Calcolo del rango di una matrice

Calcolo del rango di una matrice

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Calcolo del Rango di una Matrice

Il rango di una matrice è il numero massimo di colonne (o righe) linearmente indipendenti della matrice. Ci sono diversi metodi per calcolare il rango di una matrice. Ecco alcuni dei più comuni:

1. Riduzione di Gauss (Eliminazione di Gauss)

1. Trasforma la matrice in una forma normale (forma di Gauss o forma normale di Gauss-Jordan) utilizzando operazioni elementari sulle righe.
2. Il rango è uguale al numero di righe non nulle nella forma ridotta.

Esempio

Considera la matrice:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

1. Applica operazioni elementari per ridurre la matrice:
   • Sottrai 4 volte la prima riga dalla seconda e 7 volte la prima riga dalla terza.
   • Otterrai:

   \begin{pmatrix}    1 & 2 & 3 \\    0 & -3 & -6 \\    0 & -6 & -12    \end{pmatrix}

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$
2. Continua a ridurre fino a ottenere la forma normale.
3. Conta le righe non nulle.

In questo caso, il rango della matrice $ A $ è 2, poiché ci sono 2 righe non nulle nella forma ridotta.

2. Determinanti

Per matrici quadrate, puoi calcolare i determinanti delle sottomatrici. Il rango è il massimo ordine di una sottomatrice quadrata che ha un determinante diverso da zero.

English version

Calculating the Rank of a Matrix

The rank of a matrix is ​​the maximum number of linearly independent columns (or rows) of the matrix. There are several methods to calculate the rank of a matrix. Here are some of the most common:

1. Gaussian reduction (Gaussian elimination)

1. Transform the matrix into a normal form (Gaussian form or Gauss-Jordan normal form) using elementary row operations.
2. The rank is equal to the number of non-zero rows in the reduced form.

Example

Consider the matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

1. Apply elementary operations to reduce the matrix:

• Subtract the first row from the second row 4 times and the first row from the third 7 times.
• You will get:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$

2. Continue reducing until you get the normal form.
3. Count the non-zero rows.

In this case, the rank of the matrix $ A $ is 2, since there are 2 non-zero rows in the reduced form.

2. Determinants

For square matrices, you can calculate the determinants of the submatrices. The rank is the highest order of a square submatrix that has a non-zero determinant.