Calcolo di Autovalori e Autovettori

Calcolo di Autovalori e Autovettori

Versione italiana

Calcolo di Autovalori e Autovettori

Definizioni

• Autovalore: Un numero λ è un autovalore di una matrice A se esiste un vettore non nullo v tale che:

  A v = \lambda v

  $$A v = \lambda v$$

• Autovettore: Un vettore v è un autovettore associato all'autovalore λ se soddisfa l'equazione sopra.

Passaggi per il Calcolo

1. Determinare l'equazione caratteristica:
   L'equazione caratteristica di una matrice A è data da:

   \text{det}(A - \lambda I) = 0

   $$\text{det}(A - \lambda I) = 0$$

   dove I è la matrice identità della stessa dimensione di A.

2. Calcolare gli autovalori:
   Risolvere l'equazione caratteristica per λ. Gli zeri dell'equazione forniscono gli autovalori.

3. Calcolare gli autovettori:
   Per ogni autovalore λ, risolvere il sistema di equazioni:

   (A - \lambda I)v = 0

   $$(A - \lambda I)v = 0$$

   Questo sistema può essere risolto utilizzando metodi come l'eliminazione di Gauss.

Esempio

Consideriamo la matrice:

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Passo 1: Equazione caratteristica

Calcoliamo \text{det}(A - \lambda I)$\text{det}(A - \lambda I)$:

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}$$

Calcoliamo il determinante:

\text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(1) = \lambda^2 - 7\lambda + 10

$$\text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(1) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$$

Passo 2: Autovalori

Risolvendo l'equazione:

\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$$

Utilizzando la formula quadratica:

\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}

$$\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$

Gli autovalori sono:

\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2

$$\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2$$

Passo 3: Autovettori

Per \lambda_1 = 5$\lambda_1 = 5$:

(A - 5I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

$$(A - 5I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$$

Da cui otteniamo x_1 = x_2$x_1 = x_2$. Un autovettore è:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Per \lambda_2 = 2$\lambda_2 = 2$:

(A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

$$(A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$$

Da cui otteniamo 2x_1 + x_2 = 0$2x_1 + x_2 = 0$ o x_2 = -2x_1$x_2 = -2x_1$. Un autovettore è:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}

$$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Risultati Finali

• Autovalori: \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$
• Autovettori:
  • Per \lambda_1 = 5$\lambda_1 = 5$: v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
  • Per \lambda_2 = 2$\lambda_2 = 2$: v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

English version

Calculating Eigenvalues ​​and Eigenvectors

Definitions

• Eigenvalue: A number λ is an eigenvalue of a matrix A if there exists a nonzero vector v such that:

A v = \lambda v

$$A v = \lambda v$$

• Eigenvector: A vector v is an eigenvector associated with the eigenvalue λ if it satisfies the equation above.

Steps for Calculation

1. Determine the characteristic equation:
   The characteristic equation of a matrix A is given by:

\text{det}(A - \lambda I) = 0

$$\text{det}(A - \lambda I) = 0$$

where $ I $ is the identity matrix of the same dimension as A.

2. Calculate the eigenvalues:
   Solve the characteristic equation for λ. The zeros of the equation provide the eigenvalues.

3. Calculate the eigenvectors:
   For each eigenvalue λ, solve the system of equations:

(A - \lambda I)v = 0

$$(A - \lambda I)v = 0$$

This system can be solved using methods such as Gaussian elimination.

Example

Consider the matrix:

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Step 1: Characteristic equation

Let's calculate \text{det}(A - \lambda I)$\text{det}(A - \lambda I)$:

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}$$

Let's calculate the determinant:

\text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(1) = \lambda^2 - 7\lambda + 10

$$\text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(1) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$$

Step 2: Eigenvalues

Solving the equation:

\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$$

Using the quadratic formula:

\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}

$$\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$

The eigenvalues ​​are:

\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2

$$\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2$$

Step 3: Eigenvectors

For \lambda_1 = 5$\lambda_1 = 5$:

(A - 5I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

$$(A - 5I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$$

From which we get x_1 = x_2$x_1 = x_2$. An eigenvector is:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

For \lambda_2 = 2$\lambda_2 = 2$:

(A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

$$(A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$$

From which we get 2x_1 + x_2 = 0$2x_1 + x_2 = 0$ or x_2 = -2x_1$x_2 = -2x_1$. An eigenvector is:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}

$$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Final Results

• Eigenvalues: \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$
• Eigenvectors:
• For \lambda_1 = 5$\lambda_1 = 5$: v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
• For \lambda_2 = 2$\lambda_2 = 2$: v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$