Calcolo di un limite in una variabile

Calcolo di un limite in una variabile

Versione italiana

Calcolo di un Limite

Il limite è un concetto fondamentale in analisi matematica che descrive il comportamento di una funzione quando la variabile indipendente si avvicina a un certo valore. I limiti sono utilizzati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

Notazione del Limite

Il limite di una funzione f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a un valore a$a$ è scritto come:

\lim_{x \to a} f(x)

$$\lim_{x \to a} f(x)$$

Tipi di Limiti

1. Limiti Finito: Quando f(x)$f(x)$ si avvicina a un numero finito L$L$ mentre x$x$ si avvicina a a$a$:

   \lim_{x \to a} f(x) = L

   $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

2. Limiti Infiniti: Quando f(x)$f(x)$ cresce senza limiti mentre x$x$ si avvicina a a$a$:

   \lim_{x \to a} f(x) = \infty

   $$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$

3. Limiti Laterali: I limiti possono essere calcolati anche da sinistra (a^-$a^-$) e da destra (a^+$a^+$):

   \lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{e} \quad \lim_{x \to a^+} f(x)

   $$\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{e} \quad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

Esempio di Calcolo di un Limite

Consideriamo il limite della funzione f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ quando x$x$ si avvicina a 1.

1. Sostituzione Diretta:

   f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminato)}

   $$f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminato)}$$

2. Fattorizzazione:
   Fattorizziamo il numeratore:

   f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

   $$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$$

   Per x \neq 1$x \neq 1$, possiamo semplificare:

   f(x) = x + 1

   $$f(x) = x + 1$$

3. Calcolo del Limite:
   Ora calcoliamo il limite:

   \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

   $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

Quindi, il limite di f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a 1 è 2.

English version

Calculating a Limit

The limit is a fundamental concept in mathematical analysis that describes the behavior of a function when the independent variable approaches a certain value. Limits are used to define continuity, differentiation, and integration.

Limit Notation

The limit of a function f(x)$f(x)$ as x$x$ approaches a value a$a$ is written as:

\lim_{x \to a} f(x)

$$\lim_{x \to a} f(x)$$

Types of Limits

1. Finite Limits: When f(x)$f(x)$ approaches a finite number L$L$ as x$x$ approaches a$a$:

\lim_{x \to a} f(x) = L

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

2. Infinite Limits: When f(x)$f(x)$ grows without bound as x$x$ approaches a$a$:

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

$$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$

3. Lateral Limits: Limits can also be computed from the left (a^-$a^-$) and from the right (a^+$a^+$):

\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{e} \quad \lim_{x \to a^+} f(x)

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{e} \quad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

Example of Calculating a Limit

Let's consider the limit of the function f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ when x$x$ approaches 1.

1. Direct Substitution:

f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate)}

$$f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate)}$$

2. Factorization:
   Let's factor the numerator:

f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

$$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$$

For x \neq 1$x \neq 1$, we can simplify:

f(x) = x + 1

$$f(x) = x + 1$$

3. Calculating the Limit:
   Now let's calculate the limit:

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

So, the limit of f(x)$f(x)$ as x$x$ approaches 1 is 2.