Calcolo di un limite in due variabili

Calcolo di un limite in due variabili

Versione italiana

Calcolo di un Limite in Due Variabili

Il limite in due variabili descrive il comportamento di una funzione f(x, y)$f(x, y)$ quando le variabili x$x$ e y$y$ si avvicinano a un certo punto (a, b)$(a, b)$. La notazione per il limite in due variabili è:

\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)

$$\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)$$

Passaggi per Calcolare un Limite in Due Variabili

1. Sostituzione Diretta:

   • Inizia sostituendo x = a$x = a$ e y = b$y = b$ nella funzione f(x, y)$f(x, y)$. Se il risultato è un numero finito, questo è il limite.

2. Verifica dell'Indeterminatezza:

   • Se la sostituzione diretta porta a una forma indeterminata (come \frac{0}{0}$\frac{0}{0}$), è necessario utilizzare altre tecniche.

3. Utilizzare Percorsi Differenti:

   • Calcola il limite lungo diversi percorsi che portano a (a, b)$(a, b)$. Se i limiti lungo tutti i percorsi sono uguali, allora il limite esiste e ha quel valore.

4. Utilizzare la Fattorizzazione o la Semplificazione:

   • Se possibile, fattorizza o semplifica la funzione per rimuovere le indeterminatezze.

Esempio di Calcolo di un Limite in Due Variabili

Consideriamo il limite della funzione f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1}$f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1}$ quando (x, y)$(x, y)$ si avvicina a (0, 0)$(0, 0)$.

1. Sostituzione Diretta:

   f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0

   $$f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

2. Verifica dell'Indeterminatezza:

   • In questo caso, la sostituzione diretta non porta a un'indeterminatezza, quindi possiamo concludere che:

   \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0

   $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$$

Esempio con Indeterminatezza

Consideriamo ora il limite della funzione g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ quando (x, y)$(x, y)$ si avvicina a (0, 0)$(0, 0)$.

1. Sostituzione Diretta:

   g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminato)}

   $$g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminato)}$$

2. Utilizzare Percorsi Differenti:

   • Calcoliamo il limite lungo il percorso y = mx$y = mx$ (dove m$m$ è una costante):

   g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}

   $$g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}$$
   • Il limite dipende da m$m$, quindi il limite non esiste.

English version

Calculating a Limit in Two Variables

The limit in two variables describes the behavior of a function f(x, y)$f(x, y)$ when the variables x$x$ and y$y$ approach a certain point (a, b)$(a, b)$. The notation for the limit in two variables is:

\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)

$$\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)$$

Steps to Calculate a Limit in Two Variables

1. Direct Substitution:

• Start by substituting x = a$x = a$ and y = b$y = b$ into the function f(x, y)$f(x, y)$. If the result is a finite number, this is the limit.

2. Indeterminacy Check:

• If the direct substitution results in an indeterminate form (such as \frac{0}{0}$\frac{0}{0}$), other techniques must be used.

3. Use Different Paths:

• Compute the limit along different paths that lead to (a, b)$(a, b)$. If the limits along all paths are equal, then the limit exists and has that value.

4. Use Factorization or Simplification:

• If possible, factor or simplify the function to remove uncertainties.

Example of Computing a Limit in Two Variables

Consider the limit of the function f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1}$f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1}$ as (x, y)$(x, y)$ approaches (0, 0)$(0, 0)$.

1. Direct Substitution:

f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0

$$f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

2. Indeterminacy Check:

• In this case, direct substitution does not lead to an indeterminacy, so we can conclude that:

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$$

Example with Indeterminacy

Now consider the limit of the function g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ when (x, y)$(x, y)$ approaches (0, 0)$(0, 0)$.

1. Direct Substitution:

g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate)}

$$g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate)}$$

2. Using Different Paths:

• We calculate the limit along the path y = mx$y = mx$ (where m$m$ is a constant):

g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}

$$g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}$$

• The limit depends on m$m$, so the limit does not exist.