espressione nei vari intervalli definiti dalle radici.

Esempio:

x^2 - 4x + 3 \geq 0

$$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

Le radici sono x = 1$x = 1$ e x = 3$x = 3$. Analizzando i segni, otteniamo:

• (-\infty, 1)$(-\infty, 1)$: positivo
• (1, 3)$(1, 3)$: negativo
• (3, +\infty)$(3, +\infty)$: positivo

Quindi, la soluzione è:

x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)

$$x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$$

English version

Inequalities

Inequalities are mathematical expressions that involve an inequality between two members. The most common forms of inequalities use the following symbols:

• > (greater than)
• < (less than)
• >= (greater than or equal to)
• <= (less than or equal to)

Types of Inequalities

1. Linear Inequalities: They have the form ax + b > 0$ax + b > 0$ or similar, where a$a$ and b$b$ are constants and x$x$ is the variable.

Example:

2x - 3 < 5

$$2x - 3 < 5$$

2. Quadratic Inequalities: They have the form ax^2 + bx + c > 0$ax^2 + bx + c > 0$.

Example:

x^2 - 4x + 3 \geq 0

$$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

Solving Inequalities

Linear Inequalities

To solve a linear inequality, follow these steps:

1. Isolate the variable on one side of the inequality.
2. If you multiply or divide by a negative number, reverse the sign of the inequality.

Example:

2x - 3 < 5

$$2x - 3 < 5$$

Adding 3 to both sides:

2x < 8

$$2x < 8$$

Dividing by 2:

x < 4

$$x < 4$$

Quadratic Inequalities

To solve a quadratic inequality:

1. Find the roots of the associated equation ax^2 + bx + c = 0$ax^2 + bx + c = 0$.
2. Determine the signs of the expression in the various intervals defined by the roots.

Example:

x^2 - 4x + 3 \geq 0

$$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

The roots are x = 1$x = 1$ and x = 3$x = 3$. Looking at the signs, we get:

• (-\infty, 1)$(-\infty, 1)$: positive
• (1, 3)$(1, 3)$: negative
• (3, +\infty)$(3, +\infty)$: positive

So, the solution is:

x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)

$$x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$$