Calcolo di un integrale

Calcolo di un integrale

Versione italiana

Calcolo di un Integrale

Un integrale è un concetto fondamentale in analisi matematica che rappresenta l'area sotto una curva definita da una funzione. Gli integrali possono essere classificati in due categorie principali: integrali indefiniti e integrali definiti.

1. Integrale Indefinito

L'integrale indefinito di una funzione f(x)$f(x)$ è rappresentato come:

\int f(x) \, dx

$$\int f(x) \, dx$$

L'integrale indefinito restituisce una famiglia di funzioni, chiamate primitive, e include una costante di integrazione C$C$:

\int f(x) \, dx = F(x) + C

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

dove F(x)$F(x)$ è una primitiva di f(x)$f(x)$.

Esempio

Calcoliamo l'integrale indefinito della funzione f(x) = 2x$f(x) = 2x$:

\int 2x \, dx = x^2 + C

$$\int 2x \, dx = x^2 + C$$

2. Integrale Definito

L'integrale definito di una funzione f(x)$f(x)$ su un intervallo [a, b]$[a, b]$ è rappresentato come:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

L'integrale definito restituisce un numero che rappresenta l'area sotto la curva di f(x)$f(x)$ tra x = a$x = a$ e x = b$x = b$.

Esempio

Calcoliamo l'integrale definito della funzione f(x) = 2x$f(x) = 2x$ da 0$0$ a 1$1$:

\int_{0}^{1} 2x \, dx

$$\int_{0}^{1} 2x \, dx$$

1. Trova la primitiva:

   F(x) = x^2

   $$F(x) = x^2$$

2. Applica il Teorema Fondamentale del Calcolo:

   \int_{0}^{1} 2x \, dx = F(1) - F(0) = (1^2) - (0^2) = 1 - 0 = 1

   $$\int_{0}^{1} 2x \, dx = F(1) - F(0) = (1^2) - (0^2) = 1 - 0 = 1$$

Quindi, l'integrale definito di f(x) = 2x$f(x) = 2x$ da 0$0$ a 1$1$ è 1.

English version

Calculating an Integral

An integral is a fundamental concept in mathematical analysis that represents the area under a curve defined by a function. Integrals can be classified into two main categories: indefinite integrals and definite integrals.

1. Indefinite Integral

The indefinite integral of a function f(x)$f(x)$ is represented as:

\int f(x) \, dx

$$\int f(x) \, dx$$

The indefinite integral returns a family of functions, called primitives, and includes a constant of integration C$C$:

\int f(x) \, dx = F(x) + C

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

where F(x)$F(x)$ is a primitive of f(x)$f(x)$.

Example

Let's calculate the indefinite integral of the function f(x) = 2x$f(x) = 2x$:

\int 2x \, dx = x^2 + C

$$\int 2x \, dx = x^2 + C$$

2. Definite Integral

The definite integral of a function f(x)$f(x)$ on an interval [a, b]$[a, b]$ is represented as:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

The definite integral returns a number that represents the area under the curve of f(x)$f(x)$ between x = a$x = a$ and x = b$x = b$.

Example

Let's calculate the definite integral of the function f(x) = 2x$f(x) = 2x$ from 0$0$ to 1$1$:

\int_{0}^{1} 2x \, dx

$$\int_{0}^{1} 2x \, dx$$

1. Find the primitive:

F(x) = x^2

$$F(x) = x^2$$

2. Apply the Fundamental Theorem of Calculus:

\int_{0}^{1} 2x \, dx = F(1) - F(0) = (1^2) - (0^2) = 1 - 0 = 1

$$\int_{0}^{1} 2x \, dx = F(1) - F(0) = (1^2) - (0^2) = 1 - 0 = 1$$

So, the definite integral of f(x) = 2x$f(x) = 2x$ from 0$0$ to 1$1$ is 1.