Versione italiana
Calcolo di un'Applicazione Lineare
Un'applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Se T: V \to W è un'applicazione lineare, allora per ogni \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V e ogni scalare c si ha:
-
Additività:
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
-
Omogeneità:
T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})
Rappresentazione Matriciale
Se T è un'applicazione lineare da \mathbb{R}^n a \mathbb{R}^m, può essere rappresentata da una matrice A di dimensione m \times n. L'applicazione lineare può essere calcolata come:
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}
dove \mathbf{x} è un vettore colonna in \mathbb{R}^n.
Esempio di Applicazione Lineare
Consideriamo un'applicazione lineare T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definita dalla matrice:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
1. Calcolo dell'Applicazione Lineare
Sia \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. Calcoliamo T(\mathbf{x}):
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
2. Esecuzione del Prodotto Matriciale
Calcoliamo il prodotto:
T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}
Quindi, l'immagine del vettore \mathbf{x} sotto l'applicazione lineare T è:
T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}
English version
Calculating a Linear Application
A linear application is a function between two vector spaces that preserves the operations of addition and multiplication for a scalar. If T: V \to W is a linear map, then for every \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V and every scalar c we have:
- Additivity:
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
- Homogeneity:
T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})
Matrix Representation
If T is a linear map from \mathbb{R}^n to \mathbb{R}^m, it can be represented by a matrix A of size m \times n. The linear application can be computed as:
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}
where \mathbf{x} is a column vector in \mathbb{R}^n.
Linear Application Example
Let's consider a linear application T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 defined by the matrix:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
1. Calculating the Linear Application
Let \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. Let's calculate T(\mathbf{x}):
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
2. Performing the Matrix Product
Let's calculate the product:
T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}
So, the image of the vector \mathbf{x} under the linear application T is:
T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}
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