Riassunti analisi II

Riassunti analisi II

Tipologie di insiemi

• Insieme limitato = un insieme contenuto all'interno di una sfera di raggio finito.

• Insieme aperto = un insieme in cui ogni punto è circondato da altri punti dell'insieme stesso.

• Insieme chiuso = se è limitato e compatto

• Insieme connesso = un insieme in cui è possibile collegare due punti qualsiasi con un percorso continuo all'interno dell'insieme.

• Insieme convesso = se è compatto e chiuso

• Insieme compatto = se è sia chiuso che limitato.

 

Somme di una serie

Una successione è detta successione delle somme parziali della serie se esiste il allora

Questo limite può avere quattro risultati:

• se , la serie converge ad l

• se la serie diverge a

• se la serie diverge a

•  non esiste, la serie è irregolare

 

Funzioni di due variabili

Determinazione punti critici e loro identificazione funzioni di due variabili

1) calcolare le derivate parziali prime

2) e determinare i punti critici

3) calcolare le derivate parziali seconde e quelle miste generiche

4) calcolare le derivate seconde nei punti critici

5) scrivere l’hessiano e determinare il tipo di punto. Per fare ciò si può usare il determinante

Determinante

- e   il punto è di minimo relativo

- e    il punto è di massimo relativo

- , il punto è di sella

- , il punto può essere di minimo, di massimo o di sella

 

Convessità e concavità di una funzione a due variabili

Convessità e concavità di una funzione a due variabili

• convessa = se det > 0 e > 0  

• concava: se det  > 0 e < 0

• nè concava nè convessa: se  

 

Caratterizzazione per le matrici diagonali

Sia D una matrice diagonale e indichiamo con gli elementi della sua diagonale principale, la matrice è:

• definita positiva =

• definita negativa =

• semidefinita positiva =

• semidefinita negativa =

• indefinita = gli elementi sono sia minori di zero che maggiori

 

Polinomio di Taylor di ordine 2

Estremi superiore e inferiore di una funzione a due variabili

• se c’è un punto di minimo, quello è l’estremo inferiore

• se c’è un punto di massimo, quello è l’estremo superiore

• si calcola il

se non si trovano gli estremi, allora si calcola

 

Piano tangente

Direzione di massima e minima crescita

Massima crescita

Minima crescita

 

Studio del segno di una funzione

Circonferenza

In una circonferenza abbiamo che:

• all’interno della circonferenza il segno è negativo

• all’esterno della circonferenza il segno è positivo

Logaritmo

In un log(x) il segno è dato dall’argomento del logaritmo, nello specifico:

• se x > 1, il logaritmo è positivo

• se 0 < x < 1, il segno è negativo

• se x = 0, il logaritmo è nullo

 

Limiti di funzioni di due variabili

I limiti di funzioni a due variabili sono un'estensione del concetto di limite per funzioni di una variabile a funzioni che dipendono da due variabili, generalmente indicate come f(x,y). Il limite di una funzione a due variabili descrive il comportamento della funzione f(x,y) mentre le variabili x e y si avvicinano a un punto specifico (a,b).

Calcolo del limite di una funzione a due variabili

Calcolare il limite di una funzione a due variabili può essere più complesso rispetto al caso di una variabile, poiché bisogna considerare tutte le possibili direzioni da cui si può avvicinare il punto di interesse.

Metodi per il calcolo di limiti di funzioni di due variabili:

• controllo delle direzioni comuni = si prova a calcolare il limite lungo linee comuni che attraversano (a, b), come:

• x = a

• y = b

• y = mx + n  (retta generica)

• y = kx  (retta passante per l'origine)

• conversione a coordinate polari = una tecnica utile consiste nel convertire la funzione in coordinate polari, particolarmente quando si avvicina all'origine (0,0):

• 

• 

• verifica il limite quando

• utilizzo di disuguaglianze = usa disuguaglianze per dimostrare che la funzione si avvicina a un limite specifico indipendentemente dalla direzione.

 

Equazioni differenziali

Si possono dividere in diversi modi, in base al:

• ordine dell’equazione = è il massimo ordine di derivata di che compone l’equazione

• lineare o non lineare = in base all’ordine di y

• omogenee e non omogenee = in base alla presenza o meno di b(x) 

In base all’ordine dell’equazione, abbiamo:

• equazione differenziale del primo ordine: y’(x) = a(x)y(x) + b(x)

• equazione differenziale del secondo ordine: ay’’(x) + by’(x) + cy(x) = d

In base all’ordine di y abbiamo:

• equazione differenziale del primo ordine lineare

• equazione differenziale del primo ordine non lineare

• equazione differenziale del secondo ordine lineare

• equazione differenziale del secondo ordine non lineare

 

Equazione differenziale del primo ordine

Equazione: y’(x) = a(x)y(x) + b(x) o y’ = ay + b

Equazione omogenea associata: y’ = ay

Equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili

Equazione: y’(x) = g(x)h(y)

 

Metodi di risoluzione per un’equazione differenziale lineare del primo ordine

Variazione della costante

Si cerca una soluzione nella forma dove A(x) è una primitiva di a in I.

Sostituendo nell’equazione y’ = ay + b si ha:

 

Equazione differenziale del secondo ordine

Equazione: ay’’(x) + by’(x) + cy(x) = d  oppure  ay’’ + by’ + cy = d

Equazione omogenea associata: ay’’ + by’ + cy = 0

 

Metodi risolutivi per un’equazione differenziale lineare del secondo ordine

Equazione omogenea

Consideriamo l’equazione lineare a coefficienti costanti .

Per determinare la soluzione generale di questa equazione si sostituisce e si ottiene l’equazione caratteristica associata:

Teorema

1. se , dette le due soluzioni reali dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è:  

2. se , detta la soluzione (reale) dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell’equazione omogenea è:

3. e sono le due soluzioni complesse dell’equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione omogenea è:

Equazione non omogenea

es.

la soluzione generale, y(x), sarà data da:

•  

• 

• 

La soluzione particolare, , dipende da che cosa c’è a dx dell’equazione:

• costante:     a non è il coefficiente nell’equazione

• polinomio di primo grado:  

Poi si deve moltiplicare i coefficienti dell’equazione caratteristica per la soluzione particolare e le sue derivate:

Procedimento

1. risolvo l’equazione caratteristica associata e trovo la soluzione generale

2. uguaglio la soluzione particolare alla parte a dx della funzione di partenza, e poi calcolo le derivata prima e secondo della soluzione particolare

3. per trovare il valore della soluzione particolare, prendo i coefficienti dell’equazione caratteristica e li moltiplico per la soluzione particolare e per le sue derivate (il coefficiente moltiplicato per andrà moltiplicato per la derivata seconda, ll coefficiente moltiplicato per per la derivata prima e il termine noto per la soluzione particolare) ponendo il tutto uguale alla parte dx dell’equazione differenziale di partenza

4. sostituisco il valore della soluzione particolare nella soluzione generale

 

Integrali doppi su rettangoli

Integrali doppi su domini semplici

 

Curva piana, cartesiana, chiusa, semplice

Per stabilire se una curva è piana, cartesiana, chiusa e semplice, puoi seguire questi criteri:

• piana = la curva deve essere descrivibile da funzioni a due variabili (x, y).

• cartesiana = una curva è cartesiana se le sue coordinate possono essere espresse come funzioni di una singola variabile

• chiusa = il punto iniziale deve coincidere con il punto finale.

• semplice = la curva non deve avere autointersezioni, eccetto possibilmente ai suoi estremi se è chiusa.

Curve

Una curva si dice:

• chiusa:

• semplice: preso un intervallo 

• cartesiana: se è semplice e piana

• piana: se n = 2

• regolare:

Sostegno di una curva = è l’immagine della curva

Velocità scalare:

Velocità vettoriale:

Accelerazione vettoriale:

Accelerazione scalare:  

Vettore tangente:

Versore tangente:

Retta tangente:

Curva rettificabile:

Lunghezza della curva:

 

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