Calcolo di un'Applicazione Lineare

Calcolo di un'Applicazione Lineare

Versione italiana

Calcolo di un'Applicazione Lineare

Un'applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Se T: V \to W$T: V \to W$ è un'applicazione lineare, allora per ogni \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ e ogni scalare c$c$ si ha:

1. Additività:

   T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})

   $$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$$

2. Omogeneità:

   T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})

   $$T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$$

Rappresentazione Matriciale

Se T$T$ è un'applicazione lineare da \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$ a \mathbb{R}^m$\mathbb{R}^m$, può essere rappresentata da una matrice A$A$ di dimensione m \times n$m \times n$. L'applicazione lineare può essere calcolata come:

T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}

$$T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}$$

dove \mathbf{x}$\mathbf{x}$ è un vettore colonna in \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$.

Esempio di Applicazione Lineare

Consideriamo un'applicazione lineare T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definita dalla matrice:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

1. Calcolo dell'Applicazione Lineare

Sia \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Calcoliamo T(\mathbf{x})$T(\mathbf{x})$:

T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

$$T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

2. Esecuzione del Prodotto Matriciale

Calcoliamo il prodotto:

T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}

$$T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Quindi, l'immagine del vettore \mathbf{x}$\mathbf{x}$ sotto l'applicazione lineare T$T$ è:

T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}

$$T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

English version

Calculating a Linear Application

A linear application is a function between two vector spaces that preserves the operations of addition and multiplication for a scalar. If T: V \to W$T: V \to W$ is a linear map, then for every \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ and every scalar c$c$ we have:

1. Additivity:

T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})

$$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$$

2. Homogeneity:

T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})

$$T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$$

Matrix Representation

If T$T$ is a linear map from \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$ to \mathbb{R}^m$\mathbb{R}^m$, it can be represented by a matrix A$A$ of size m \times n$m \times n$. The linear application can be computed as:

T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}

$$T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}$$

where \mathbf{x}$\mathbf{x}$ is a column vector in \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$.

Linear Application Example

Let's consider a linear application T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ defined by the matrix:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

1. Calculating the Linear Application

Let \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Let's calculate T(\mathbf{x})$T(\mathbf{x})$:

T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

$$T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

2. Performing the Matrix Product

Let's calculate the product:

T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}

$$T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

So, the image of the vector \mathbf{x}$\mathbf{x}$ under the linear application T$T$ is:

T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}

$$T\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$$