Calcolo di Rette Parallele, Incidenti e Sghembe con i Vettori

Calcolo di Rette Parallele, Incidenti e Sghembe con i Vettori

Calcolo di Rette Parallele, Incidenti e Sghembe con i Vettori

Versione italiana

Calcolo di Rette Parallele, Incidenti e Sghembe con i Vettori

Richiami di teoria

Vettori

Un vettore è una quantità che ha sia una direzione che un modulo. In geometria, i vettori possono essere utilizzati per rappresentare le direzioni delle rette nello spazio.

Rette Parallele

Due rette sono parallele se i loro vettori direzionali sono proporzionali.

Rette Incidenti

Due rette sono incidenti se si intersecano in un punto. Per determinare se due rette si incontrano, possiamo risolvere il sistema di equazioni rappresentato dai loro vettori.

Rette Sghembe

Due rette sono sghembe se non si incontrano e non sono parallele.

Esercizio 1

Problema: Determina se le seguenti rette sono parallele.

• Rette r_1: \vec{a} = (1, 2, 3)$r_1: \vec{a} = (1, 2, 3)$
• Rette r_2: \vec{b} = (2, 4, 6)$r_2: \vec{b} = (2, 4, 6)$

Soluzione:

Verifichiamo se i vettori sono proporzionali:

\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}

$$\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}$$

Poiché \vec{b}$\vec{b}$ è un multiplo di \vec{a}$\vec{a}$, le rette r_1$r_1$ e r_2$r_2$ sono parallele.

Esercizio 2

Problema: Determina se le seguenti rette sono incidenti.

• Rette r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$
• Rette r_2: \begin{cases} \vec{b} = (2, 3, 4) + s(1, -1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$r_2: \begin{cases} \vec{b} = (2, 3, 4) + s(1, -1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$

Soluzione:

Impostiamo il sistema di equazioni:

\begin{cases} 1 + t = 2 + s \\ 2 + t = 3 - s \\ 3 + t = 4 + 0 \end{cases}

$$\begin{cases} 1 + t = 2 + s \\ 2 + t = 3 - s \\ 3 + t = 4 + 0 \end{cases}$$

Risolviamo il sistema:

1. Dalla prima equazione: t - s = 1$t - s = 1$ (1)
2. Dalla seconda equazione: t + s = 1$t + s = 1$ (2)
3. Dalla terza equazione: t = 1$t = 1$

Sostituiamo t = 1$t = 1$ nell'equazione (1):

1 - s = 1 \implies s = 0

$$1 - s = 1 \implies s = 0$$

Il punto di intersezione è:

\vec{P} = (1 + 1, 2 + 1, 3 + 1) = (2, 3, 4)

$$\vec{P} = (1 + 1, 2 + 1, 3 + 1) = (2, 3, 4)$$

Quindi, le rette r_1$r_1$ e r_2$r_2$ sono incidenti e si incontrano nel punto (2, 3, 4)$(2, 3, 4)$.

Esercizio 3

Problema: Determina se le seguenti rette sono sghembe.

• Rette r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 2, 3) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 2, 3) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$
• Rette r_2: \begin{cases} \vec{b} = (4, 5, 6) + s(2, 1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$r_2: \begin{cases} \vec{b} = (4, 5, 6) + s(2, 1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$

Soluzione:

Verifichiamo se i vettori direzionali sono proporzionali:

\vec{d_1} = (1, 2, 3), \quad \vec{d_2} = (2, 1, 0)

$$\vec{d_1} = (1, 2, 3), \quad \vec{d_2} = (2, 1, 0)$$

Poiché non esiste un numero k$k$ tale che \vec{d_2} = k \cdot \vec{d_1}$\vec{d_2} = k \cdot \vec{d_1}$, le rette non sono parallele.

Verifichiamo se le rette si incontrano risolvendo il sistema di equazioni:

\begin{cases} 1 + t = 4 + 2s \\ 2 + 2t = 5 + s \\ 3 + 3t = 6 + 0 \end{cases}

$$\begin{cases} 1 + t = 4 + 2s \\ 2 + 2t = 5 + s \\ 3 + 3t = 6 + 0 \end{cases}$$

Risolviamo il sistema:

1. Dalla terza equazione:

   3 + 3t = 6 \implies 3t = 3 \implies t = 1

   $$3 + 3t = 6 \implies 3t = 3 \implies t = 1$$

2. Sostituiamo t = 1$t = 1$ nella prima equazione:

   1 + 1 = 4 + 2s \implies 2 = 4 + 2s \implies 2s = -2 \implies s = -1

   $$1 + 1 = 4 + 2s \implies 2 = 4 + 2s \implies 2s = -2 \implies s = -1$$

3. Sostituiamo t = 1$t = 1$ e s = -1$s = -1$ nella seconda equazione per verificare:

   2 + 2(1) = 5 + (-1) \implies 2 + 2 = 5 - 1 \implies 4 = 4

   $$2 + 2(1) = 5 + (-1) \implies 2 + 2 = 5 - 1 \implies 4 = 4$$

Poiché abbiamo trovato valori di t$t$ e s$s$ che soddisfano tutte le equazioni, le rette r_1$r_1$ e r_2$r_2$ si incontrano nel punto:

\vec{P} = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) = (2, 4, 6)

$$\vec{P} = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) = (2, 4, 6)$$

Tuttavia, poiché abbiamo trovato un punto di intersezione, le rette non sono sghembe.

English version

Calculating Parallel, Intersecting, and Skew Lines with Vectors

Theory Recall

Vectors

A vector is a quantity that has both a direction and a magnitude. In geometry, vectors can be used to represent the directions of lines in space.

Parallel Lines

Two lines are parallel if their directional vectors are proportional.

Intersecting Lines

Two lines are intersecting if they intersect at a point. To determine whether two lines meet, we can solve the system of equations represented by their vectors.

Skew Lines

Two lines are skewed if they do not meet and are not parallel.

Exercise 1

Problem: Determine whether the following lines are parallel.

• Lines r_1: \vec{a} = (1, 2, 3)$r_1: \vec{a} = (1, 2, 3)$
• Lines r_2: \vec{b} = (2, 4, 6)$r_2: \vec{b} = (2, 4, 6)$

Solution:

Let's check if the vectors are proportional:

\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}

$$\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}$$

Since \vec{b}$\vec{b}$ is a multiple of \vec{a}$\vec{a}$, the lines r_1$r_1$ and r_2$r_2$ are parallel.

Exercise 2

Problem: Determine if the following lines are incident.

• Lines r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$
• Lines r_2: \begin{cases} \vec{b} = (2, 3, 4) + s(1, -1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$r_2: \begin{cases} \vec{b} = (2, 3, 4) + s(1, -1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$

Solution:

Let's set up the system of equations:

\begin{cases} 1 + t = 2 + s \\ 2 + t = 3 - s \\ 3 + t = 4 + 0 \end{cases}

$$\begin{cases} 1 + t = 2 + s \\ 2 + t = 3 - s \\ 3 + t = 4 + 0 \end{cases}$$

Let's solve the system:

1. From the first equation: t - s = 1$t - s = 1$ (1)
2. From the second equation: t + s = 1$t + s = 1$ (2)
3. From the third equation: t = 1$t = 1$

Let's substitute t = 1$t = 1$ in equation (1):

1 - s = 1 \implies s = 0

$$1 - s = 1 \implies s = 0$$

The point of intersection is:

\vec{P} = (1 + 1, 2 + 1, 3 + 1) = (2, 3, 4)

$$\vec{P} = (1 + 1, 2 + 1, 3 + 1) = (2, 3, 4)$$

Therefore, the lines r_1$r_1$ and r_2$r_2$ are incident and meet at the point (2, 3, 4)$(2, 3, 4)$.

Exercise 3

Problem: Determine whether the following lines are skew.

• Lines r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 2, 3) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$r_1: \begin{cases} \vec{a} = (1, 2, 3) + t(1, 2, 3) \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}$
• Lines r_2: \begin{cases} \vec{b} = (4, 5, 6) + s(2, 1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$r_2: \begin{cases} \vec{b} = (4, 5, 6) + s(2, 1, 0) \\ s \in \mathbb{R} \end{cases}$

Solution:

Let's check whether the directional vectors are proportional:

\vec{d_1} = (1, 2, 3), \quad \vec{d_2} = (2, 1, 0)

$$\vec{d_1} = (1, 2, 3), \quad \vec{d_2} = (2, 1, 0)$$

Since there is no number k$k$ such that \vec{d_2} = k \cdot \vec{d_1}$\vec{d_2} = k \cdot \vec{d_1}$, the lines are not parallel.

Let's check if the lines meet by solving the system of equations:

\begin{cases} 1 + t = 4 + 2s \\ 2 + 2t = 5 + s \\ 3 + 3t = 6 + 0 \end{cases}

$$\begin{cases} 1 + t = 4 + 2s \\ 2 + 2t = 5 + s \\ 3 + 3t = 6 + 0 \end{cases}$$

Let's solve the system:

1. From the third equation:

3 + 3t = 6 \implies 3t = 3 \implies t = 1

$$3 + 3t = 6 \implies 3t = 3 \implies t = 1$$

2. Let's substitute t = 1$t = 1$ in the first equation:

1 + 1 = 4 + 2s \implies 2 = 4 + 2s \implies 2s = -2 \implies s = -1

$$1 + 1 = 4 + 2s \implies 2 = 4 + 2s \implies 2s = -2 \implies s = -1$$

3. Let's substitute t = 1$t = 1$ and s = -1$s = -1$ in the second equation to check:

2 + 2(1) = 5 + (-1) \implies 2 + 2 = 5 - 1 \implies 4 = 4

$$2 + 2(1) = 5 + (-1) \implies 2 + 2 = 5 - 1 \implies 4 = 4$$

Since we have found values ​​of t$t$ and s$s$ that satisfy all the equations, the lines r_1$r_1$ and r_2$r_2$ meet at the point:

\vec{P} = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) = (2, 4, 6)

$$\vec{P} = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) = (2, 4, 6)$$

However, since we have found an intersection point, the lines are not skew.