Calcolo di un'Equazione Parametrica di un Piano e di una Retta

Calcolo di un'Equazione Parametrica di un Piano e di una Retta

Calcolo di un'Equazione Parametrica di un Piano e di una Retta

Versione italiana

Calcolo di un'Equazione Parametrica di un Piano e di una Retta

1. Equazione Parametrica di una Retta

Per trovare l'equazione parametrica di una retta nello spazio, abbiamo bisogno di un punto P_0(x_0, y_0, z_0)$P_0(x_0, y_0, z_0)$ e di un vettore direzionale \vec{v} = (a, b, c)$\vec{v} = (a, b, c)$.

Formula

L'equazione parametrica della retta può essere espressa come:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

dove t$t$ è un parametro reale.

Esempio

Consideriamo i punti P_0(1, 2, 3)$P_0(1, 2, 3)$ e un vettore direzionale \vec{v} = (4, 5, 6)$\vec{v} = (4, 5, 6)$.

L'equazione parametrica della retta sarà:

\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 5t \\ z = 3 + 6t \end{cases}

$$\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 5t \\ z = 3 + 6t \end{cases}$$

2. Equazione Parametrica di un Piano

Per trovare l'equazione parametrica di un piano nello spazio, abbiamo bisogno di un punto P_0(x_0, y_0, z_0)$P_0(x_0, y_0, z_0)$ e di due vettori non paralleli \vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$ e \vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$ che giacciono nel piano.

Formula

L'equazione parametrica del piano può essere espressa come:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

dove s$s$ e t$t$ sono parametri reali.

Esempio

Consideriamo il punto P_0(1, 2, 3)$P_0(1, 2, 3)$ e i vettori \vec{v_1} = (1, 0, 0)$\vec{v_1} = (1, 0, 0)$ e \vec{v_2} = (0, 1, 0)$\vec{v_2} = (0, 1, 0)$.

L'equazione parametrica del piano sarà:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Che si può scrivere come:

\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}

$$\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}$$

English version

Calculating a Parametric Equation of a Plane and a Line

1. Parametric Equation of a Line

To find the parametric equation of a line in space, we need a point P_0(x_0, y_0, z_0)$P_0(x_0, y_0, z_0)$ and a directional vector \vec{v} = (a, b, c)$\vec{v} = (a, b, c)$.

Formula

The parametric equation of the line can be expressed as:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

where t$t$ is a real parameter.

Example

Consider the points P_0(1, 2, 3)$P_0(1, 2, 3)$ and a directional vector \vec{v} = (4, 5, 6)$\vec{v} = (4, 5, 6)$.

The parametric equation of the line will be:

\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 5t \\ z = 3 + 6t \end{cases}

$$\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 5t \\ z = 3 + 6t \end{cases}$$

2. Parametric Equation of a Plane

To find the parametric equation of a plane in space, we need a point P_0(x_0, y_0, z_0)$P_0(x_0, y_0, z_0)$ and two non-parallel vectors \vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$ and \vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$ that lie in the plane.

Formula

The parametric equation of the plane can be expressed as:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

where s$s$ and t$t$ are real parameters.

Example

Consider the point P_0(1, 2, 3)$P_0(1, 2, 3)$ and the vectors \vec{v_1} = (1, 0, 0)$\vec{v_1} = (1, 0, 0)$ and \vec{v_2} = (0, 1, 0)$\vec{v_2} = (0, 1, 0)$.

The parametric equation of the plane will be:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Which can be written as:

\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}

$$\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}$$