Calcolo di Insiemi di Convessità e Concavità per Funzioni di Due Variabili

Calcolo di Insiemi di Convessità e Concavità per Funzioni di Due Variabili

Calcolo di Insiemi di Convessità e Concavità per Funzioni di Due Variabili

Versione italiana

Calcolo di Insiemi di Convessità e Concavità per Funzioni di Due Variabili

Consideriamo una funzione di due variabili f(x, y)$f(x, y)$. Per determinare la concavità e la convessità della funzione, utilizziamo la matrice Hessiana.

1. Definizione della Funzione

Sia f(x, y)$f(x, y)$ una funzione di due variabili. Ad esempio:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

2. Calcolo delle Derivate Parziali

Calcoliamo le derivate parziali seconde della funzione:

• Derivata parziale prima rispetto a x$x$:

  f_x = \frac{\partial f}{\partial x}

  $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$$

• Derivata parziale prima rispetto a y$y$:

  f_y = \frac{\partial f}{\partial y}

  $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$$

• Derivata parziale seconda rispetto a x$x$:

  f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

  $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$$

• Derivata parziale seconda rispetto a y$y$:

  f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

  $$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

• Derivata parziale mista:

  f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

  $$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$

3. Costruzione della Matrice Hessiana

La matrice Hessiana H$H$ è definita come:

H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}

$$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}$$

4. Determinante della Matrice Hessiana

Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana:

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

5. Condizioni di Convessità e Concavità

• Convessità: La funzione f(x, y)$f(x, y)$ è convessa in un punto se:

  • D > 0$D > 0$
  • f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$

• Concavità: La funzione f(x, y)$f(x, y)$ è concava in un punto se:

  • D > 0$D > 0$
  • f_{xx} < 0$f_{xx} < 0$

• Punto di sella: Se D < 0$D < 0$, la funzione ha un punto di sella in quel punto.

6. Esempio Pratico

Consideriamo la funzione:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

Calcolo delle Derivate

• f_x = 2x$f_x = 2x$
• f_y = 2y$f_y = 2y$
• f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$
• f_{yy} = 2$f_{yy} = 2$
• f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$

Costruzione della Matrice Hessiana

H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

$$H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Calcolo del Determinante

D = (2)(2) - (0)^2 = 4

$$D = (2)(2) - (0)^2 = 4$$

Analisi della Convessità

• D > 0$D > 0$
• f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$

Quindi, la funzione f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$ è convessa in tutto il suo dominio.

English version

Calculating Convexity and Concavity Sets for Functions of Two Variables

Consider a function of two variables f(x, y)$f(x, y)$. To determine the concavity and convexity of the function, we use the Hessian matrix.

1. Definition of the Function

Let f(x, y)$f(x, y)$ be a function of two variables. For example:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

2. Calculating Partial Derivatives

Let's calculate the second partial derivatives of the function:

• First partial derivative with respect to x$x$:

f_x = \frac{\partial f}{\partial x}

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$$

• First partial derivative with respect to y$y$:

f_y = \frac{\partial f}{\partial y}

$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$$

• Second partial derivative with respect to x$x$:

f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$$

• Second partial derivative with respect to y$y$:

f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

$$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

• Mixed partial derivative:

f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$

3. Construction of the Hessian Matrix

The Hessian matrix H$H$ is defined as:

H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}

$$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}$$

4. Determinant of the Hessian Matrix

Let's calculate the determinant of the Hessian matrix:

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

5. Convexity and Concavity Conditions

• Convexity: The function f(x, y)$f(x, y)$ is convex at a point if:

• D > 0$D > 0$

• f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$

• Concavity: The function f(x, y)$f(x, y)$ is concave at a point if:

• D > 0$D > 0$

• f_{xx} < 0$f_{xx} < 0$

• Saddle Point: If D < 0$D < 0$, the function has a saddle point at that point.

6. Practical Example

Let's consider the function:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

Derivative Calculation

• f_x = 2x$f_x = 2x$
• f_y = 2y$f_y = 2y$
• f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$
• f_{yy} = 2$f_{yy} = 2$
• f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$

Construction of the Hessian Matrix

H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

$$H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Determinant Calculation

D = (2)(2) - (0)^2 = 4

$$D = (2)(2) - (0)^2 = 4$$

Convexity Analysis

• D > 0$D > 0$
• f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$

Therefore, the function f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$ is convex throughout its domain.