Calcolo di un'equazione differenziale del primo ordine

Calcolo di un'equazione differenziale del primo ordine

Versione italiana

Calcolo di un'Equazione Differenziale del Primo Ordine

Definizione

Un'equazione differenziale del primo ordine ha la forma generale:

\frac{dy}{dx} = f(x, y)

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

dove y$y$ è la funzione incognita di x$x$ e f(x, y)$f(x, y)$ è una funzione nota.

Tipi di Equazioni Differenziali del Primo Ordine

1. Equazioni separabili
2. Equazioni lineari
3. Equazioni omogenee
4. Equazioni esatte

Esempio: Equazione Separabile

Consideriamo l'equazione differenziale:

\frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x)

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x)$$

Passo 1: Separare le variabili

Separiamo le variabili y$y$ e x$x$:

\frac{1}{y} dy = \sin(x) dx

$$\frac{1}{y} dy = \sin(x) dx$$

Passo 2: Integrare entrambi i lati

Integrando entrambi i lati otteniamo:

\int \frac{1}{y} dy = \int \sin(x) dx

$$\int \frac{1}{y} dy = \int \sin(x) dx$$

Le integrazioni danno:

\ln |y| = -\cos(x) + C

$$\ln |y| = -\cos(x) + C$$

dove C$C$ è la costante di integrazione.

Passo 3: Risolvere per y$y$

Esponenziando entrambi i lati, otteniamo:

|y| = e^{-\cos(x) + C} = e^C e^{-\cos(x)}

$$|y| = e^{-\cos(x) + C} = e^C e^{-\cos(x)}$$

Definiamo K = e^C$K = e^C$ (una costante positiva):

y = K e^{-\cos(x)}

$$y = K e^{-\cos(x)}$$

Risultato Finale

La soluzione generale dell'equazione differenziale è:

y = K e^{-\cos(x)}

$$y = K e^{-\cos(x)}$$

dove K$K$ è una costante arbitraria.

Esempio: Equazione Lineare

Consideriamo l'equazione differenziale:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

dove P(x)$P(x)$ e Q(x)$Q(x)$ sono funzioni note.

Passo 1: Trovare il fattore integrante

Il fattore integrante \mu(x)$\mu(x)$ è dato da:

\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}

$$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$$

Passo 2: Moltiplicare per il fattore integrante

Moltiplichiamo l'equazione per \mu(x)$\mu(x)$:

\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)

$$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)$$

Passo 3: Riscrivere come derivata

L'equazione diventa:

\frac{d}{dx}[\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)

$$\frac{d}{dx}[\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)$$

Passo 4: Integrare

Integrando entrambi i lati:

\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C

$$\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C$$

Passo 5: Risolvere per y$y$

Infine, risolviamo per y$y$:

y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right)

$$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right)$$

English version

Calculating a First Order Differential Equation

Definition

A first order differential equation has the general form:

\frac{dy}{dx} = f(x, y)

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

where y$y$ is the unknown function of x$x$ and f(x, y)$f(x, y)$ is a known function.

Types of First Order Differential Equations

1. Separable Equations
2. Linear Equations
3. Homogeneous Equations
4. Exact Equations

Example: Separable Equation

Consider the differential equation:

\frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x)

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x)$$

Step 1: Separate the variables

Separate the variables y$y$ and x$x$:

\frac{1}{y} dy = \sin(x) dx

$$\frac{1}{y} dy = \sin(x) dx$$

Step 2: Integrate both sides

Integrating both sides gives:

\int \frac{1}{y} dy = \int \sin(x) dx

$$\int \frac{1}{y} dy = \int \sin(x) dx$$

Integrations give:

\ln |y| = -\cos(x) + C

$$\ln |y| = -\cos(x) + C$$

where C$C$ is the constant of integration.

Step 3: Solve for y$y$

Exponentiating both sides, we get:

|y| = e^{-\cos(x) + C} = e^C e^{-\cos(x)}

$$|y| = e^{-\cos(x) + C} = e^C e^{-\cos(x)}$$

Let's define K = e^C$K = e^C$ (a positive constant):

y = K e^{-\cos(x)}

$$y = K e^{-\cos(x)}$$

Final Result

The general solution to the differential equation is:

y = K e^{-\cos(x)}

$$y = K e^{-\cos(x)}$$

where K$K$ is an arbitrary constant.

Example: Linear Equation

Consider the differential equation:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

where P(x)$P(x)$ and Q(x)$Q(x)$ are known functions.

Step 1: Find the integrating factor

The integrating factor \mu(x)$\mu(x)$ is given by:

\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}

$$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$$

Step 2: Multiply by the integrating factor

We multiply the equation by \mu(x)$\mu(x)$:

\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)

$$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)$$

Step 3: Rewrite as a derivative

The equation becomes:

\frac{d}{dx}[\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)

$$\frac{d}{dx}[\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)$$

Step 4: Integrate

Integrating both sides:

\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C

$$\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C$$

Step 5: Solve for y$y$

Finally, we solve for y$y$:

y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right)

$$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right)$$