Versione italiana
Calcolo della Base e della Dimensione di uno Spazio Vettoriale
Definizioni
- Spazio Vettoriale: Un insieme di vettori che soddisfa determinate proprietà (chiusura rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare).
- Base: Un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale.
- Dimensione: Il numero di vettori nella base di uno spazio vettoriale.
Esempio
Consideriamo lo spazio vettoriale V generato dai seguenti vettori in \mathbb{R}^3:
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
Passaggi per Trovare la Base e la Dimensione
- Formare una Matrice: Creiamo una matrice A i cui vettori colonna sono i vettori dati.
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
- Riduzione di Gauss: Applichiamo l'algoritmo di eliminazione di Gauss per ridurre la matrice a forma normale.
\text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 1} \quad \text{e} \quad \text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 2}
La matrice diventa:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
- Identificare i Vettori Pivot: I vettori corrispondenti alle colonne con i pivot (1) sono i vettori che formano una base per V.
In questo caso, i vettori \mathbf{v_1} e \mathbf{v_2} sono i vettori pivot.
- Base e Dimensione:
- Base: L'insieme \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \} è una base per V.
- Dimensione: La dimensione di V è 2 (poiché ci sono 2 vettori nella base).
Conclusione
Abbiamo trovato che la base dello spazio vettoriale V è \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \} e la sua dimensione è 2.
English version
Calculating the Basis and Dimension of a Vector Space
Definitions
- Vector Space: A set of vectors that satisfy certain properties (closure under addition and multiplication by a scalar).
- Basis: A set of linearly independent vectors that generate the vector space.
- Dimension: The number of vectors in the basis of a vector space.
Example
Consider the vector space V generated by the following vectors in \mathbb{R}^3:
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
Steps to Find the Basis and Dimension
- Forming a Matrix: Create a matrix A whose column vectors are the given vectors.
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
- Gauss reduction: We apply the Gaussian elimination algorithm to reduce the matrix to normal form.
\text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 1} \quad \text{e} \quad \text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 2}
The matrix becomes:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
- Identify Pivot Vectors: The vectors corresponding to the columns with pivots (1) are the vectors that form a basis for V.
In this case, the vectors \mathbf{v_1} and \mathbf{v_2} are the pivot vectors.
- Basis and Dimension:
- Basis: The set \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \} is a basis for V.
- Dimension: The dimension of V is 2 (since there are 2 vectors in the basis).
Conclusion
We found that the basis of the vector space V is \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \} and its dimension is 2.
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