Calcolo di un'equazione differenziale del secondo ordine

Calcolo di un'equazione differenziale del secondo ordine

Versione italiana

Calcolo di un'Equazione Differenziale del Secondo Ordine

Definizione

Un'equazione differenziale del secondo ordine ha la forma generale:

\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = g(x)

$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = g(x)$$

dove y$y$ è la funzione incognita di x$x$, p(x)$p(x)$, q(x)$q(x)$, e g(x)$g(x)$ sono funzioni note.

Tipi di Equazioni Differenziali del Secondo Ordine

1. Equazioni omogenee
2. Equazioni non omogenee
3. Equazioni lineari
4. Equazioni a coefficienti costanti

Esempio: Equazione Omogenea

Consideriamo l'equazione differenziale omogenea:

\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

Passo 1: Trovare la soluzione caratteristica

Assumiamo una soluzione della forma y = e^{rx}$y = e^{rx}$. Sostituendo nella equazione otteniamo:

r^2 - 3r + 2 = 0

$$r^2 - 3r + 2 = 0$$

Passo 2: Risolvere l'equazione caratteristica

Risolvendo l'equazione quadratica:

(r - 1)(r - 2) = 0

$$(r - 1)(r - 2) = 0$$

Gli autovalori sono:

r_1 = 1, \quad r_2 = 2

$$r_1 = 1, \quad r_2 = 2$$

Passo 3: Scrivere la soluzione generale

La soluzione generale dell'equazione omogenea è:

y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

dove C_1$C_1$ e C_2$C_2$ sono costanti arbitrarie.

Esempio: Equazione Non Omogenea

Consideriamo l'equazione differenziale non omogenea:

\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}$$

Passo 1: Trovare la soluzione omogenea

Abbiamo già trovato la soluzione omogenea:

y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

Passo 2: Trovare una soluzione particolare

Cerchiamo una soluzione particolare y_p$y_p$. Poiché il termine non omogeneo è e^{x}$e^{x}$, proviamo una soluzione della forma:

y_p = A x e^{x}

$$y_p = A x e^{x}$$

Passo 3: Calcolare le derivate

Calcoliamo le derivate necessarie:

\frac{dy_p}{dx} = A e^{x} + A x e^{x}

$$\frac{dy_p}{dx} = A e^{x} + A x e^{x}$$

\frac{d^2y_p}{dx^2} = 2A e^{x} + A x e^{x}

$$\frac{d^2y_p}{dx^2} = 2A e^{x} + A x e^{x}$$

Passo 4: Sostituire nella equazione

Sostituiamo y_p$y_p$, \frac{dy_p}{dx}$\frac{dy_p}{dx}$, e \frac{d^2y_p}{dx^2}$\frac{d^2y_p}{dx^2}$ nell'equazione originale:

(2A e^{x} + A x e^{x}) - 3(A e^{x} + A x e^{x}) + 2(A x e^{x}) = e^{x}

$$(2A e^{x} + A x e^{x}) - 3(A e^{x} + A x e^{x}) + 2(A x e^{x}) = e^{x}$$

Passo 5: Risolvere per A$A$

Raccogliendo i termini, otteniamo:

(2A - 3A)e^{x} + (A - 3A + 2A)x e^{x} = e^{x}

$$(2A - 3A)e^{x} + (A - 3A + 2A)x e^{x} = e^{x}$$

Da cui:

-A e^{x} = e^{x}

$$-A e^{x} = e^{x}$$

Quindi A = -1$A = -1$. La soluzione particolare è:

y_p = -x e^{x}

$$y_p = -x e^{x}$$

Passo 6: Scrivere la soluzione generale

La soluzione generale dell'equazione non omogenea è data dalla somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare:

y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - x e^{x}

$$y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - x e^{x}$$

English version

Calculating a Second Order Differential Equation

Definition

A second order differential equation has the general form:

\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = g(x)

$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = g(x)$$

where y$y$ is the unknown function of x$x$, p(x)$p(x)$, q(x)$q(x)$, and g(x)$g(x)$ are known functions.

Types of Second Order Differential Equations

1. Homogeneous Equations
2. Non-homogeneous Equations
3. Linear Equations
4. Equations with Constant Coefficients

Example: Homogeneous Equation

Consider the homogeneous differential equation:

\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

Step 1: Find the characteristic solution

Assume a solution of the form y = e^{rx}$y = e^{rx}$. Substituting into the equation we get:

r^2 - 3r + 2 = 0

$$r^2 - 3r + 2 = 0$$

Step 2: Solve the characteristic equation

Solving the quadratic equation:

(r - 1)(r - 2) = 0

$$(r - 1)(r - 2) = 0$$

The eigenvalues ​​are:

r_1 = 1, \quad r_2 = 2

$$r_1 = 1, \quad r_2 = 2$$

Step 3: Write the general solution

The general solution of the homogeneous equation is:

y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

where C_1$C_1$ and C_2$C_2$ are arbitrary constants.

Example: Non-Homogeneous Equation

Let's consider the non-homogeneous differential equation:

\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^{x}$$

Step 1: Find the homogeneous solution

We have already found the homogeneous solution:

y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

Step 2: Find a particular solution

Let's look for a particular solution y_p$y_p$. Since the inhomogeneous term is e^{x}$e^{x}$, we try a solution of the form:

y_p = A x e^{x}

$$y_p = A x e^{x}$$

Step 3: Calculate the derivatives

Let's calculate the necessary derivatives:

\frac{dy_p}{dx} = A e^{x} + A x e^{x}

$$\frac{dy_p}{dx} = A e^{x} + A x e^{x}$$

\frac{d^2y_p}{dx^2} = 2A e^{x} + A x e^{x}

$$\frac{d^2y_p}{dx^2} = 2A e^{x} + A x e^{x}$$

Step 4: Substitute into the equation

Let's substitute y_p$y_p$, \frac{dy_p}{dx}$\frac{dy_p}{dx}$, and \frac{d^2y_p}{dx^2}$\frac{d^2y_p}{dx^2}$ into the original equation:

(2A e^{x} + A x e^{x}) - 3(A e^{x} + A x e^{x}) + 2(A x e^{x}) = e^{x}

$$(2A e^{x} + A x e^{x}) - 3(A e^{x} + A x e^{x}) + 2(A x e^{x}) = e^{x}$$

Step 5: Solve for A$A$

Collecting the terms, we get:

(2A - 3A)e^{x} + (A - 3A + 2A)x e^{x} = e^{x}

$$(2A - 3A)e^{x} + (A - 3A + 2A)x e^{x} = e^{x}$$

Hence:

-A e^{x} = e^{x}

$$-A e^{x} = e^{x}$$

So A = -1$A = -1$. The particular solution is:

y_p = -x e^{x}

$$y_p = -x e^{x}$$

Step 6: Write the general solution

The general solution of the nonhomogeneous equation is given by the sum of the homogeneous solution and the particular solution:

y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - x e^{x}

$$y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - x e^{x}$$