Riassunti scienza delle costruzioni

Riassunti scienza delle costruzioni

Cinematica dei corpi rigidi

Corpo rigido = sistema materiale continuo indeformabile in cui la distanza relativa tra due punti qualunque del corpo rigido è immutabile.

Configurazione del corpo rigido = insieme delle posizioni occupate dai punti costituenti il sistema

Sistema di corpi rigidi = insieme di corpi rigidi distinti

Gradi di libertà = è il numero di parametri indipendenti necessari a definire la configurazione di un corpo rigido.

Un corpo rigido nello spazio possiede 6 gradi di libertà, mentre nel piano ne possiede 3.

Spostamenti rigidi

Def. : considerato un corpo rigido che inizialmente occupa la posizione C (configurazione iniziale o indeformata). Si supponga che a causa di azioni esterne il corpo occupi una nuova posizione C’ (configurazione variata o finale).

Si dice allora che il corpo rigido ha subito un trasporto della configurazione iniziale a quella variata ovvero una trasformazione .

Se nel passaggio della configurazione iniziale a quella finale rimane invariata la distanza di una qualsiasi coppia di punti, il trasporto è detto rigido.

 

Spostamento di un corpo rigido = è definito dall’insieme di spostamenti compiuti da tutti i punti del corpo nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella finale.

Spostamento rigido piano = si ha quando gli spostamenti sono tutti paralleli ad uno stesso piano.

I tipi di spostamento sono due:

• traslazione = se tutti i punti P del corpo compiono spostamenti uguali in direzione, verso e intensità:         d = vettore di traslazione.

• rotazione intorno ad un asse = se tutti i punti appartenenti a una retta a non mutano posizione nel passaggio . La rotazione è descritta dal vettore  a = versore dell’asse di rotazione

Spostamento generico

Nei casi più generali, lo spostamento di un corpo rigido può essere espresso come composizione di una traslazione e di una rotazione (rototraslazione)

Formula generale dello spostamento rigido infinitesimo

Spostamento rigido infinitesimo = si ha quando le configurazioni C e C’ sono molto vicine. In questo caso (ipotesi dei piccoli spostamenti) è possibile introdurre notevoli semplificazioni.

Rotazione infinitesima (attorno ad un asse fisso passante per O) = è perpendicolare alla direzione OP e si esprime:

Di conseguenza, poiché il generico spostamento rigido è riconducibile ad una rototraslazione, la formula generale dello spostamento sarà:         = spostamento di un punto O

Rappresentazione scalare

Si scelga un sistema cartesiano ortogonale con origine coincidente con il polo O (O, x, y, z), in tale sistema di riferimento le componenti dei vettori che compaiono sono:     

Poiché risulta:

L’equazione può essere riscritta in forma scalare

Ovvero in forma matriciale

Questa matrice è detta matrice di rotazione rigida ed è emisimmetrica

Matrice emisimmetrica = data la diagonale della matrice, i valori in basso a dx e in alto a sx sono opposti

Lo spostamento di p può essere espresso come:

Dalla matrice risulta che lo spostamento di ogni punto del corpo è noto se sono note le sei grandezze:

Il vettore q è detto vettore degli spostamenti generalizzati e le sue componenti prendono il nome di parametri dello spostamento o parametri lagrangiani

 

Spostamenti rigidi piani

In questo caso gli spostamenti di tutti i punti sono paralleli a un medesimo piano: fissato un sistema di riferimento (x, y) su tale piano, deve risultare sempre nulla la componente w, ciò comporta che . Ponendo la formula generale dello spostamento diventa:

Il vettore degli spostamenti generalizzati ha quindi solo tre componenti:

Pertanto un corpo rigido nel piano possiede 3 gradi di libertà e il suo generico spostamento può essere sempre pensato come sovrapposizione di una traslazione di e e una rotazione rigida attorno ad un’asse perpendicolare al piano dello spostamento.

Dal sistema emerge che esiste sempre un punto c del piano che non subisce spostamenti esso a coordinate: e

Questo punto prende il nome di centro di rotazione.

La formula generale del piano può essere riscritta:

Ogni spostamento rigido nel piano è dunque una rotazione.

In particolare, la traslazione () può essere interpretata come una rotazione infinitesima in cui il centro è un punto all’infinito.

 

Sistemi di corpi rigidi

Si consideri un sistema di corpi rigidi e sia la configurazione occupata dall’i-esimo corpo rigido. Detto lo spostamento del generico punto appartenente all’i-esimo corpo e un punto arbitrario solidale con il corpo i-esimo, si ha:  

Le precedenti equazioni possono essere messe in forma scalare

Nello spazio i parametri dello spostamento sono sei per ogni corpo e il vettore degli spostamenti generalizzati ha dimensione () e può essere posto nella forma:

Nel piano i parametri dello spostamento si riducono a 3

 

Caratterizzazione cinematica dei vincoli

Vincolo = dispositivo atto a limitare le possibilità di movimento dei punti del corpo rigido cui è applicato.

Consideriamo solo vincoli:

• olonomi = capaci di restringere la posizione e non l’atto di moto

• bilateri = impongono l’appartenenza ad una curva o superficie e indipendenti nel tempo

• lisci = privi di attrito

Molteplicità (m) = è il numero di gradi di libertà soppressi al corpo cui il vincolo è legato 

Un vincolo piano può essere:

• semplice se m = 1

• doppio se m = 2

• triplo se m = 3

I vincoli si classificano in:

• interni = se collegano due o più corpi limitandone il moto relativo

• esterni = se sono collegati ad un elemento esterno (suolo)

 

Caratterizzazione cinematica dei vincoli esterni

Caratterizzazione cinematica = consiste nella scrittura delle equazioni che esprimono limitazioni sugli spostamenti u, v del punto vincolato e/o sulle rotazioni del corpo rigido.

Per semplicità si ipotizzano solo piccoli spostamenti, vincoli piani e corpi monodimensionali (supponendo i corpi di forma allungata come travi).

 

Tipi di vincoli esterni

Carrello/biella = questo vincolo impedisce unicamente gli spostamenti in direzione perpendicolare al piano di scorrimento. Detto n il versore corrispondente a tale direzione (asse del carrello) è indicato con il vettore spostamento del punto A c’è un’unica equazione scalare che caratterizza cinematicamente questo vincolo:    n = perpendicolare del carrello stesso.

Indicando con l’angolo formato tra il vettore n con l’asse x, la precedente equazione diventa:

Se il piano di scorrimento è orizzontale, la precedente relazione si riduce a

Se il piano è verticale, si ha

Il carrello ha quindi una molteplicità m = 1

Questo vincolo consente comunque la rotazione, imponendo al centro di rotazione di stare nell’asse del carrello.

Cerniera = questo vincolo impedisce tutte le componenti di spostamento nel punto in cui è applicata ma consente la rotazione del corpo. Ciò si traduce nella seguente relazione:

Questo vincolo ha molteplicità m = 2, un vincolo di questo tipo è detto vincolo doppio. Questo comporta che il centro di rotazione del corpo coincide con il centro della cerniera

Glifo (doppio pendolo, pattino, manicotto) = esso impedisce gli spostamenti in direzione perpendicolare al proprio piano di scorrimento nonché la rotazione del corpo. Ciò si traduce nelle seguenti equazioni scalari:

Se il piano di scorrimento è orizzontale, le precedenti equazioni si riducono a:

Se il piano di scorrimento è verticale le condizioni sono:

Come la cerniera, anche il glifo è un vincolo doppio e impone di traslare in direzione parallela al proprio asse di scorrimento.

Pantografo =   m = 1

Incastro = esso impedisce tutte le componenti di spostamento e di rotazione del corpo su cui è applicato. Le equazioni cinematiche per questo vincolo sono:

L’incastro ha m = 3 ed in sua presenza non esiste centro di rotazione.

 

Caratterizzazione cinematica dei vincoli interni

I tipi di vincoli interni sono gli stessi di quelli esterni (carrello, glifo, cerniera, incastro).

Per semplicità consideriamo solo vincoli interni che collegano due corpi rigidi (il punto di connessione è indicato con A)

Carrello (biella o pendolo) interno = impedisce gli spostamenti relativi secondo il proprio asse.

La condizione di vincolo si può esprimere nella forma: 

                                         

n = versore relativo all’asse del vincolo    = sono gli spostamenti delle estremità del corpo

Fissati gli assi, se l’asse del vincolo è parallelo all’asse y la condizione precedente diventa:

                                            

Se l’asse del vincolo è parallelo all’asse x si ha:

                                            

Il carrello interno possiede molteplicità m = 1 e il centro di rotazione relativo fra i due corpi deve appartenere all’asse del carrello interno.

Cerniera interna = impedisce gli spostamenti relativi delle estremità collegate.

La condizione del vincolo è espressa dalle seguenti condizioni:

Essa ha m = 2 (come la cerniera esterna), in relazione alle figure sopra, ha centro di rotazione relativa fra i due corpi coincidente con il punto A.

Pantografo interno =

Glifo (o doppio pendolo) interno = impedisce le rotazioni relative tra i due corpi e gli spostamenti relativi lungo il proprio asse.

La condizione del vincolo è espressa dalle seguenti condizioni:

Esso ha m = 2

Incastro interno = impedisce gli spostamenti relativi fra i punti collegati e le rotazioni relative tra i due corpi.

La condizione del vincolo è espressa dalle seguenti condizioni:

                                                 

Esso ha quindi m = 3, e con esso non può esistere il centro di rotazione relativo tra i due corpi.

L’incastro interno è anche il vincolo di continuità che realizza l’unione delle varie porzioni di una stessa trave, può essere applicato in ogni sezione.

Problema cinematico

Assegnati dei cedimenti vincolari su un sistema di corpi rigidi vincolati, determinare, se esistono, le configurazioni cinematicamente compatibili.

Prendiamo per esempio un sistema piano costituito da un solo corpo rigido () vincolato e sia m il numero complessivo di vincoli semplici.

Scelto O il polo di riduzione degli spostamenti, si denoti con il vettore dei parametri di spostamento.

Per impostare il sistema cinematico si scrivono le m equazioni lineari che esprimono le prestazioni cinematiche di ciascun vincolo e successivamente, facendo uso della formula generale dello spostamento, si esprimono tali equazioni in funzione dei parametri di spostamento q.

Si arriva ad avere un sistema di m equazioni lineari nelle incognite q, tale sistema può essere posto nella forma:                     Aq = s  

A = matrice cinematica (di ordine m x n)   

q = vettore dei parametri di spostamento incogniti (di ordine pari ai gradi di libertà m del corpo rigido - n = 3 del piano)

s = vettore dei cedimenti vincolari

Nel caso di un sistema di corpi rigidi collegati da vincoli interni, la molteplicità complessiva è pari alla somma delle molteplicità dei vincoli interni ed esterni, mentre il numero di gradi di libertà è n = 6 nello spazio e n = 3 nel piano

Classificazione cinematica per via analitica

Per capire quando il problema cinematico ammette soluzione e quando tale soluzione è unica, si esamina il sistema Aq = s avvalendosi del teorema di Rouchè-Capelli.

Detto p il rango della matrice di congruenza (o cinematica) A di ordine m x n (m = molteplicità del vincolo/numero di righe     n = numero di colonne), si distinguono quattro casi fondamentali:

• m = n = p: sistema cinematicamente determinato o isocinematico

La matrice A è quadrata, di rango massimo e invertibile, i parametri di spostamento incogniti possono essere univocamente determinati:

• p = n < m: sistema cinematicamente impossibile o ipocinematico

La matrice A è rettangolare alta, la molteplicità dei vincoli è maggiore dei gradi di libertà del sistema. In generale il sistema non ammette soluzione.

• p = m < n: sistema cinematicamente indeterminato, ipercinematico o labile di grado n – p.

La matrice A è rettangolare bassa, la molteplicità dei vincoli è minore dei gradi di libertà del sistema: i parametri di spostamento sono determinati a meno di soluzioni

• p < m = n: sistema cinematicamente degenere di grado n – p

La matrice A è quadrata ma non invertibile (det A = 0), in generale il problema è determinato a meno di soluzioni. È questo il caso dei vincoli mal posti: la molteplicità effettiva è inferiore a quella apparente

 

Il punto Ci può esistere solo se i vincoli consentono al corpo i-esimo di spostarsi cioè nei sistemi labili o degeneri (per definizione rimane fisso quando il sistema si sposta). La sua posizione è condizionata dai vincoli esterni applicati al corpo i-esimo.

Centro di rotazione relativa = tra due corpi i e j, è il centro assoluto di rotazione che ciascuno dei due corpi avrebbe se l’altro non si spostasse, tralasciando ogni altro vincolo non collegato ai due corpi.

La posizione del centro relativo condizionata dai vincoli interni che collegano i due corpi, per definizione, in corrispondenza del centro relativo sono sono nulli gli spostamenti relativi:

Centro di rotazione:

Teoremi di allineamento o delle catene cinematiche = sono teoremi utili per la determinazione della posizione di centri relativi e assoluto. Essi sono:

• I teorema (applicabile se ) = in un sistema labile o degenere, per ogni coppia di corpi i e j i centri assoluti di rotazione sono allineati con il centro di rotazione relativa

• II teorema (applicabile se ) = in un sistema labile o degenere, per ogni terna ci corpi i, j e k i centri relativi   sono allineati

Statica dei corpi rigidi

Reazioni vincolari = forze esterne prodotte da vincoli

Forze esterne attive = forze esterne non prodotte da vincoli

Momento di una forza

Si definisce momento della forza F rispetto a un punto O detto polo il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r = OP di modulo e la forza F:  

Il modulo risulta:    = angolo convesso formato da F e da R in P

= è il braccio della forza, e rappresenta la distanza della retta d’azione s della forza F da O

La direzione di MO è quella perpendicolare al piano ed il verso è verso l’alto (per la regola della mano destra: si punta il pollice verso il primo vettore - r - l’indice verso il secondo vettore - F -  e il dito medio fornisce il verso di MO).

Il punto di applicazione del momento è in O.

Coppia di forze = sistema costituito da due forze aventi stessa direzione, stessa intensità e verso opposto. Questo sistema ha risultante e momento nulli (indipendentemente dalla scelta del polo)                                                                                                                            

Sistemi staticamente equivalenti = sono due sistemi di forze che hanno stessa risultante e stesso momento risultante rispetto ad un polo O

Sistemi staticamente equilibrati = sono due sistemi di forze che hanno risultante e momento risultante rispetto a un arbitrario polo O uguali in modulo ma opposti in verso:  R = -R’ e MO = -M’O

Sistema equivalente a zero = se ha risultante e momento risultante rispetto a un polo arbitrario O nulli, ciò implica che queste devono avere stessa intensità, stessa retta d’azione e verso opposto.

Per un sistema equivalente a zero composto da tre forze, la condizione necessaria è che le forze concorrano in uno stesso punto del piano.

 

Densità di forza e carichi distribuiti

Forze distribuite = sono forze che agiscono su un volume, un’area o una linea.

Per modellare queste forze si associa a ogni punto P della porzione del corpo soggetta alle forze una densità di forza b(P) definita da: 

= volume/superficie/linea finito del punto P     = risultante delle forze agenti

Nel caso di carichi agenti su tratti rettilinei, la risultante e il momento risultante rispetto ad un polo O , scelto coincidente con l’origine del sistema di riferimento, sono pari a:

Se il carico è perpendicolare alla linea la risultante è pari all’area della distribuzione ed è applicata a distanza da O.

Nel caso di distribuzione uniforme q(s) = q risulta R = ql e

Nel caso di distribuzione triangolare

Nel caso di distribuzione parabolica

 

Caratterizzazione statica dei vincoli

Reazioni vincolari = forze esercitate dai vincoli

Molteplicità = numeri di componenti scalari indipendenti delle reazioni vincolari che esso è in grado di erogare (tali componenti sono espresse con il sistema cartesiano x, y e z).

Un vicolo può essere: semplice (m=1), doppio (m=2) o triplo (m=3)

Caratterizzazione statica dei vincoli esterni

Carrello (o pendolo) = questo vincolo eroga una reazione vincolare nella direzione dell’asse.

Detto n il versore corrispondente a tale direzione e indicato con RA la reazione nel punto A, si ha:

L’azione del carrello è caratterizzata dall’unico parametro scalare RA, corrispondente al modulo di una forza avente direzione parallela all’asse del carrello. Ha m = 1 (figura b e c)

Cerniera = essa è in grado di erogare, in ogni possibile direzione e, una forza avente retta d’azione passante per il punto A:

Ha m = 2 (figura a)

Pantografo =

Glifo (o doppio pendolo) = eroga una coppia e una forza in direzione perpendicolare al proprio piano di scorrimento:

 

Esso ha m = 2 (figura b)

Incastro = eroga una coppia e una forza avente retta d’azione passante per il punto A e direzione qualsiasi e:

Esso ha m = 3 (figura c)

Caratterizzazione statica dei vincoli interni

Reazioni vincolari interne = sono azioni uguali e contrarie prodotte dai vincoli interni ai corpi cui sono collegati

La molteplicità di un vincolo interno che collega nC corpi è:

= molteplicità del corrispondente vincolo interno

I vincoli interni che studieremo collegano solo due corpi (nC = 2)

Carrello (o pendolo o biella) = eroga sulle estremità collegate due reazioni uguali e opposte lungo il proprio asse introducendo una sola reazione incognita. Ha m = 1 (fig. a e b)

Cerniera = eroga reazioni vincolari corrispondenti a due forze uguali e opposte di componenti incognite XA e YA. Ha m = 2 (fig. c)

Pantografo interno = (su entrambi gli estremi collegati)

Glifo (o doppio pendolo) = eroga sulle estremità collegate due coppie e due forze relative e parallele al proprio asse uguali e opposte. Ha m = 2 (fig. a e b)

Incastro = eroga tre reazioni vincolari (XA, YA e MA). Ha m = 3 (fig. c)

Classificazione statica

Detto p il rango della matrice di equilibrio B (di ordine n x m), si distinguono 4 casi fondamentali:

1.  sistema isostatico. La matrice B è di rango massimo e invertibile

2.  sistema iperstatico. La matrice B è rettangolare bassa

3.  sistema ipostatico. La matrice B è rettangolare alta

4.  sistema degenere

 

Cap. 4 - Statica della trave

Trave = elemento strutturale avente una dimensione prevalente sulle altre

Una trave in equilibrio risponde alle azioni esterne in due modi:

• cambia posizione e forma

• manifesta l’insorgere di azioni interne

Si deve definire un opportuno modello matematico in grado di descrivere la risposta strutturale di una trave.

Modello geometrico

Dal punto di vista geometrico, la trave è composta da:

• linea d’asse = curva regolare nello spazio di lunghezza l

• sezione retta = regione piana di dimensioni piccole rispetto a l

Se la linea d’asse è contenuta in un piano e la sezione è simmetrica rispetto a tale piano, la trave è detta piana. Se infine la linea d’asse è un segmento di retta, si parlerà di trave ad asse rettilineo

Modello della risposta strutturale

Spostamenti e deformazioni

Problema di Galileo = una trave, inizialmente rettilinea, cambia forma e assume un nuovo assetto in cui la linea d’asse si è incurvata e le sezioni hanno subito una rotazione.

Essa descrive un quadrato non centrato sull'origine

Azioni interne = forze distribuite che due porzioni di trave separate da una generica sezione si scambiano.

In una trave con carico concentrato su una cerniera interno il momento e il taglio sono discontinui.

Se sull'estremo libero di una trave non sono presenti forze concentrate esterne, allora in quel punto la forza normale N e la forza di taglio T sono nulle.

 

Cap. 5 - Cinematica della trave

Processo deformativo

Si consideri una trave che inizialmente occupa la posizione C detta configurazione iniziale o indeformata. A causa di azioni esterne la trave occupa una nuova posizione C’, detta configurazione variata o deformata. Si dice che la trave ha subito un processo deformativo (o trasporto) dalla configurazione iniziale a quella deformata. Se in questo passaggio sono rimaste invariate forma e dimensioni, la trave ha subito un trasporto rigido.

Altrimenti la trave ha avuto una deformazione.

Spostamento

Il vettore spostamento u(z) ha due componenti:

• w(z) = componente assiale, è positiva se concorde con l’asse Z (quello orizzontale)

• v(z) = componente trasversale, è positiva se concorde con l’asse y

• = rotazione, è positiva se antioraria (è solo una convenzione)

• = vettore di rotazione 

Ipotesi dei piccoli spostamenti: modulo del vettore di spostamento è in ogni punto infinitesimo rispetto alla luce della trave, le rotazioni sono a loro volta grandezza infinitesime.

Allungamento della trave:

Condizioni al contorno su spostamento e rotazione

La presenza di eventuali vincoli agli estremi pone delle condizioni ai valori che il vettore dello spostamento e quello di rotazione devono rispettare

Le condizioni generali possono essere espresse come segue:

Se i vincoli non impongono un accoppiamento tra problema assiale e flessionale, le precedenti equazioni diventano:

Dove 0 ed l sono i valori della trave, rispettivamente all’inzio e alla fine

Deformazione/dilatazione assiale della trave: 

Adimensionale, si preferisce all’allungamento in quanto fornisce una valutazione riguardo all’allungamento complessivo della trave. Positiva quando , negativa quando , nulla quando .

Deformazione/dilatazione assiale dell’elemento infinitesimo di trave:

Adimensionale e infinitesima per l’ipotesi dei piccoli spostamenti. Positiva se l’elemento si allunga, negativa se l’elemento si accorcia, nulla se l’elemento non subisce deformazione assiale.

Trave inestensibile/indeformabile assialmente: se

Scorrimento angolare:

Angolo che serve a misurare lo scostamento dalla condizione di perpendicolarità alla linea d’asse della generica sezione. La formula rimane valida anche se la trave è deformabile assialmente

Trave indeformabile a taglio: se . Il modello che la descrive è detto di Eulero-Bernoulli. Le sezioni risultano perpendicolari alla linea d’asse anche nella configurazione deformata.

Curvatura flessionale: .

La sezione ruota per definizione dell’angolo , la sezione ruota dell’angolo ) definita come curvatura flessionale (avente le dimensioni dell’inverso di una lunghezza).

Modello di Timoshenko: spostamenti e rotazioni legate alle deformazioni: , , dette equazioni  implicite di congruenza/di compatibilità cinematica. Il problema assiale e quello flessionale risultano disaccoppiati nelle equazioni.

Modello di Eulero-Bernoulli: le equazioni implicite di congruenza si semplificano: ,

Discontinuità nel problema cinematico: geometriche, di vincolo, di deformazione, di spostamento/rotazione.

 

Cap. 6 - Statica della trave

Postulato di Eulero: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di una trave deformabile è che valgano le equazioni cardinali della statica per ogni porzione (finita o infinitesima) di essa.

Modello delle azioni interne: si considera una trave in equilibrio sotto assegnate azioni esterni (attive e reattive) e si immagina di sezionarla idealmente secondo un piano perpendicolare alla linea d’asse passante per la generica sezione retta A (detta sezione di normale positiva). I due tronchi non rimangono in equilibrio ed è evidente che, quando la trave è integra, devono scambiarsi attraverso la sezione A delle forze: R (risultante) ed M (momento risultante) delle forze che agiscono sulla faccia di normale positiva del primo tronco per mantenerlo in equilibrio.

Sulla faccia di normale negativa del secondo tronco agiscono delle forze di risultante R- e M-. Per il principio di azione e reazione si avrà: e .

Caratteristiche della sollecitazione (per il piano): forza normale N(z), taglio T(z), momento flettente M(z).

Convenzioni:

Guardando a seguire                                               Guardando a precedere

 

               

 

 

Equazioni indefinite di equilibrio:

Metodo dell’equilibrio: uno dei metodi utilizzati per effettuare lo studio delle caratteristiche della sollecitazione.

Se sull’estremo libero di una trave non sono presenti forze concentrate esterne, allora in quel punto N e T sono nulle. Se non ci sono coppie esterne, vale la stessa cosa per M.

Se sull’estremo libero agisce una forza concentrata esterna parallela alla linea d’asse, in quel punto N è pari alla forza esterna assegnata. Se sull’estremo libero agisce una forza concentrata esterna perpendicolare alla linea d’asse, in quel punto T è pari alla forza esterna assegnata. Se sull’estremo libero agisce una coppia esterna, M è pari alla coppia esterna assegnata.

Dove non sono presenti coppie esterne, in corrispondenza di cerniere e carrelli (esterni o interni) applicati alle estremità di una trave, M deve essere nullo.

Se in un punto della trave è applicata una forza concentrata esterna parallela alla linea d’asse, in quel punto il diagramma di N presenta una discontinuità. Se in un punto della trave è applicata una forza concentrata esterna perpendicolare alla linea d’asse, in quel punto il diagramma di T presenta un salto. Se in un punto della trave è applicata una coppia, in quel punto il diagramma di M presenta un salto.

 

Cap. 7 - Materiale costitutivo

Prova uniassiale: prova sperimentale eseguita su una trave a sezione circolare (detta provino). Si sottopone il provino a un allungamento assiale lentamente crescente e si misura l’intensità della forza di trazione N necessaria per ottenere l’allungamento voluto. A seguito della trazione, il provino subisce un accorciamento nella direzione ortogonale alla linea d’asse e l’area della sezione retta si modifica e diminuisce.

Tensione normale 𝞂: rapporto tra forza normale e area iniziale della sezione.

Comportamento elastico: nel primo tratto le tensioni nominali sono proporzionali alle deformazioni assiali. La relazione è rappresentata da un tratto di retta il cui coefficiente angolare, , rappresenta la rigidezza longitudinale del campione ed è detto modulo di elasticità/di Young.

Quando si supera il limite di proporzionalità, la relazione diventa non lineare fino alla tensione (= limite di elasticità). La forza non è più proporzionale all’allungamento in questo tratto poiché l’ultimo cresce più rapidamente della forza. Se la forza applicata viene rimossa, il campione di materiale ritorna alla sua lunghezza originaria.

Comportamento plastico e rottura: superato il limite di elasticità, si entra nella fase plastica fino a quando non è raggiunta la tensione massima che il provino può sopportare (= resistenza massima/ultima). Se la forza viene rimossa, la lunghezza del provino è maggiore della sua lunghezza originale, quindi il campione ha subito una deformazione residua.

Materiali duttili:

• simmetria di comportamento a trazione e compressione;

• prima fase elastica;

• fase di snervamento (deformazioni rilevanti corrispondenti a tensioni quasi costanti);

• prima della rottura: contrazione laterale delle sezioni rette;

• grandi deformazioni plastiche prima della rottura.

Materiali fragili: se il punto di rottura cade poco dopo il limite di proporzionalità e la fase di snervamento non è chiaramente individuabile.

• no simmetria di comportamento a trazione e compressione;

• prima fase elastica;

• comportamento elastico più esteso a compressione che a trazione;

• rottura istantanea del provino non appena superato il limite elastico.

Comportamento assiale:

rigidezza assiale della trave.

Comportamento flessionale:

rigidezza flessionale della trave

Comportamento a taglio:

rigidezza a taglio della trave

 

Cap. 9 - Metodo degli spostamenti: la linea elastica

Equazione del problema assiale:

Equazione della linea elastica/della trave inflessa:

Altre equazioni utili:

• 

• 

• 

 

Cap. 13 - Il mezzo continuo: analisi della deformazione

Mezzo continuo: si definisce continuo un solido tridimensionale deformabile i cui punti materiali sono in corrispondenza biunivoca con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio euclideo.

La trasformazione deve essere biettiva per garantire una corrispondenza biunivoca tra i punti P di C e i trasformati P’ di C’. Ciò impedisce anche lacerazioni e compenetrazioni di materia.

Se si vuole analizzare il cambiamento di configurazione dell’intorno infinitesimo I:

è il differenziale del vettore spostamento.

Vengono riportati in colonna nella matrice gradiente di spostamento F. Conviene scomporla nella sua componente simmetrica E (matrice della deformazione pura/ tensore della deformazione) e nella sua componente emisimmetrica Ω (matrice della rotazione rigida):

    

Dilatazioni:

Scorrimenti:

Gli elementi posti sulla diagonale principale della matrice E rappresentano le dilatazioni assiali delle fibre poste secondo le direzioni x, y e z rispettivamente.

Gli elementi fuori diagonale rappresentano le variazioni angolari delle fibre disposte, prima della deformazione, secondo le direzioni (x,y) (x,z) (y,z) rispettivamente.

Deformazione pura: l’elemento di volume si deforma in un elemento di volume a facce piane (trasformazione affine) i cui spigoli hanno lunghezza: , , e scorrimenti angolari: .

Dilatazione volumetrica/cubica: grandezza adimensionale rappresentativa della variazione di volume nell’intorno del punto:

Formula di Cauchy per la deformazione: . Le componenti del vettore deformazione sono:

Il vettore della deformazione si può decomporre nella parte di dilatazione e di scorrimento: . La condizione di scorrimento nullo si traduce nel problema degli autovalori: , che si può scrivere: .

Equazione caratteristica/Secolare:

Invarianti della deformazione:

L’equazione caratteristica ammette 3 radici reali dette deformazioni principali ().

Stato di deformazione triassiale/cubico: quando le 3 radici sono distinte. Si ottengono 3 direzioni principali distinte a due a due ortogonali. Le 3 direzioni principali definiscono un elemento cubico che mantiene inalterata la propria forma (ma non il volume) al termine del processo deformativo.

Stato di deformazione cilindrico: 2 radici coincidenti, 1 distinta. Alle 2 coincidenti sono associate infinite direzioni principali tutte ortogonali a n. Si dice cilindrico perché le direzioni principali inviluppano, nell’intorno del punto considerato, un elemento di forma cilindrica.

Stato di deformazione sferico/idrostatico: 3 radici coincidenti, tipico degli stati di deformazione nei fluidi in quiete. Ogni direzione uscente dal punto è principale e le direzioni principali inviluppano un volume sferico.

Equazioni di congruenza/di compatibilità cinematica:

Assegnato un campo di deformazioni è possibile risalire a un campo di spostamenti per integrazione solo se le deformazioni soddisfano particolari condizioni di integrabilità: condizioni di congruenza interna:

 

Cap. 14 - Il mezzo continuo: analisi della tensione

Lemma di Cauchy: indica che le tensioni agenti su normali opposte di una stessa giacitura sono opposte.

Componenti speciali di tensione: componenti delle tensioni secondo i 3 piani coordinati:

Vengono raccolte nel tensore degli sforzi/tensore della tensione T, le cui colonne rappresentano le tensioni agenti sui piani coordinati.

Formula fondamentale di Cauchy:

Esprime la tensione normale su una qualunque giacitura nell’intorno di P come combinazione lineare delle tensioni agenti sui piani coordinati per i coseni direttori della normale n. Si esplicita nelle 3 equazioni scalari:

La tensione agente sulla faccia del parallelepipedo di normale è, per il lemma di Cauchy, pari a , mentre sulla faccia opposta, di normale ma a distanza dalla prima, agisce la tensione incrementata: .

Equazioni indefinite di equilibrio: , in forma scalare:

Le equazioni di equilibrio al contorno, se il solido è vincolato, devono essere corredate dalle condizioni al contorno relative su , .

Principio di reciprocità delle tensioni tangenziali: prese nell’intorno del punto P due giaciture ortogonali n e m, le componenti della tensione tangenziale agenti secondo lo spigolo comune sono eguali: . Da questo principio deriva la simmetria del tensore degli sforzi.

Equazione caratteristica/secolare:

Invarianti di tensione:

L’equazione caratteristica ammette tre radici: tensioni principali .

Tensione tangenziale:

Stato di tensione triassiale/cubico: tre radici con valori distinti. Tre direzioni principali distinte, a due a due ortogonali. Cubico perché i 3 piani principali, nell’intorno del punto considerato, sono le uniche tre giaciture mutuamente ortogonali su cui agiscono unicamente tensioni normali.

Stato di tensione cilindrico: due radici coincidenti e una semplice. Alle 2 coincidenti sono associate infinite direzioni principali ortogonali alla terza.

Stato di tensione sferico/idrostatico: tre radici coincidenti. Ogni direzione uscente dal punto è principale e i piani principali inviluppano un volume sferico sulla cui superficie si esercitano solo tensioni normali.

Linee isostatiche: famiglie di linee curve mutuamente ortogonali. Si ottengono ponendo in risalto per ogni punto del corpo le tre direzioni principali. Il loro inviluppo conduce ad esse. I punti che si trovano sulla linea isostatica sono soggetti, per definizione, esclusivamente a una componente assiale dello sforzo (di trazione/compressione).

Circonferenze di Mohr:

Esse rappresentano nel piano di Mohr , tre circonferenze dette cerchi di Mohr, di centro e raggio :

Le componenti normali e tangenziali individuano un punto nel piano di Mohr che deve trovarsi contemporaneamente in posizione non interna a e non esterna a , ovvero nella regione detta arbelo di Mohr.

I cerchi di Mohr rappresentano gli stati tensionali degli elementi piani appartenenti ai fasci di asse (cerchio ), (cerchio ), (cerchio ). La loro importanza risiede nella completa rappresentatività dello stato tensionale nell’intorno del punto e da proprietà geometriche proiettive.

Stato di tensione piano/biassiale: quando al variare di n, il vettore della tensione si mantiene parallelo a un medesimo piano (piano della tensione). Condizione necessaria e sufficiente affinché sia piano è che sia nullo .

Stato di tensione puramente tangenziale: particolare stato di tensione piano. Condizione necessaria e sufficiente è che siano nulli e , con .

Stato di tensione monoassiale: particolare stato di tensione cilindrico. Condizione necessaria e sufficiente è che siano nulli e .

 

Capitolo 15 - Il legame elastico lineare

Prendendo in esame un generico corpo continuo in un generico stato di deformazione e tensione, le componenti della tensione e deformazione in un punto P possono essere raccolte nei due vettori tensione e deformazione :

 

Legame costruttivo: relazione che lega le tensioni alle deformazioni in un punto.

Legame elastico: in un certo intervallo di intensità sui carichi agenti molti materiali non presentano memoria del processo deformativo recuperando lo stato originale posseduto prima dell’applicazione del carico.

Ipotesi di linearità: si prende in esame un materiale che può essere modellato come elastico lineare.

Il legame sforzo deformazione si può rappresentare con la matrice di rigidezza del materiale C, di ordine 6 x 6, le cui componenti prendono il nome di costanti elastiche del materiale del punto P.

Se il materiale è iperelastico, il legame elastico si può definire come:

Se la matrice di rigidezza C è costante in ogni punto del solido, il materiale sarà omogeneo e avrà caratteristiche meccaniche costanti in ogni punto del mezzo continuo.

Isotropia: classe di materiali il cui comportamento costitutivo non presenta direzioni preferenziali, essendo uguale in ogni direzione.

Un materiale isotropo è caratterizzato da 2 sole costanti elastiche.

Per caratterizzare il comportamento costitutivo di un materiale isotropo e omogeneo si devono fare la prova di trazione e la prova di torsione.

Prova di trazione

In questa prova prendiamo un provino rettangolare a cui sono applicate due forze uguali e contrarie. In ogni punto del solido lo stato di tensione è monoassiale, con tensione   e

Effettuando la prova si osserva una dilatazione lungo la direzione longitudinale z e una contrazione trasversali nelle direzioni x e y ad essa ortogonali:

   a,b,l = dimensioni del provino

Nel piano si osserva al crescere dell’intensità del carico, un legame elastico lineare (legge di Hooke):      E = modulo di Young

In più, si osserva che gli scorrimenti angolari delle fibre del provino sono tutti nulli mentre il rapporto tra si mantiene costante e negativo durante tutta la prova di carico

è una costante è rappresenta il coefficiente di contrazione trasversale o coefficiente di Poisson.

Prova di torsione

Nella prova di torsione, un provino di forma cilindrica di lunghezza l e raggio R è soggetto a un sistema di forze tangenziale equivalenti a una coppia torcente di intensità .

Le tensioni tangenziale sul generico diametro variano linearmente con la legge: 

Sull’estremità libera si misura una rotazione mentre la generica fibra di lunghezza l ruota rigidamente di .

Considerando un elemento infinitesimo estratto dal solido nell’intorno del punto Q, , diametralmente opposto a P, lo stato di tensione è puramente tangenziale con e  .

Lo stato di deformazione è invece di puro scorrimento mentre

L’angolo di torsione si può diagrammare nel piano e tale diagramma mostra la linearità del legame tra tensioni tangenziali e scorrimenti angolari:

   G = modulo di elasticità tangenziale

La costante G può essere espressa in funzione del modulo di Young e del coefficiente di Poisson:

Legge di Hooke generalizzata

Considerando un punto del solido elastico, isotropo e omogeneo in un generico stato di tensione triassiale, descritto dal vettore . Lo stato di deformazione, indotto nel punto dallo stato di tensione, può essere ricavato sovrapponendo gli effetti prodotti da ciascuna componente di tensione pensata agire da sola.

Assumendo che le dilatazioni possono ottenersi sommando gli effetti deformativi prodotti delle tensioni:

Quando si considera agente nell'elemento infinitesimo la sola tensione , lo stato di deformazione misurato sarà equivalente a quello descritto dalla prova di trazione uniassiale.

Analogamente avremo gli stessi risultati considerando solo e

Se consideriamo agenti solo le componenti tangenziali di tensione () singolarmente, queste tensioni producono unicamente scorrimenti angolari che hanno intensità:

Si possono scrivere le relazioni degli spostamenti angolari e delle tensioni in questo modo:

   A = matrice di deformabilità, in cui sono presenti i coefficienti che sono moltiplicati per 1/E

Introduciamo anche la matrice di rigidezza, che è l’inverso della matrice di deformabilità: 

Le precedenti relazioni definisco la legge di Hooke generalizzata.

La prova di trazione consente la valutazione delle costanti elastiche E e , mentre la costante G può essere valutata senza usare la prova di torsione.

C’è una quarta costante che lega la dilatazione cubica con la tensione media:

    K = coefficiente di dilatazione cubica

Si conclude che in un materiale elastico lineare isotropo le direzioni principali di tensione coincidono con le direzioni principali di deformazione.

Materiale E.L.I.O.: materiale Elastico, Lineare, Isotropo, Omogeneo

 

Cap. 16: Il problema dell’equilibrio elastico

Le equazioni che governano il problema dell’equilibrio elastico sono:

1. equazioni di congruenza:

2. equazioni indefinite di equilibrio:

con relative condizioni al contorno:

3. equazioni costitutive:

Teorema di Kirchhoff: la soluzione del problema dell’equilibrio elastico esiste ed è unica.

Le equazioni risolventi del metodo delle tensioni sono le equazioni di Beltrami-Michell.

Alla base del metodo degli spostamenti ci sono le equazioni di Navier:

Teorema dei lavori virtuali: il lavoro virtuale interno svolto da un campo di tensioni staticamente ammissibile per effetto di un campo di deformazioni cinematicamente ammissibile, è uguale al lavoro virtuale esterno svolto dai carichi esterni per effetto del campo di spostamenti cinematicamente ammissibile .

L’aggettivo “virtuale” si riferisce alla circostanza che non vi è alcun nesso di casualità tra i campi di forze e il campo di spostamenti e deformazioni.

Se il teorema è valido per qualunque stato cinematicamente (staticamente) ammissibile, allora segue necessariamente l’equilibrio (la congruenza).

 

Cap. 17 - Il problema di Saint Venant

Il problema di Saint Venant studia il problema dell’equilibrio elastico in un solido tridimensionale (per determinare la soluzione tensionale e deformativa) su cui sono fatte tre ipotesi riguardanti: la geometria del solido, le forze esterne applicate a esso, il materiale costruttivo.

Geometria

Il solido C in esame è un cilindro retto di forma allungata detto cilindro di Saint Venant. Il prima è caratterizzato geometricamente dalla sua lunghezza l e trasversalmente dalla sezione A (che può avere forma arbitraria).

La frontiera del cilindro è costituita dalle due sezioni d’estremità  dette basi e dalla superficie laterale chiamata mantello:

Si fissa lo stesso sistema di riferimento locale adottato per il modello di trave rettilinea monodimensionale. La figura b è geometricamente caratterizzata dall’area A e dai momenti di inerzia rispetto ai due assi principali (x, y) risultando nulli i momenti statici e il momento centrifugo . Per i punti appartenenti alle basi i versori normali uscenti sono rispettivamente -k e k, mentre per i punti appartenenti al mantello il versore normale uscente è denotato n. Trattandosi di un cilindro retto, tale versore nel sistema di riferimento locale ha componente nulla rispetto all’asse z:

Forze esterne

Il solido in esame è soggetto a un sistema di forze esterne equilibrato per il quale:

• sono nulle le forze di volume (b = 0)

• sono nulle le forze superficiali agenti sul mantello

Ne consegue che le uniche forze agenti sul cilindro di Saint Venant si riducono distribuzioni di forze autoequilibrate applicate alle basi

Le forze di superficie sono staticamente equivalenti a una forza applicata sul baricentro della rispettiva base (risultante applicata in O e applicata in B) e una coppia (momento risultante ). Essendo per definizione il sistema equilibrato, devono essere soddisfatte le equazioni cardinali della statica.

Scelto come polo di riduzione dei momenti il punto O origine del sistema di riferimento locale, si ottiene:        OB =l*k

Per definizione poi si ha poi:        r = xi + yj

Materiale costruttivo

Si suppone che il materiale costruttivo sia elastico, lineare, omogeneo e isotropo. Vale la legge generalizzata di Hooke con i moduli elastici uguali in ogni punto del cilindro.

Postulato/principio di Saint Venant

Postulato/principio di Saint Venant = a una certa distanza dalle basi caricate (pari approssimativamente alla massima dimensione trasversale) lo stato tensionale non dipende dalla distribuzione delle forze applicate ma solo dalla loro risultante.

Sollecitazioni semplici e composte

In base al principio di Saint Venant si possono considerare unicamente le risultanti delle azioni applicate sulle basi libere. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l’analisi di una generica distribuzione di carico può essere svolta analizzando le singole componenti dell’azione risultante, considerando le quattro sollecitazione denominate semplici: forza normale centrata N (di trazione o compressione), flessione uniforme, retta o deviata, torsione uniforme , taglio e flessione.

Le sollecitazioni composte considerano uno o più stati semplici agenti simultaneamente.

Nella sollecitazione di forza normale il solido è soggetto soltanto a una forza baricentrica di trazione o compressione normale; nella flessione uniforme retta o deviata le sollecitazioni si riducono a un momento flettente agente, rispettivamente, secondo un asse principale d'inerzia o secondo un asse non principale; nella torsione uniforme la risultante dell’azione esterna è una coppia torcente; infine nella sollecitazione di taglio e flessione le forze agenti sono parallele al piano della sezione trasversale e agiscono insieme a delle coppie flettenti dirette secondo gli assi principali d'inerzia.

Soluzione - Metodo semi-inverso

Metodo semi-inverso: per risolvere il problema sull’esperienza o sull’intuizione si introducono delle ipotesi riguardanti la soluzione. Successivamente si impone che la soluzione, in parte incognita e in parte ipotizzata, soddisfi le equazioni del problema elastico con le relative condizioni al contorno in modo da determinare le incognite rimanenti. Se tutte le equazioni risultano soddisfatte, il principio di unicità assicura che la soluzione trovata è effettivamente quella del problema ed è unica a meno di uno spostamento rigido infinitesimo. Se invece non tutte le equazioni risultano soddisfatte, è comunque possibile ottenere un insieme di funzioni che approssimano la soluzione effettiva.

Stato tensionale

Alcune ipotesi sulla soluzione in termini di tensioni si possono formulare fin d’ora considerandole valide in generale. Il solido di Saint Venant può infatti pensarci costituito dall’unione di fibre longitudinali, parallele all’asse z, soggette a tensioni normali e in grado di scambiarsi unicamente tensioni lungo la direzione longitudinale z.

Per il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali sono presenti anche tensioni che agiscono nel piano della sezione.

Il vettore agente perpendicolarmente alla sezione, è detto vettore della tensione normale, il vettore  agente parallelamente alla sezione è detto vettore della tensione tangenziale.

L’ipotesi sullo stato tensionale si sintetizza nella relazione:

In ogni punto, il tensore degli sforzi rispetto alla base del sistema di riferimento locale si scrive:

Lo stato di tensione è piano (det(T)=0) e il piano delle tensioni è individuato dal vettore della tensione tangenziale e dal vettore della tensione normale

Equazioni indefinite di equilibrio

Le equazioni indefinite di equilibrio diventano: 

Da queste equazioni si vede che le componenti tangenziali sono indipendenti dall’ascissa z che identifica la sezione trasversale, ma possono variare nei punti della sezione stessa:

Le equazioni indefinite di equilibrio diventano:

Condizioni al contorno sul mantello

Con riferimento alle condizioni al contorno, si consideri un punto P appartenente al mantello di normale . Poichè la superficie laterale è scarica (f=0) abbiamo:

Dalla matrice risulta che:

Sul mantello il vettore della tensione tangenziale è in ogni punto tangente ad esso.

Condizioni al contorno sulle basi

Poichè le forze di superficie sono autoequilibrate, è sufficiente richiedere l’equivalenza tra forze e tensioni su una sola base perché questa sia soddisfatta anche sull’altra.

Scegliendo di normale le condizioni sulla base si scrivono:        dove è il vettore della tensioni agente su

Equazioni di congruenza e di legame costitutivo

Mentre le equazioni di congruenza rimangono invariate, le equazioni di legame costitutivo si semplificano molte e diventano:

Equivalenza statica

Le relazioni di equivalenza statica sono:

Queste equazioni sono valide anche sulla generica sezione ed esprimono il principio di equivalenza statica: la distribuzione delle tensioni è staticamente equivalente alle caratteristiche della sollecitazione agenti sulla sezione trasversale del solido.

In particolare, per le quattro sollecitazioni semplici, il tensore degli sforzi si particolarizza come segue:

• forza normale = in questo caso l’unica caratteristica diversa da zero è N, quindi l’unica azione interna diversa da zero è la tensione normale

• flessione uniforme = le uniche caratteristiche diverse da zero sono , quindi l’unica azione interna diversa da zero è la tensione normale

• torsione uniforme = in questo caso l’unica caratteristica diversa da zero è , pertanto sono diverse da zero sole le tensioni tangenziali

• flessione e taglio = in questo caso sono diverse da zero pertanto sono diverse da zero la tensione normale e le tensioni tangenziali

 

Cap. 18 - Forza normale centrata. Flessione retta

La sola componente di tensione diversa da 0 è la tensione normale . Le tensioni normali sono date da: .

Noto lo stato tensionale, si trova che lo stato deformativo consiste in scorrimenti angolari ovunque nulli e presenza di sole deformazioni assiali. Per la legge di Hooke si ha:

Integrando le equazioni di congruenza si perviene al campo di spostamenti associato, a meno di spostamenti infinitesimi: . Queste definiscono una trasformazione omotetica del solido (= cambiamento di volume, ma non di forma).

Variazioni di lunghezza longitudinali e trasversali: .

Si ipotizza che, al di fuori delle zone di disturbo previste dal postulato di Saint Venant, le tensioni normali variano linearmente secondo y: , dove K è la costante di proporzionalità incognita (determinabile attraverso il principio di equivalenza statica) e vale: .

Formula di Navier:

Le tensioni tangenziali sono ovunque nulle e la distribuzione delle tensioni normali è uguale in ogni sezione. All’interno della generica sezione, le tensioni variano linearmente con y e sono di trazione per y positivo e di compressione per y negativo.

Si riconosce la presenza del piano neutro , luogo dei punti ove , definito dall’equazione la cui intersezione con il piano della sezione individua l’asse neutro 

Le tensioni normali sono costanti lungo le corde parallele all’asse neutro.

Modulo di resistenza della sezione: . Se noto, è immediata la valutazione della tensione massima agente in sezione: .

La deformazione longitudinale risulta proporzionale a y per la legge di Hooke: , mentre le deformazioni trasversali e gli scorrimenti angolari sono:

Il campo di spostamenti:

Piano di flessione: . La sua intersezione con il piano della sezione determina l’asse di flessione . Nella flessione retta, l’asse di sollecitazione coincide con l’asse di flessione ed è ortogonale all’asse neutro.

Flessione retta : . Il segno è giustificato dall’osservazione che momenti generano tensioni (cioè di trazione) per . Si definisce il modulo di resistenza della sezione: .

 

Cap. 19 - Flessione deviata. Tensoflessione, pressoflessione

Se si decompone il vettore momento nelle sue due componenti, il caso può considerarsi ottenuto dalla sovrapposizione di due flessioni rette, una agente secondo l’asse di inerzia x e una relativa all’asse principale d'inerzia y. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, le tensioni complessivamente agenti in sezione risultano pari alla somma di quelle singolarmente dovute a :

Solo nel caso in cui l’asse neutro coincide con l’asse momento. Inoltre, l’asse neutro non è in generale perpendicolare all’asse della sollecitazione s.

Formula monomia (caso flessione deviata):

Pressoflessione deviata: quando la forza normale è di compressione ().

Tensoflessione deviata: quando la forza normale è di trazione (). L’asse neutro non è baricentrico.

Formula generalizzata di Navier:

La sollecitazione di tensoflessione deviata è staticamente equivalente al caso di forza normale eccentrica. È sempre possibile determinare un punto (centro di sollecitazione) interno o esterno alla sezione dove può pensarsi applicata la forza normale N.

1. l’equazione dell’asse neutro () non dipende dalla intensità della sollecitazione agente, ma unicamente dalle coordinate del centro di sollecitazione e dalla geometria della sezione;

2. la relazione di coniugio () stabilisce una corrispondenza biunivoca tra centro di pressione (antipolo) e asse neutro (antipolare) dipendente unicamente dai parametri geometrici della sezione;

3. l’asse neutro si trova sempre, rispetto al baricentro G, dalla parte opposta al centro di sollecitazione C.

Nocciolo centrale d'inerzia: luogo degli antipoli delle rette non secanti la sezione trasversale. Si tratta di una regione nel piano la cui forma dipende unicamente dalla geometria della sezione stessa e che gode di diverse proprietà:

• il baricentro appartiene sempre al nocciolo;

• se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l’asse neutro è esterno alla sezione;

• se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo, l’asse neutro è interno alla sezione;

• se il centro di sollecitazione si trova sulla frontiera del nocciolo, l’asse neutro è tangente alla sezione;

• se il centro di sollecitazione si trova sulla frontiera della sezione, l’asse neutro è tangente al nocciolo.

 

Cap. 20 - Torsione uniforme

Torsione nelle sezioni circolari

Sezione circolare compatta

Si consideri un cilindro a sezione circolare di raggio R incastrato il corrispondenza della sezione di ascissa z  = 0. La risultante della distribuzione dei carichi agenti sulla base libera sia equivalente alla coppia torcente

Per determinare lo stato deformativo e tensionale indotto nel solido si introducono delle ipotesi sulla soluzione riguardanti il campo degli spostamenti. Si ipotizza che la generica sezione di ascissa z ruoti attorno al baricentro in misura proporzionalmente maggiore al crescere della distanza di incastro. Detto l’angolo di rotazione della sezione, deve aversi:

è l’angolo unitario di torsione e rappresenta la rotazione relativa fra due sezioni poste a distanza unitaria. In base a quanto ipotizzato, il generico punto P (x, y) della sezione trasversale della trave si sposta in direzione ortogonale al vettore posizione r = xi + yj. Le componenti sono: 

Inoltre si ipotizzano nulle le componenti di spostamento assiale: w(x, y, z) = 0 cioè si assume che la sezione trasversale resti piana e ortogonale all’asse della trave attorno alla quale subisce una rotazione rigida.

Le equazioni degli spostamenti sopra riportate definiscono un campo continuo di spostamenti, ma occorre controllare che tensioni ad esse associate rispettino le equazioni indefinite di equilibrio e siano staticamente equivalente alla coppia torcente .

Le equazioni di compatibilità cinematica forniscono il campo di deformazioni associato al modello degli spostamenti: 

Nel processo deformativo le fibre longitudinali e trasversali non subiscono variazioni di lunghezza e gli scorrimenti angolari delle fibre trasversali sono nulle. La sezione trasversale mantiene invariata la forma circolare, mentre le fibre longitudinali si dispongono secondo un’elica cilindrica con angolo di avvolgimento variabile linearmente con il raggio e dunque massimo sulla superficie (r = R): 

Le tensioni corrispondenti alle deformazioni sono:

Nel generico punto P(x, y) della sezione trasversale, la tensione tangenziale risultante , risulta proporzionale alla distanza r dal baricentro:  ed è diretta tangenzialmente alla circonferenza di raggio r passante per P.

Per il principio di equivalenza statica, lo stato di sforzo deve essere equivalente a una coppia torcente . Devono quindi essere rispettate le seguenti relazioni:

Momento di inerzia:

Dall’equazione del momento torcente segue che l’angolo di torsione deve essere inversamente proporzionale a

= è la rigidezza torsionale, essa dipende dal materiale e dalla geometria

Noto l’angolo di torsione si possono ricavare gli spostamenti:

Lo stato deformativo è nullo in tutte le direzioni

Le componenti tangenziali di tensione sono:

La soluzione trovata, a partire dalle ipotesi sul campo di spostamento, soddisfa tutte le equazioni del problema elastico e le condizioni di equivalenza statica. Per il teorema di unicità di kirchhoff le equazioni degli spostamenti forniscono la soluzione esatta al problema della torsione uniforme in un cilindro a sezione circolare compatta incastrato a una base.

Sezione circolare cava

Nel caso di una sezione circolare cava di raggio interno e raggio esterno e spessore vale la relazione:

è il momento d'inerzia polare della corona circolare:

Le tensioni tangenziali hanno andamenti trapezoidale sulla generica corda ortogonale alla linea media :

Il valore massimo si ha per :

Se lo spessore della corona circolare è piccolo, vale l’approssimazione al primo ordine per il momento d'inerzia polare:     R = raggio medio della corona circolare

Per la piccolezza dello spessore, la tensione tangenziale può ritenersi costante e pari alla tensione tangenziale media che è data da:  (area racchiusa dalla linea mediana)

Torsione nelle sezioni compatte di forma qualsiasi

Problema di Neumann

Nel caso di travi con sezione trasversale compatta di forma generica soggette a una coppia torcente di intensità l’assenza di simmetria polare comporta la presenza di componenti di spostamento non nulle in direzione dell’asse della trave: la sezione trasversale non resta a deformazione avvenuta, ma subisce un ingobbamento. Si può procedere secondo il metodo semi-inverso con approccio agli spostamenti: si suppone però che le sezioni si ingobbino tutte allo stesso modo; la grandezza che rappresenta l’ingobbamento è solo una funzione delle sole variabili x,y.

Per semplicità ipotizziamo che la sezione sia di forma qualunque ma a doppia simmetria. In accordo con il metodo semi-inverso si ipotizza che la generica sezione di ascissa z (considerando nulla la rotazione nella sezione z = 0) ruoti attorno al baricentro G di un angolo:

Il modello di spostamenti si scrive:

La funzione è la funzione di ingobbamento e definisce lo spostamento nei dei punti della sezione nella direzione dell’asse della trave ed è indipendente da z.

Le equazioni di compatibilità cinematica forniscono il campo di deformazioni associato al modello di spostamenti:

Da queste equazioni si vede che le fibre longitudinali e trasversali non subiscono variazioni di lunghezza. Le tensioni corrispondenti di deformazione si ottengono dalla legge di Hooke:

Il campo di tensioni deve rispettare le equazioni indefinite di equilibrio che si riducono a:

La funzione di ingobbamento si riconosce essere la soluzione del problema di Neumann, formalizzato dalle equazioni: . Queste mostrano come dipenda unicamente dalla forma della sezione stessa.

, dove è l’inerzia torsionale. Nella sezione circolare essa coincide con il momento di inerzia polare. è la rigidezza torsionale della sezione.

Il campo deformativo è dato da:

Lo stato tensionale è definito da:

Si consideri una trave di sezione ellittica di semiassi p e q (p>q) soggetta a torsione uniforme.

L’equazione del contorno :

La funzione di ingobbamento: , dove

Gli scorrimento angolari risultano:

Le tensioni tangenziali:

Si afferma:

• nella torsione uniforme le linee di flusso sono curve chiuse (campo soleinodale). Si addensano in presenza di restringimenti con conseguente aumento dell’intensità delle tensioni tangenziali;

• le tensioni tangenziali sono orientate in modo da percorrere le linee di flusso nel verso del momento torcente;

• nelle sezioni sottili chiuse le tensioni tangenziali sono parallele alla linea media e distribuite uniformemente lungo lo spessore. L’intensità delle tensioni tangenziali è inversamente proporzionale allo spessore;

• nelle sezioni sottili aperte le tensioni sono parallele alla linea media e variano linearmente lungo lo spessore, attingendo valori massimi ai bordi e nulli sulla linea media.

Sezione tubolare aperta ():

Sezione a C ():

Nel caso di sezioni aperte composte da rettangoli sottili, per ottenere quantitativamente il valore massimo delle tensioni tangenziali e l’inerzia torsionale della sezione, si procede:

1. si suddivide la sezione in rettangoli sottili;

2. si ripartisce il momento torcente tra i vari rettangoli;

3. lo stato tensionale i-esimo rettangolo si ottiene applicando le formule.

Teoria di Bredt: si basa su: sezioni sottili, flusso delle tensioni tangenziali (), equivalenza tra momento torcente e momento indotto dalle tensioni tangenziali

Prima formula di Bredt: . La sua validità è legata all’ipotesi di piccolo spessore che consente di assumere costanti e pari al valor medio le tensioni tangenziali lungo la corda.

Seconda formula di Bredt:

 

Cap. 21 - Flessione e taglio

Le tensioni normali sono provocate dal momento flettente la cui legge di variazione è: .

La distribuzione delle tensioni normali si ottiene sostituendo nella formula di Navier:

È possibile valutare in modo semplice il valor medio delle componenti e lungo la corda. Se y è asse di simmetria, il valor medio delle è nullo.

Per quanto riguarda le componenti perpendicolari alla corda, si definisce valor medio della funzione il valore tale che l’area della regione sia uguale all’area . In formule: .

Formula di Jourawsky:

Le grandezze che compaiono nella formula sono:

• : valor medio delle tensioni tangenziali perpendicolari alla corda distante dal lembo superiore. Se si ottiene un valore positivo, le hanno verso concorde con quello dell’ascissa locale ;

• : valore del taglio, positivo se concorde con asse y;

• : momento statico rispetto all’asse x della porzione di sezione al di sopra della corda . Se il baricentro di tale porzione si trova sul semiasse positivo delle y, altrimenti ;

• : momento d’inerzia rispetto all’asse x dell’intera sezione;

• : lunghezza della corda .

Sezione rettangolare sottile:

Andamento parabolico lungo la linea media e nullo all'estremità

Sezione sottile a doppio T:

Andamento lineare sulle ali e parabolico sull'anima

Sezione ad H:

Nel tratto orizzontale identicamente nulle

Sezione a U:

Aspetti salienti della teoria approssimata di Jourawsky:

• le tensioni tangenziali dovute al taglio, distribuite allo stesso modo in ogni sezione del cilindro, sono dirette parallelamente alla linea media e sono costanti lungo lo spessore;

• il flusso delle tensioni tangenziali dovute al taglio non è costante lungo la linea media, ma varia in modo continuo con ;

• il campo delle tensioni tangenziali non è solenoidale;

• in corrispondenza agli estremi liberi della sezione le tensioni tangenziali e i relativi flussi sono nulli;

• le tensioni tangenziali raggiungono il valore massimo in corrispondenza dell’asse neutro;

• nei tratti paralleli all’asse x le tensioni variano linearmente, nei tratti paralleli all’asse y le tensioni variano secondo una legge quadratica.

Taglio retto secondo x: si ha quando la forza di taglio è diretta secondo l’asse principale x. La formula di Jourawsky si scrive:

Taglio deviato: se la forza di taglio T non è parallela a nessun asse principale d’inerzia, si ha sollecitazione di taglio deviato. Nella trave nasce una flessione deviata, caratterizzata da un momento M variabile con z.

Centro di taglio: punto nel piano della sezione tale che, se la retta d’azione del taglio passa per esso, la sezione non presenta rotazioni torsionali. Nell’ambito della trattazione approssimata del taglio per sezioni di piccolo spessore, si definisce come il punto nel piano della sezione per cui passa la retta d’azione della risultante delle tensioni tangenziali , dovute al taglio e variabili secondo la formula di Jourawsky. Gode di diverse proprietà:

• se la sezione possiede un asse di simmetria, il centro di taglio giace in esso;

• se la sezione possiede due assi di simmetria, il centro di taglio è il loro punto di intersezione e coincide con il baricentro della sezione;

• nelle sezioni composte da due o più rettangoli sottili tutti convergenti in un unico punto, il centro di taglio coincide con tale punto.

 

Cap. 22 - Criteri di resistenza

Le prove uniassiali evidenziano che il comportamento dei materiali fragili e duttili si mantiene approssimativamente elastico lineare per valori della tensione nominale non superiori alla tensione limite di rottura a trazione e compressione: .

Valori di tensione inferiori ai limiti di rottura definiscono il dominio elastico del materiale che in stato di tensione monoassiale coincide con un segmento dell’asse reale.

Quando la tensione nella prova uniassiale raggiunge il valore limite di rottura a trazione o a compressione, si dice che il punto di tensione ha raggiunto la frontiera elastica del materiale, dove ha inizio la crisi del materiale. Essa si manifesta attraverso lo sviluppo di dislocazione dei reticoli cristallini nei materiali duttili (plasticizzazione), dando inizio alla fase plastica. Per i materiali fragili, il raggiungimento della frontiera elastica coincide con la rottura del materiale.

Criteri di resistenza per materiali fragili: Saint Venant-Grashof e Galileo-Rankine.

Criterio di Galileo-Rankine/della massima tensione ammissibile: . Dall’analisi dei cerchi di Mohr per la tensione si è visto che le tensioni normali massime e minime nell’intorno del punto coincidono con i valori massimi e minimi delle tensioni principali.

Il criterio è abbastanza attendibile per i materiali fragili che presentano un limite di resistenza a trazione modesto rispetto al limite di resistenza a compressione, anche se a stati di tensione di segno discorde viene associata una distanza dalla superficie limite uguale rispetto al caso di stati di tensione dello stato segno.

Criterio di Saint Venant-Grashof: ovvia gli inconvenienti del criterio G-R. Detti e le deformazioni massime e minime in condizioni di incipiente rottura del materiale, il criterio si esprime: .

Dall’analisi dei cerchi di Mohr per la deformazione si è visto che le deformazioni massime e minime nell’intorno del punto coincidono con i valori massimi e minimi delle deformazioni principali.

Il legame elastico consente di esprimere le deformazioni principali in funzione delle tensioni principali:

Il criterio di Saint Venant-Grashof fornisce risultati più aderenti alla realtà nel caso di materiali simmetrici () rispetto al criterio di Galileo-Rankine.

Criteri di resistenza per materiali duttili: Tresca e von Mises.

Rispetto al comportamento elastico dei materiali fragili, si osserva la simmetria del limite elastico. Lo snervamento avviene a volume costante. Bridgman verificò sperimentalmente in una camera a pressione che la tensione di snervamento non è influenzata da stati di tensione idrostatici per valori di pressione fino a 2500 MPa.

Criterio di Tresca: considera come indicatore del raggiungimento della crisi del materiale la massima tensione tangenziale nell’intorno del punto. Dall’analisi dello stato di tensione, è noto che la massima tensione tangenziale corrisponde al massimo dei raggi dei cerchi di Mohr. Il criterio si scrive:

Ha la frontiera elastica che è un cilindro con sezione retta esagonale il cui asse coincide con l’asse idrostatico.

Criterio di Huber-Hencky-von Mises (HHM)/della tensione tangenziale ottaedrica: stabilisce che la condizione limite di snervamento viene raggiunta quando la attinge il valore limite massimo ammissibile a snervamento . Il criterio si scrive: .

Ha come frontiera elastica un'ellisse.

Tensione normale ottaedrica:  

Dal confronto tra Tresca e Von Mises si evince che il primo risulta più conservativo anche se prove sperimentali condotte su materiali metallici hanno mostrato maggior accordo con il criterio di Von Mises. Date le difficoltà operative per valutare il limite di snervamento per stati di sforzo pluriassiali, la fascia di confidenza dei dati sperimentali è ampia al punto da far ritenere i due criteri ugualmente accettabili.

 

Geometria delle aree

Area: assegnata una figura piana A, grandezza scalare, positiva e avente le dimensioni di una lunghezza al quadrato:

Momenti statici/del primo ordine: somma dei momenti delle areole elementari dA rispetto agli assi coordinati:   e  . Possono assumere valori positivi, negativi o nulli.

Baricentro/centro di figura: della regione piana A, il punto di coordinate:   e  . Può o meno appartenere alla figura.

Proprietà per il calcolo dei momenti statici e del baricentro G di una figura piana:

• il momento statico rispetto a una qualunque retta baricentrica è nullo in quanto è nulla la distanza dell’area A concentrata in G rispetto a una qualunque retta passante per G;

• se una figura piana ha un asse di simmetria, il momento statico rispetto a esso è nullo, in quanto si elidono i contributi areolari eguali e di segno opposto nel computo del momento statico. Quindi il baricentro appartiene all’asse di simmetria;

• è possibile suddividere l’area in sue sottoaree e calcolare i momenti statici con riferimento alle singole sottoaree.

Momenti di inerzia/del secondo ordine: somma dei prodotti delle areole elementari dA per le distanze al quadrato rispetto agli assi coordinati:   e  . Sono dimensionalmente delle lunghezze alla quarta potenza e risultano sempre positivi.

Momento di inerzia misto/centrifugo: , dimensionalmente omogeneo ai momenti di inerzia, ma dotato di segno. Se uno dei due assi rispetto ai quali è valutato il momento di inerzia centrifugo è di simmetria per la sezione, il momento centrifugo è nullo.

Momento d'inerzia polare: somma dei prodotti delle areole elementari dA per la distanza r al quadrato dall’origine del sistema di riferimento: . È dimensionalmente omogeneo ai momenti di inerzia ed è sempre positivo o nullo. Poiché si ottiene: che fornisce il legame tra momento di inerzia e i momenti di inerzia del secondo ordine.

Teorema di Huygens/formule di trasporto:

Si deduce che i momenti di inerzia baricentrici sono i momenti di inerzia minimi rispetto a un assegnato fascio di rette parallele. Essendo , , risulta: , .

Formule di rotazione: descrivono la variazione dei momenti di inerzia del riferimento rispetto a quelli di riferimento Gxy e all’angolo di rotazione :

Dalle formule di rotazione segue:

Momenti principali di inerzia: risultano essere rispettivamente i valori massimi e minimi dei momenti di inerzia valutati rispetto a una qualunque retta baricentrica r.

Proprietà per i momenti principali di inerzia di una figura piana di area A e baricentro G:

• sono i massimi e i minimi momenti di inerzia rispetto a qualunque asse baricentrico;

• se una figura piana ha un asse di simmetria, è un asse principale di inerzia della sezione. L’altro asse sarà baricentrico e ortogonale al primo;

• se una figura ha due assi di simmetria, questi coincidono con gli assi principali di inerzia della sezione;

• è possibile suddividere l’area A in più sottoaree e calcolare i momenti di inerzia con riferimento alle singole sottoaree.

Ellisse centrale di inerzia/di Culmann: ellisse che ha per centro il baricentro G di A e per semiassi i raggi principali di inerzia   e  da cui i momenti principali di inerzia si esprimono:   e  .

Nel riferimento principale , l’ellisse principale di inerzia ha equazione:

Schemi statici ricorrenti

Mensola

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trave appoggiata

 

 

 

Trave incastro-appoggio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trave incastrata ai due estremi