Calcolo della Base e della Dimensione di uno Spazio Vettoriale

Calcolo della Base e della Dimensione di uno Spazio Vettoriale

Versione italiana

Calcolo della Base e della Dimensione di uno Spazio Vettoriale

Definizioni

• Spazio Vettoriale: Un insieme di vettori che soddisfa determinate proprietà (chiusura rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare).
• Base: Un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale.
• Dimensione: Il numero di vettori nella base di uno spazio vettoriale.

Esempio

Consideriamo lo spazio vettoriale V$V$ generato dai seguenti vettori in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$:

\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

$$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Passaggi per Trovare la Base e la Dimensione

1. Formare una Matrice: Creiamo una matrice A$A$ i cui vettori colonna sono i vettori dati.

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

2. Riduzione di Gauss: Applichiamo l'algoritmo di eliminazione di Gauss per ridurre la matrice a forma normale.

\text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 1} \quad \text{e} \quad \text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 2}

$$\text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 1} \quad \text{e} \quad \text{Riga 3} \rightarrow \text{Riga 3} - \text{Riga 2}$$

La matrice diventa:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

3. Identificare i Vettori Pivot: I vettori corrispondenti alle colonne con i pivot (1) sono i vettori che formano una base per V$V$.

In questo caso, i vettori \mathbf{v_1}$\mathbf{v_1}$ e \mathbf{v_2}$\mathbf{v_2}$ sono i vettori pivot.

4. Base e Dimensione:

• Base: L'insieme \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$ è una base per V$V$.
• Dimensione: La dimensione di V$V$ è 2$2$ (poiché ci sono 2 vettori nella base).

Conclusione

Abbiamo trovato che la base dello spazio vettoriale V$V$ è \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$ e la sua dimensione è 2$2$.

English version

Calculating the Basis and Dimension of a Vector Space

Definitions

• Vector Space: A set of vectors that satisfy certain properties (closure under addition and multiplication by a scalar).
• Basis: A set of linearly independent vectors that generate the vector space.
• Dimension: The number of vectors in the basis of a vector space.

Example

Consider the vector space V$V$ generated by the following vectors in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$:

\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

$$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Steps to Find the Basis and Dimension

1. Forming a Matrix: Create a matrix A$A$ whose column vectors are the given vectors.

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

2. Gauss reduction: We apply the Gaussian elimination algorithm to reduce the matrix to normal form.

\text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 1} \quad \text{e} \quad \text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 2}

$$\text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 1} \quad \text{e} \quad \text{Row 3} \rightarrow \text{Row 3} - \text{Row 2}$$

The matrix becomes:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

3. Identify Pivot Vectors: The vectors corresponding to the columns with pivots (1) are the vectors that form a basis for V$V$.

In this case, the vectors \mathbf{v_1}$\mathbf{v_1}$ and \mathbf{v_2}$\mathbf{v_2}$ are the pivot vectors.

4. Basis and Dimension:

• Basis: The set \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$ is a basis for V$V$.
• Dimension: The dimension of V$V$ is 2$2$ (since there are 2 vectors in the basis).

Conclusion

We found that the basis of the vector space V$V$ is \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \}$ and its dimension is 2$2$.