Calcolo di un Piano Tangente

Calcolo di un Piano Tangente

Calcolo di un Piano Tangente

Versione italiana

Calcolo di un Piano Tangente

Il piano tangente a una superficie in un punto specifico è il piano che "tocca" la superficie in quel punto e ha la stessa inclinazione della superficie in quel punto. È un concetto fondamentale nel calcolo multivariato.

Definizione

Se abbiamo una funzione f(x, y)$f(x, y)$ che definisce una superficie nel tridimensionale, il piano tangente alla superficie in un punto (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ è dato dalla seguente equazione:

z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)

$$z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$$

dove:

• \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ è la derivata parziale di f$f$ rispetto a x$x$ calcolata nel punto (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$.
• \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ è la derivata parziale di f$f$ rispetto a y$y$ calcolata nel punto (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$.

Passaggi per Calcolare il Piano Tangente

1. Identificare la funzione: Determina la funzione f(x, y)$f(x, y)$ che definisce la superficie.

2. Calcolare le derivate parziali: Calcola le derivate parziali \frac{\partial f}{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$ e \frac{\partial f}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial y}$.

3. Scegliere il punto: Scegli il punto (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ in cui desideri calcolare il piano tangente.

4. Calcolare il valore della funzione: Calcola f(x_0, y_0)$f(x_0, y_0)$.

5. Sostituire i valori: Sostituisci x_0$x_0$, y_0$y_0$, f(x_0, y_0)$f(x_0, y_0)$, \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ e \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ nell'equazione del piano tangente.

Esempio

Consideriamo la funzione:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

1. Calcolare le derivate parziali

Calcoliamo le derivate parziali:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

2. Scegliere il punto

Supponiamo di voler calcolare il piano tangente nel punto (1, 1)$(1, 1)$.

3. Calcolare il valore della funzione

Calcoliamo f(1, 1)$f(1, 1)$:

f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2

$$f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2$$

4. Calcolare le derivate parziali nel punto

Calcoliamo le derivate parziali nel punto (1, 1)$(1, 1)$:

\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2$$

\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2

$$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2$$

5. Sostituire i valori

Ora sostituiamo i valori nell'equazione del piano tangente:

z = f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1)

$$z = f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1)$$

Diventando:

z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)

$$z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)$$

Semplificando, otteniamo:

z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2 = 2x + 2y - 2

$$z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2 = 2x + 2y - 2$$

English version

Calculating a Tangent Plane

The tangent plane to a surface at a specific point is the plane that "touches" the surface at that point and has the same slope as the surface at that point. It is a fundamental concept in multivariate calculus.

Definition

If we have a function f(x, y)$f(x, y)$ that defines a surface in three dimensions, the tangent plane to the surface at a point (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ is given by the following equation:

z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)

$$z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$$

where:

• \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ is the partial derivative of f$f$ with respect to x$x$ calculated at the point (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$.
• \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ is the partial derivative of f$f$ with respect to y$y$ at the point (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$.

Steps to Calculate the Tangent Plane

1. Identify the function: Determine the function f(x, y)$f(x, y)$ that defines the surface.

2. Calculate partial derivatives: Calculate the partial derivatives \frac{\partial f}{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$ and \frac{\partial f}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial y}$.

3. Choose the point: Choose the point (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ where you want to calculate the tangent plane.

4. Calculate the value of the function: Calculate f(x_0, y_0)$f(x_0, y_0)$.

5. Substitute Values: Substitute x_0$x_0$, y_0$y_0$, f(x_0, y_0)$f(x_0, y_0)$, \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, and \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ into the tangent plane equation.

Example

Let's consider the function:

f(x, y) = x^2 + y^2

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

1. Calculate the partial derivatives

Let's calculate the partial derivatives:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

2. Choose the point

Suppose we want to calculate the tangent plane at the point (1, 1)$(1, 1)$.

3. Calculate the value of the function

Let's calculate f(1, 1)$f(1, 1)$:

f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2

$$f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2$$

4. Calculate the partial derivatives at the point

Let's calculate the partial derivatives at the point (1, 1)$(1, 1)$:

\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2$$

\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2

$$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2$$

5. Substitute the values

Now we substitute the values ​​in the equation of the tangent plane:

z = f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1)

$$z = f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1)$$

Becoming:

z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)

$$z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)$$

Simplifying, we obtain:

z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2 = 2x + 2y - 2

$$z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2 = 2x + 2y - 2$$