Versione italiana
Calcolo di un Limite in Due Variabili
Il limite in due variabili descrive il comportamento di una funzione f(x, y) quando le variabili x e y si avvicinano a un certo punto (a, b). La notazione per il limite in due variabili è:
\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)
Passaggi per Calcolare un Limite in Due Variabili
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Sostituzione Diretta:
- Inizia sostituendo x = a e y = b nella funzione f(x, y). Se il risultato è un numero finito, questo è il limite.
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Verifica dell'Indeterminatezza:
- Se la sostituzione diretta porta a una forma indeterminata (come \frac{0}{0}), è necessario utilizzare altre tecniche.
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Utilizzare Percorsi Differenti:
- Calcola il limite lungo diversi percorsi che portano a (a, b). Se i limiti lungo tutti i percorsi sono uguali, allora il limite esiste e ha quel valore.
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Utilizzare la Fattorizzazione o la Semplificazione:
- Se possibile, fattorizza o semplifica la funzione per rimuovere le indeterminatezze.
Esempio di Calcolo di un Limite in Due Variabili
Consideriamo il limite della funzione f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1} quando (x, y) si avvicina a (0, 0).
-
Sostituzione Diretta:
f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0
-
Verifica dell'Indeterminatezza:
- In questo caso, la sostituzione diretta non porta a un'indeterminatezza, quindi possiamo concludere che:
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0
Esempio con Indeterminatezza
Consideriamo ora il limite della funzione g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} quando (x, y) si avvicina a (0, 0).
-
Sostituzione Diretta:
g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminato)}
-
Utilizzare Percorsi Differenti:
- Calcoliamo il limite lungo il percorso y = mx (dove m è una costante):
g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}
- Il limite dipende da m, quindi il limite non esiste.
English version
Calculating a Limit in Two Variables
The limit in two variables describes the behavior of a function f(x, y) when the variables x and y approach a certain point (a, b). The notation for the limit in two variables is:
\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)
Steps to Calculate a Limit in Two Variables
- Direct Substitution:
- Start by substituting x = a and y = b into the function f(x, y). If the result is a finite number, this is the limit.
- Indeterminacy Check:
- If the direct substitution results in an indeterminate form (such as \frac{0}{0}), other techniques must be used.
- Use Different Paths:
- Compute the limit along different paths that lead to (a, b). If the limits along all paths are equal, then the limit exists and has that value.
- Use Factorization or Simplification:
- If possible, factor or simplify the function to remove uncertainties.
Example of Computing a Limit in Two Variables
Consider the limit of the function f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - 1} as (x, y) approaches (0, 0).
- Direct Substitution:
f(0, 0) = \frac{0^2 + 0^2}{0^2 + 0^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0
- Indeterminacy Check:
- In this case, direct substitution does not lead to an indeterminacy, so we can conclude that:
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0
Example with Indeterminacy
Now consider the limit of the function g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} when (x, y) approaches (0, 0).
- Direct Substitution:
g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate)}
- Using Different Paths:
- We calculate the limit along the path y = mx (where m is a constant):
g(x, mx) = \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}
- The limit depends on m, so the limit does not exist.
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