Elementi utili per meccanica computazionale

Elementi utili per meccanica computazionale

Trave di Eulero-Bernoulli

• le sezioni trasversali oltre a rimanere piane, rimangono perpendicolari all’asse della trave deformata

• simmetria planare l'asse longitudinale è rettilineo e la sezione trasversale della trave ha un piano di simmetria longitudinale su tale piano giace la risultante dei carichi trasversali agenti su ciascuna sezione

• variazione della sezione trasversale la sezione trasversale è costante o varia dolcemente

• normalità le sezioni piane originariamente normali all'asse longitudinale della trave rimangono piane e normali all'asse longitudinale deformato dopo la flessione

• energia di deformazione l'energia di deformazione interna dell'asta tiene conto solo  delle deformazioni dovute al momento flettente tutti gli altri contributi, in particolare il taglio trasversale e la forza assiale, vengono ignorati

• ipotesi di piccole deformazioni

• modello materiale si assume che il materiale sia elastico e isotropo

• sotto carico trasversale una delle superfici superiori si accorcia mentre l'altra si allunga

La cinematica di tale elemento è descritta dal seguente campo di spostamenti:

Le equazioni del modello di trave di Eulero-Bernoulli sono le seguenti:

Analisi strutturale

Analisi strutturale = si studia il comportamento elastico di travi e altri oggetti.

L’analisi strutturale è regolata dalla seguente equazione:

f = forza

K = matrice di rigidezza

u = spostamento

Matrice di rigidezza K

La matrice di rigidezza rappresenta il comportamento complessivo di una struttura rispetto alle forze applicate ad essa. Questa matrice è essenziale nel metodo delle rigidezze dirette e in altri metodi di analisi strutturale basati sulla teoria delle rigidezze.

Ecco alcuni punti importanti sulla matrice K:

• definizione delle rigidezze elementari = la matrice K viene costruita combinando le rigidezze elementari dei singoli elementi strutturali (come travi, colonne, ecc.). Ogni elemento contribuisce con la sua rigidezza alla matrice K complessiva della struttura.

• rappresentazione della struttura = la matrice K rappresenta le relazioni tra le forze applicate e le deformazioni nella struttura. Ogni elemento della matrice K indica quanto una certa forza applicata in un punto della struttura influenzi le deformazioni in altri punti.

• simmetria = in molte situazioni, la matrice K è simmetrica poiché le rigidezze sono spesso simmetriche rispetto agli assi della struttura. Questa simmetria semplifica i calcoli e consente un'utilizzazione efficiente delle risorse computazionali.

• formulazione degli elementi della matrice = gli elementi della matrice K sono determinati dalle caratteristiche di rigidezza degli elementi strutturali e dalle loro posizioni all'interno della struttura.

• soluzione dei sistemi di equazioni = una volta definita la matrice K e applicati i carichi esterni alla struttura, è possibile utilizzare la matrice K per risolvere il sistema di equazioni che descrive il comportamento della struttura sotto carico. Questa soluzione fornisce informazioni dettagliate sulle deformazioni, gli sforzi interni e altri parametri di interesse.

Matrice di rigidezza dell’asta con un grado di libertà per nodo (solo sforzo assiale)

Matrice di rigidezza della trave con 2 GDL per nodo (solo sforzo flessionale)

 

Matrice di rigidezza della trave con 3 GDL per nodo (sforzo assiale e flessionale)

In una struttura i gradi di libertà non vincolati sono gli spostamenti incogniti

Metodo delle rigidezze

Il metodo delle rigidezze dirette è una tecnica utilizzata nell'analisi strutturale per risolvere sistemi lineari di equazioni che descrivono il comportamento di una struttura soggetta a carichi esterni. Questo metodo si basa sull'idea di considerare le rigidezze delle diverse parti della struttura e le relative deformazioni causate dai carichi applicati.

Le fasi di questo metodo sono:

1. suddivisione della struttura = la struttura viene suddivisa in elementi discreti, come travi, colonne, ognuno dei quali è caratterizzato dalle sue proprietà di rigidezza.

2. costruzione delle matrici di rigidezza locali = per ciascun elemento della struttura, vengono definite le rigidezze che rappresentano la resistenza del materiale all'azione di carichi. Queste rigidezze sono spesso indicate con simboli come K (ad esempio, K1, K2, ecc.).

3. assemblaggio della matrice delle rigidezze = le rigidezze di tutti gli elementi vengono combinate per formare una matrice delle rigidezze globali. Questa matrice rappresenta il comportamento complessivo della struttura rispetto ai carichi applicati.

4. applicazione dei carichi = i carichi esterni vengono applicati alla struttura, e le relative deformazioni vengono calcolate utilizzando le equazioni di equilibrio e le leggi della statica.

5. soluzione del sistema = utilizzando le deformazioni calcolate e la matrice delle rigidezze globali, è possibile risolvere il sistema di equazioni per trovare gli sforzi e le deformazioni in ogni elemento della struttura.

Energia potenziale totale

= energia potenziale totale

U = energia potenziale interna (nel caso di trave di bernoulli è elastica)

W = energia potenziale esterna

 

Trasformazione delle coordinate

Le trasformazioni delle coordinate sono utilizzate in vari contesti, incluso l'analisi strutturale, per convertire le grandezze da un sistema di coordinate a un altro. Queste trasformazioni sono spesso rappresentate utilizzando matrici che coinvolgono funzioni trigonometriche come seno e coseno, specialmente quando si passa da un sistema di coordinate cartesiano a uno inclinato o rotato.

Fasi delle trasformazioni delle coordinate utilizzando matrici con seno e coseno:

1. Definizione dei sistemi di coordinate = è necessario definire due sistemi di coordinate: il sistema di coordinate "originale" e il sistema di coordinate "trasformato". Ad esempio, si potrebbe avere un sistema di coordinate cartesiano (x, y) come sistema originale e un sistema di coordinate inclinato o rotato (x', y') come sistema trasformato.

2. Definizione dell'angolo di rotazione o inclinazione = Se si tratta di una trasformazione rotazionale, viene definito un angolo di rotazione rispetto all'asse x, ad esempio θ. Se è una trasformazione inclinata, viene definito un angolo di inclinazione rispetto all'asse x.

3. Costruzione della matrice di trasformazione = questa matrice trasforma le coordinate dal sistema originale al sistema trasformato, essa è una matrice quadrata che contiene elementi di seno e coseno dell'angolo di rotazione o inclinazione. Per una trasformazione di rotazione di un angolo θ, la matrice di trasformazione sarà:

4. Applicazione della trasformazione = per convertire le coordinate dal sistema originale al sistema trasformato, si moltiplicano le coordinate nel sistema originale per la matrice di trasformazione. Ad esempio, per convertire le coordinate (x, y) al sistema trasformato (x', y'), si usa l'equazione:

5. Interpretazione = le nuove coordinate (x', y') rappresentano le stesse posizioni nello spazio, ma espresse nel sistema di coordinate trasformato.

 

Matrice di trasformazione

 

Procedura "node by node lumping"

La procedura di node by node lumping consiste nell'approssimare una struttura continua con elementi finiti discreti, assegnando i carichi distribuiti ai nodi della mesh.

In altre parole, questa procedura permette di trasformare problemi continui con carichi distribuiti in problemi discreti con carichi concentrarti nodali, risolvibili con i metodi degli elementi finiti. Approssima la soluzione reale ma ne semplifica l'analisi numerica. 

Le fasi della procedura sono:

1. discretizzazione = discretizzare la geometria continua in un numero finito di elementi con nodi.

2. assegnazione dei carichi distribuiti = se ci sono carichi distribuiti all'interno della struttura, ad esempio carichi uniformemente distribuiti su una trave o su una superficie, questi carichi vengono assegnati ai nodi in base alla loro distribuzione.

3. lumping delle masse e delle forze distribuite = distribuire il carico distribuito proporzionalmente all'area di influenza, sommando i contributi elementari ai nodi. Questo processo consente di ottenere masse e forze concentrate per ogni nodo.

4. aggiornamento della discretizzazione = una volta calcolate le masse e le forze concentrate, queste vengono utilizzate per aggiornare la discretizzazione. Le masse concentrate possono essere utilizzate per calcolare le frequenze naturali e le risposte dinamiche della struttura, mentre le forze concentrate possono essere utilizzate per risolvere il problema statico o dinamico del sistema.

Condizioni al contorno naturali e essenziali

Le condizioni al contorno sono specifiche condizioni che devono essere soddisfatte da una soluzione di un problema differenziale in un dato dominio. Le condizioni al contorno sono due tipi:

1. condizioni al contorno naturali = queste condizioni sono relative alle forze.

2. condizioni al contorno essenziali = queste condizioni sono relative agli spostamenti.

 

Principio dell’energia potenziale minima

Questo principio afferma che il sistema assume un equilibrio quando l'energia potenziale totale è minima. In sintesi, il principio dell'energia potenziale minima fornisce un metodo efficace per analizzare il comportamento di sistemi elastici e determinare le loro configurazioni di equilibrio.

Nel dettaglio abbiamo:

• energia potenziale = nella meccanica delle strutture deformabili, si considera l'energia potenziale del sistema, che è associata alle deformazioni elastiche e alle forze applicate. Questa energia potenziale include contributi dalle deformazioni elastiche degli elementi strutturali e dai carichi esterni applicati al sistema.

• condizioni di equilibrio = il sistema raggiunge l'equilibrio quando la derivata dell'energia potenziale totale rispetto a una variabile (come ad esempio uno spostamento o una deformazione) è nulla. Questo significa che il sistema si trova in uno stato in cui l'energia potenziale è minimizzata rispetto alle variazioni di quelle variabili. In altre parole, il sistema è in uno stato di equilibrio stabile in cui non ci sono forze risultanti.

 

Metodo di Ritz-Rayleigh

Il metodo di Ritz-Rayleigh è un potente strumento per l'analisi strutturale, basato sul principio dell'energia potenziale minima. Esso permette di determinare la configurazione di equilibrio approssimata di una struttura deformata, minimizzando la sua energia potenziale totale.

Il metodo consiste nel:

1. costruire una configurazione approssimata degli spostamenti, espressa in funzione di coordinate generalizzate

2. imporre che l'energia potenziale totale sia stazionaria rispetto a variazioni arbitrarie di tali coordinate

3. ottenere così un sistema di equazioni algebriche, in numero pari alle coordinate generalizzate. La soluzione di questo sistema fornisce i valori delle coordinate generalizzate che minimizzano l'energia potenziale.

 

Metodo degli elementi finiti

• il metodo degli elementi finiti è una forma del metodo di Ritz-Rayleigh, che cerca la configurazione di equilibrio approssimata di una struttura deformata.

• si discretizza il dominio in elementi finiti e si approssima la soluzione in ciascun elemento, risolvendo un sistema di equazioni algebriche per determinare gli spostamenti nodali.

 

In sintesi, il metodo di Ritz-Rayleigh si concentra sulla minimizzazione dell'energia potenziale totale per determinare una soluzione approssimata, mentre il metodo degli elementi finiti si basa su una discretizzazione del dominio in elementi finiti per risolvere un sistema di equazioni algebriche e determinare gli spostamenti nodali.

 

Mesh strutturata e non strutturata

Mesh Strutturata

• le mesh strutturate seguono una disposizione regolare di celle, adatte per geometrie regolari

• richiedono una pianificazione dettagliata e sono efficaci per geometrie semplici.

• consentono una gestione efficiente dei nodi a parete ma possono richiedere più tempo su geometrie complesse.

Mesh non strutturata

• le mesh non strutturate utilizzano triangoli o tetraedri in modo flessibile, adatti per geometrie complesse

• offrono maggiore flessibilità e possono essere generate in tempi più brevi grazie a programmi dedicati

• consentono una generazione quasi automatica delle mesh, riducendo l'intervento manuale e permettendo di affrontare problemi complessi con maggiore facilità.

 

Convergenza di una mesh

Convergenza di una mesh = permette la valutazione della precisione e dell'affidabilità dei risultati ottenuti variando la densità della mesh, ovvero la suddivisione della geometria in elementi più piccoli. Quindi, si cerca di determinare la dimensione ottimale degli elementi della mesh affinché i risultati dell'analisi siano stabili e accurati. Questo processo coinvolge la creazione di diverse mesh con dimensioni variabili e la comparazione dei risultati ottenuti da ciascuna mesh per identificare quando i risultati convergono, ovvero diventano stabili e indipendenti dalla densità della mesh.

In pratica, eseguire un'analisi di convergenza della soluzione comporta la generazione di diverse mesh con dimensioni diverse e l'osservazione di come i risultati dell'analisi variano al variare della densità della mesh. L'obiettivo è individuare il punto in cui ulteriori raffinamenti della mesh non influenzano significativamente i risultati, garantendo così una rappresentazione accurata del comportamento del sistema studiato.

 

Tipologie di convergenza di una mesh

Ci sono diversi tipi di convergenza che possono essere considerati quando si valuta la qualità e l'efficacia di una mesh in un'applicazione di simulazione numerica:

• convergenza h = si riferisce al raffinamento della mesh aumentando il numero di elementi finiti in una regione fissa del dominio del problema. In altre parole, la dimensione degli elementi finiti (spesso denotata da "h") viene ridotta mantenendo la forma e la disposizione dei nodi costanti. Questo tipo di convergenza è utile per valutare come la precisione della soluzione numerica varia con la dimensione degli elementi finiti.

• convergenza p = si riferisce all'incremento dell'ordine di interpolazione polinomiale utilizzato per approssimare la soluzione all'interno di ciascun elemento finito. Invece di aggiungere più elementi finiti, la convergenza p aumenta la complessità della funzione di approssimazione all'interno di ciascun elemento finito. Questo tipo di convergenza è particolarmente utile quando si utilizzano metodi ad alta precisione come gli elementi finiti hp.