Calcolo di una derivata

Calcolo di una derivata

Versione italiana

Calcolo di una Derivata

Definizione di Derivata

La derivata di una funzione f(x)$f(x)$ rappresenta il tasso di variazione della funzione rispetto alla variabile x$x$. La derivata è definita come:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Regole di Derivazione

1. Regola della Costante:

   \frac{d}{dx}(c) = 0

   $$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

   dove c$c$ è una costante.

2. Regola della Potenza:

   \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}

   $$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$$

3. Regola della Somma:

   \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

   $$\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$$

4. Regola del Prodotto:

   \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

   $$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

5. Regola del Quoziente:

   \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

6. Regola della Catena:

   \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

   $$\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Esempio di Calcolo di una Derivata

Consideriamo la funzione:

f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2

$$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$$

Passo 1: Applicare la Regola della Potenza

Calcoliamo la derivata f'(x)$f'(x)$:

f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)$$

Passo 2: Derivare ciascun termine

Utilizzando la regola della potenza:

f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0

$$f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0$$

Passo 3: Semplificare

Semplificando otteniamo:

f'(x) = 12x^3 - 10x

$$f'(x) = 12x^3 - 10x$$

Risultato Finale

La derivata della funzione f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$ è:

f'(x) = 12x^3 - 10x

$$f'(x) = 12x^3 - 10x$$

English version

Derivative Calculation

Definition of Derivative

The derivative of a function f(x)$f(x)$ represents the rate of change of the function with respect to the variable x$x$. The derivative is defined as:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Rules of Derivation

1. Constant Rule:

\frac{d}{dx}(c) = 0

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

where c$c$ is a constant.

2. Power Rule:

\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$$

3. Sum Rule:

\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

$$\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$$

4. Product Rule:

\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f' (x)g(x) + f(x)g'(x)

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f' (x)g(x) + f(x)g'(x)$$

5. Quotient Rule:

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

6. Chain Rule:

\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

$$\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Example of Derivative Calculation

Consider the function:

f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2

$$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$$

Step 1: Apply the Power Rule

Let's calculate the derivative f'(x)$f'(x)$:

f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)$$

Step 2: Differentiate each term

Using the power rule:

f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0

$$f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0$$

Step 3: Simplify

Simplifying gives:

f'(x) = 12x^3 - 10x

$$f'(x) = 12x^3 - 10x$$

Final Result

The derivative of the function f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2$ is:

f'(x) = 12x^3 - 10x

$$f'(x) = 12x^3 - 10x$$