Calcolo di un integrale doppio

Calcolo di un integrale doppio

Versione italiana

Calcolo di un Integrale Doppio

Un integrale doppio è utilizzato per calcolare l'area sotto una superficie definita da una funzione di due variabili. La notazione generale per un integrale doppio è:

\iint_D f(x, y) \, dA

$$\iint_D f(x, y) \, dA$$

dove D$D$ è il dominio di integrazione e f(x, y)$f(x, y)$ è la funzione da integrare.

Passaggi per Calcolare un Integrale Doppio

1. Definire il Dominio di Integrazione D$D$:

   • Determina i limiti di integrazione per le variabili x$x$ e y$y$. Il dominio può essere rettangolare o più complesso.

2. Scrivere l'Integrale Doppio:

   • L'integrale doppio può essere scritto come:

   \iint_D f(x, y) \, dA = \int_{y=a}^{b} \int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy

   $$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{y=a}^{b} \int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy$$

   oppure

   \iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x=c}^{d} \int_{y=h_1(x)}^{h_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx

   $$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x=c}^{d} \int_{y=h_1(x)}^{h_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx$$

3. Calcolare l'Integrale Interno:

   • Inizia calcolando l'integrale interno rispetto a una delle variabili (ad esempio, x$x$ o y$y$).

4. Calcolare l'Integrale Esterno:

   • Dopo aver calcolato l'integrale interno, sostituisci il risultato nell'integrale esterno e calcola.

Esempio

Consideriamo l'integrale doppio della funzione f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ sul dominio rettangolare D = [0, 1] \times [0, 1]$D = [0, 1] \times [0, 1]$.

1. Scrivere l'Integrale Doppio:

   \iint_D (x + y) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \, dy

   $$\iint_D (x + y) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \, dy$$

2. Calcolare l'Integrale Interno:

   \int_{0}^{1} (x + y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y

   $$\int_{0}^{1} (x + y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y$$

3. Calcolare l'Integrale Esterno:

   \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} + y \right) \, dy = \left[ \frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

   $$\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} + y \right) \, dy = \left[ \frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Quindi, l'integrale doppio di f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ sul dominio D$D$ è 1.

English version

Calculating a Double Integral

A double integral is used to calculate the area under a surface defined by a function of two variables. The general notation for a double integral is:

\iint_D f(x, y) \, dA

$$\iint_D f(x, y) \, dA$$

where D$D$ is the domain of integration and f(x, y)$f(x, y)$ is the function to integrate.

Steps to Calculate a Double Integral

1. Define the Domain of Integration D$D$:

• Determine the limits of integration for the variables x$x$ and y$y$. The domain can be rectangular or more complex.

2. Write the Double Integral:

• The double integral can be written as:

\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{y=a}^{b} \int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy

$$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{y=a}^{b} \int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy$$

or

\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x=c}^{d} \int_{y=h_1(x)}^{h_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx

$$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x=c}^{d} \int_{y=h_1(x)}^{h_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx$$

3. Calculate the Inner Integral:

• Start by calculating the inner integral with respect to one of the variables (for example, x$x$ or y$y$).

4. Calculate the Exterior Integral:

• After calculating the interior integral, substitute the result in the exterior integral and calculate.

Example

Let's consider the double integral of the function f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ on the rectangular domain D = [0, 1] \times [0, 1]$D = [0, 1] \times [0, 1]$.

1. Write the Double Integral:

\iint_D (x + y) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \, dy

$$\iint_D (x + y) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) \, dx \, dy$$

3. Compute the Internal Integral:

\int_{0}^{1} (x + y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y

$$\int_{0}^{1} (x + y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y$$

5. Calculate the Outer Integral:

\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} + y \right) \, dy = \left[ \frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

$$\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} + y \right) \, dy = \left[ \frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

So, the double integral of f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ over the domain D$D$ is 1.