Calcolo di una Derivata Direzionale

Calcolo di una Derivata Direzionale

Calcolo di una Derivata Direzionale

Versione italiana

Calcolo di una Derivata Direzionale

La derivata direzionale è un concetto del calcolo multivariato che misura il tasso di variazione di una funzione in una direzione specifica. È particolarmente utile per analizzare come una funzione cambia quando ci si muove in una direzione diversa da quelle delle coordinate standard.

Notazione

Se abbiamo una funzione f(x, y)$f(x, y)$ che dipende da due variabili x$x$ e y$y$, e vogliamo calcolare la derivata direzionale di f$f$ nella direzione di un vettore unitario \mathbf{u} = (u_1, u_2)$\mathbf{u} = (u_1, u_2)$, la derivata direzionale è indicata come:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$$

dove \nabla f$\nabla f$ è il gradiente della funzione f$f$ e \cdot$\cdot$ rappresenta il prodotto scalare.

Passaggi per Calcolare la Derivata Direzionale

1. Calcolare il gradiente: Il gradiente di una funzione f(x, y)$f(x, y)$ è un vettore che contiene le derivate parziali della funzione rispetto a ciascuna variabile. È dato da:

\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$

2. Definire la direzione: Scegli un vettore \mathbf{u} = (u_1, u_2)$\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ che rappresenta la direzione in cui vuoi calcolare la derivata. Assicurati che \mathbf{u}$\mathbf{u}$ sia un vettore unitario, cioè che la sua lunghezza sia 1:

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = 1

$$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = 1$$

3. Calcolare la derivata direzionale: Utilizza la formula:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$$

Esempio

Consideriamo la funzione:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

1. Calcolare il gradiente

Calcoliamo le derivate parziali:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

Quindi, il gradiente è:

\nabla f = (2x, 2y)

$$\nabla f = (2x, 2y)$$

2. Definire la direzione

Supponiamo di voler calcolare la derivata direzionale nella direzione del vettore \mathbf{u} = (1, 1)$\mathbf{u} = (1, 1)$. Prima, normalizziamo \mathbf{u}$\mathbf{u}$:

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

$$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Il vettore unitario è:

\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)

$$\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

3. Calcolare la derivata direzionale

Ora calcoliamo la derivata direzionale in un punto specifico, ad esempio (1, 1)$(1, 1)$:

1. Calcoliamo il gradiente in (1, 1)$(1, 1)$:

\nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2)

$$\nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2)$$

2. Calcoliamo il prodotto scalare:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$

English version

Calculating a Directional Derivative

The directional derivative is a concept in multivariate calculus that measures the rate of change of a function in a specific direction. It is particularly useful for analyzing how a function changes when moving in a direction other than the standard coordinates.

Notation

If we have a function f(x, y)$f(x, y)$ that depends on two variables x$x$ and y$y$, and we want to calculate the directional derivative of f$f$ in the direction of a unit vector \mathbf{u} = (u_1, u_2)$\mathbf{u} = (u_1, u_2)$, the directional derivative is written as:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$$

where \nabla f$\nabla f$ is the gradient of the function f$f$ and \cdot$\cdot$ is the scalar product.

Steps to Calculate Directional Derivative

1. Calculate the gradient: The gradient of a function f(x, y)$f(x, y)$ is a vector that contains the partial derivatives of the function with respect to each variable. It is given by:

\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$

2. Define the direction: Choose a vector \mathbf{u} = (u_1, u_2)$\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ that represents the direction in which you want to calculate the derivative. Make sure that \mathbf{u}$\mathbf{u}$ is a unit vector, i.e. its length is 1:

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = 1

$$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = 1$$

3. Calculate the directional derivative: Use the formula:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$$

Example

Let's consider the function:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

1. Calculate the gradient

Let's calculate the partial derivatives:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

So, the gradient is:

\nabla f = (2x, 2y)

$$\nabla f = (2x, 2y)$$

2. Define the direction

Suppose we want to calculate the directional derivative in the direction of the vector \mathbf{u} = (1, 1)$\mathbf{u} = (1, 1)$. First, let's normalize \mathbf{u}$\mathbf{u}$:

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

$$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

The unit vector is:

\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)

$$\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

3. Calculate the directional derivative

Now let's calculate the directional derivative at a specific point, say (1, 1)$(1, 1)$:

1. Calculate the gradient at (1, 1)$(1, 1)$:

\nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2)

$$\nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2)$$

2. Calculate the scalar product:

D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$