Calcolo di una Sommatoria

Calcolo di una Sommatoria

Versione italiana

Calcolo di una Sommatoria

Definizione di Sommatoria

Una sommatoria è l'operazione di sommare una sequenza di numeri. La notazione per una sommatoria è data da:

S = \sum_{i=m}^{n} a_i

$$S = \sum_{i=m}^{n} a_i$$

dove:

• S$S$ è il risultato della sommatoria.
• i$i$ è l'indice di sommatoria.
• m$m$ è il limite inferiore (il valore iniziale di i$i$).
• n$n$ è il limite superiore (il valore finale di i$i$).
• a_i$a_i$ è l'espressione che definisce i termini da sommare.

Esempio di Sommatoria

Consideriamo la sommatoria:

S = \sum_{i=1}^{5} i

$$S = \sum_{i=1}^{5} i$$

Passo 1: Calcolare i Termini

Calcoliamo i termini della sommatoria:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

$$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$

Passo 2: Sommare i Termini

Sommiamo i termini:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

$$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

Risultato Finale

La sommatoria S = \sum_{i=1}^{5} i$S = \sum_{i=1}^{5} i$ è:

S = 15

$$S = 15$$

Esempio di Sommatoria con una Formula

Consideriamo una sommatoria più complessa:

S = \sum_{i=1}^{n} i^2

$$S = \sum_{i=1}^{n} i^2$$

Formula per la Sommatoria dei Quadrati

La formula per la sommatoria dei quadrati dei primi n$n$ numeri naturali è:

S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

Passo 1: Calcolare per un Valore Specifico

Se n = 3$n = 3$:

S = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = \frac{84}{6} = 14

$$S = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = \frac{84}{6} = 14$$

Risultato Finale

La sommatoria S = \sum_{i=1}^{3} i^2$S = \sum_{i=1}^{3} i^2$ è:

S = 14

$$S = 14$$

English version

Calculating a Sum

Definition of Sum

A sum is the operation of adding a sequence of numbers. The notation for a summation is given by:

S = \sum_{i=m}^{n} a_i

$$S = \sum_{i=m}^{n} a_i$$

where:

• S$S$ is the result of the summation.
• i$i$ is the summation index.
• m$m$ is the lower bound (the initial value of i$i$).
• n$n$ is the upper bound (the final value of i$i$).
• a_i$a_i$ is the expression that defines the terms to be added.

Summation Example

Let's consider the summation:

S = \sum_{i=1}^{5} i

$$S = \sum_{i=1}^{5} i$$

Step 1: Calculate the Terms

Let's calculate the terms of the summation:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

$$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$

Step 2: Add the Terms

Let's add the terms:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

$$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

Final Result

The summation S = \sum_{i=1}^{5} i$S = \sum_{i=1}^{5} i$ is:

S = 15

$$S = 15$$

Summation Example with a Formula

Let's consider a more complex summation:

S = \sum_{i=1}^{n} i^2

$$S = \sum_{i=1}^{n} i^2$$

Formula for the Summation of Squares

The formula for the summation of the squares of the first n$n$ natural numbers is:

S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

Step 1: Calculate for a Specific Value

If n = 3$n = 3$:

S = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = \frac{84}{6} = 14

$$S = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = \frac{84}{6} = 14$$

Final Result

The sum S = \sum_{i=1}^{3} i^2$S = \sum_{i=1}^{3} i^2$ is:

S = 14

$$S = 14$$