Versione italiana
Calcolo di una Derivata
Definizione di Derivata
La derivata di una funzione f(x)f(x) rappresenta il tasso di variazione della funzione rispetto alla variabile xx. La derivata è definita come:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​
Regole di Derivazione
-
Regola della Costante:
\frac{d}{dx}(c) = 0
dxd​(c)=0
dove cc è una costante.
-
Regola della Potenza:
\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}
dxd​(xn)=nxn−1
-
Regola della Somma:
\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
dxd​(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)
-
Regola del Prodotto:
\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
dxd​(f(x)⋅g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
-
Regola del Quoziente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
dxd​(g(x)f(x)​)=(g(x))2f′(x)g(x)−f(x)g′(x)​
-
Regola della Catena:
\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
dxd​(f(g(x)))=f′(g(x))⋅g′(x)
Esempio di Calcolo di una Derivata
Consideriamo la funzione:
f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2
f(x)=3x4−5x2+2
Passo 1: Applicare la Regola della Potenza
Calcoliamo la derivata f'(x)f′(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)
f′(x)=dxd​(3x4)−dxd​(5x2)+dxd​(2)
Passo 2: Derivare ciascun termine
Utilizzando la regola della potenza:
f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0
f′(x)=3⋅4x4−1−5⋅2x2−1+0
Passo 3: Semplificare
Semplificando otteniamo:
f'(x) = 12x^3 - 10x
f′(x)=12x3−10x
Risultato Finale
La derivata della funzione f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2f(x)=3x4−5x2+2 è:
f'(x) = 12x^3 - 10x
f′(x)=12x3−10x
English version
Derivative Calculation
Definition of Derivative
The derivative of a function f(x)f(x) represents the rate of change of the function with respect to the variable xx. The derivative is defined as:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​
Rules of Derivation
- Constant Rule:
\frac{d}{dx}(c) = 0
dxd​(c)=0
where cc is a constant.
- Power Rule:
\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}
dxd​(xn)=nxn−1
- Sum Rule:
\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
dxd​(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)
- Product Rule:
\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f' (x)g(x) + f(x)g'(x)
dxd​(f(x)⋅g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
- Quotient Rule:
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
dxd​(g(x)f(x)​)=(g(x))2f′(x)g(x)−f(x)g′(x)​
- Chain Rule:
\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
dxd​(f(g(x)))=f′(g(x))⋅g′(x)
Example of Derivative Calculation
Consider the function:
f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2
f(x)=3x4−5x2+2
Step 1: Apply the Power Rule
Let's calculate the derivative f'(x)f′(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2)
f′(x)=dxd​(3x4)−dxd​(5x2)+dxd​(2)
Step 2: Differentiate each term
Using the power rule:
f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0
f′(x)=3⋅4x4−1−5⋅2x2−1+0
Step 3: Simplify
Simplifying gives:
f'(x) = 12x^3 - 10x
f′(x)=12x3−10x
Final Result
The derivative of the function f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2f(x)=3x4−5x2+2 is:
f'(x) = 12x^3 - 10x
f′(x)=12x3−10x
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