Calcolo di un Polinomio di Taylor di Ordine 2 di funzioni in una variabile

Calcolo di un Polinomio di Taylor di Ordine 2 di funzioni in una variabile

Calcolo di un Polinomio di Taylor di Ordine 2 di funzioni in una variabile

Versione italiana

Calcolo di un Polinomio di Taylor di Ordine 2 di funzioni in una variabile

Il polinomio di Taylor è un'approssimazione di una funzione attorno a un punto specifico. Il polinomio di Taylor di ordine 2 fornisce un'approssimazione quadratica della funzione.

Formula del Polinomio di Taylor

Il polinomio di Taylor di ordine n$n$ di una funzione f(x)$f(x)$ attorno a un punto a$a$ è dato dalla formula:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

Per un polinomio di Taylor di ordine 2, la formula diventa:

P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2

$$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2$$

Passaggi per Calcolare il Polinomio di Taylor di Ordine 2

1. Scegliere la funzione: Determina la funzione f(x)$f(x)$ che desideri approssimare.

2. Scegliere il punto: Scegli il punto a$a$ attorno al quale vuoi calcolare il polinomio di Taylor.

3. Calcolare le derivate: Calcola il valore della funzione f(a)$f(a)$, la derivata prima f'(a)$f'(a)$ e la derivata seconda f''(a)$f''(a)$.

4. Sostituire i valori: Sostituisci i valori calcolati nella formula del polinomio di Taylor di ordine 2.

Esempio

Consideriamo la funzione:

f(x) = e^x

$$f(x) = e^x$$

1. Scegliere il punto

Supponiamo di voler calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 attorno al punto a = 0$a = 0$.

2. Calcolare le derivate

Calcoliamo le derivate della funzione:

• f(0) = e^0 = 1$f(0) = e^0 = 1$
• f'(x) = e^x$f'(x) = e^x$ quindi f'(0) = e^0 = 1$f'(0) = e^0 = 1$
• f''(x) = e^x$f''(x) = e^x$ quindi f''(0) = e^0 = 1$f''(0) = e^0 = 1$

3. Sostituire i valori

Ora sostituiamo i valori nella formula del polinomio di Taylor di ordine 2:

P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2}(x - 0)^2

$$P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2}(x - 0)^2$$

Diventando:

P_2(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2

$$P_2(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2$$

Quindi, il polinomio di Taylor di ordine 2 per f(x) = e^x$f(x) = e^x$ attorno a a = 0$a = 0$ è:

P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2

$$P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$$

English version

Computing a Taylor Polynomial of Order 2 of Functions in One Variable

The Taylor polynomial is an approximation of a function around a specific point. The Taylor polynomial of order 2 provides a quadratic approximation of the function.

Taylor Polynomial Formula

The Taylor polynomial of order n$n$ of a function f(x)$f(x)$ about a point a$a$ is given by the formula:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

For a Taylor polynomial of order 2, the formula becomes:

P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2

$$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2$$

Steps to Calculate the Taylor Polynomial of Order 2

1. Choose the function: Determine the function f(x)$f(x)$ that you wish to approximate.

2. Choose the point: Choose the point a$a$ around which you want to calculate the Taylor polynomial.

3. Calculate the derivatives: Calculate the value of the function f(a)$f(a)$, the first derivative f'(a)$f'(a)$ and the second derivative f''(a)$f''(a)$.

4. Substitute the values: Substitute the calculated values ​​into the formula of the Taylor polynomial of order 2.

Example

Let's consider the function:

f(x) = e^x

$$f(x) = e^x$$

1. Choose the point

Suppose we want to calculate the Taylor polynomial of order 2 around the point a = 0$a = 0$.

2. Calculate the derivatives

Let's calculate the derivatives of the function:

• f(0) = e^0 = 1$f(0) = e^0 = 1$
• f'(x) = e^x$f'(x) = e^x$ so f'(0) = e^0 = 1$f'(0) = e^0 = 1$
• f''(x) = e^x$f''(x) = e^x$ so f''(0) = e^0 = 1$f''(0) = e^0 = 1$

3. Substitute the values

Now let's substitute the values ​​in the formula of the Taylor polynomial of order 2:

P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2}(x - 0)^2

$$P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2}(x - 0)^2$$

Becoming:

P_2(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2

$$P_2(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2$$

Therefore, the Taylor polynomial of order 2 for f(x) = e^x$f(x) = e^x$ around a = 0$a = 0$ is:

P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2

$$P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$$