Derivata

Derivata

Derivata

Versione italiana

Derivata

La derivata è un concetto fondamentale del calcolo che misura il tasso di variazione di una funzione rispetto a una delle sue variabili. In altre parole, la derivata di una funzione in un punto fornisce la pendenza della tangente alla curva della funzione in quel punto.

Notazione

La derivata di una funzione f(x)$f(x)$ può essere rappresentata in vari modi:

• f'(x)$f'(x)$ (notazione di Lagrange)
• \frac{df}{dx}$\frac{df}{dx}$ (notazione di Leibniz)
• Df(x)$Df(x)$ (notazione di Newton)

Definizione Formale

La derivata di una funzione f(x)$f(x)$ in un punto x_0$x_0$ è definita come:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Questo limite, se esiste, rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva in x_0$x_0$.

Regole di Derivazione

Esistono diverse regole per calcolare le derivate:

1. Regola della Costante

Se c$c$ è una costante, allora:

\frac{d}{dx}(c) = 0

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

2. Regola della Potenza

Se f(x) = x^n$f(x) = x^n$, allora:

f'(x) = nx^{n-1}

$$f'(x) = nx^{n-1}$$

3. Regola della Somma

Se f(x) = g(x) + h(x)$f(x) = g(x) + h(x)$, allora:

f'(x) = g'(x) + h'(x)

$$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$

4. Regola del Prodotto

Se f(x) = g(x) \cdot h(x)$f(x) = g(x) \cdot h(x)$, allora:

f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)

$$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$

5. Regola del Quoziente

Se f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, allora:

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}

$$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$$

6. Regola della Catena

Se y = f(g(x))$y = f(g(x))$, allora:

\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Applicazioni delle Derivate

Le derivate hanno molte applicazioni, tra cui:

• Trovare massimi e minimi: Utilizzando la derivata prima per identificare i punti critici.
• Analisi della concavità: Utilizzando la derivata seconda per determinare la concavità della funzione.
• Problemi di ottimizzazione: Risolvendo problemi in cui si cerca di massimizzare o minimizzare una quantità.

Esempio di Derivazione

Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = 3x^2 + 2x + 1$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$:

1. Applicando la regola della potenza:

   f'(x) = 6x + 2

   $$f'(x) = 6x + 2$$

Quindi, la derivata di f(x)$f(x)$ è f'(x) = 6x + 2$f'(x) = 6x + 2$.

English version

Derivative

A derivative is a fundamental concept in calculus that measures the rate of change of a function with respect to one of its variables. In other words, the derivative of a function at a point gives the slope of the tangent to the function's curve at that point.

Notation

The derivative of a function f(x)$f(x)$ can be represented in various ways:

• f'(x)$f'(x)$ (Lagrange notation)
• \frac{df}{dx}$\frac{df}{dx}$ (Leibniz notation)
• Df(x)$Df(x)$ (Newton notation)

Formal Definition

The derivative of a function f(x)$f(x)$ at a point x_0$x_0$ is defined as:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

This limit, if it exists, represents the slope of the tangent line to the curve at x_0$x_0$.

Differentiation Rules

There are several rules for calculating derivatives:

1. Constant Rule

If c$c$ is a constant, then:

\frac{d}{dx}(c) = 0

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

2. Power Rule

If f(x) = x^n$f(x) = x^n$, then:

f'(x) = nx^{n-1}

$$f'(x) = nx^{n-1}$$

3. Sum Rule

If f(x) = g(x) + h(x)$f(x) = g(x) + h(x)$, then:

f'(x) = g'(x) + h'(x)

$$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$

4. Product Rule

If f(x) = g(x) \cdot h(x)$f(x) = g(x) \cdot h(x)$, then:

f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)

$$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$

5. Quotient Rule

If f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, then:

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}

$$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$$

6. Chain Rule

If y = f(g(x))$y = f(g(x))$, then:

\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Applications of Derivatives

Derivatives have many applications, including:

• Finding maxima and minima: Using the first derivative to identify critical points.
• Concavity Analysis: Using the second derivative to determine the concavity of the function.
• Optimization Problems: Solving problems in which one tries to maximize or minimize a quantity.

Derivative Example

Let's calculate the derivative of the function f(x) = 3x^2 + 2x + 1$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$:

1. Applying the power rule:

f'(x) = 6x + 2

$$f'(x) = 6x + 2$$

So, the derivative of f(x)$f(x)$ is f'(x) = 6x + 2$f'(x) = 6x + 2$.