Calcolo di una Serie

Calcolo di una Serie

Versione italiana

Calcolo di una Serie

Definizione di Serie

Una serie è la somma dei termini di una successione. Se a_n$a_n$ è una successione, la serie associata è data da:

S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

Tipi di Serie

1. Serie Finite: Somma di un numero finito di termini.
2. Serie Infinite: Somma di un numero infinito di termini.
3. Serie Geometriche: Serie della forma S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots$
4. Serie Armoniche: Serie della forma S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Esempio: Calcolo di una Serie Geometrica

Consideriamo la serie geometrica:

S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

dove a$a$ è il primo termine e r$r$ è il rapporto comune.

Condizione di Convergenza

La serie converge se |r| < 1$|r| < 1$ e la somma è data da:

S = \frac{a}{1 - r}

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

Esempio Specifico

Consideriamo la serie:

S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

In questo caso, a = 1$a = 1$ e r = \frac{1}{2}$r = \frac{1}{2}$.

Passo 1: Verificare la Condizione di Convergenza

Poiché |r| = \frac{1}{2} < 1$|r| = \frac{1}{2} < 1$, la serie converge.

Passo 2: Calcolare la Somma

Utilizzando la formula per la somma della serie geometrica:

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

$$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Risultato Finale

La somma della serie geometrica S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ è:

S = 2

$$S = 2$$

Esempio: Serie Armonica

Consideriamo la serie armonica:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

Convergenza

La serie armonica diverge, il che significa che la somma tende a infinito:

S \to \infty

$$S \to \infty$$

English version

Calculating a Series

Definition of Series

A series is the sum of the terms of a sequence. If a_n$a_n$ is a sequence, the associated series is given by:

S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

Types of Series

1. Finite Series: Sum of a finite number of terms.
2. Infinite Series: Sum of an infinite number of terms.
3. Geometric Series: Series of the form S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots$
4. Harmonic Series: Series of the form S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Example: Calculating a Geometric Series

Let's consider the geometric series:

S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

where a$a$ is the first term and r$r$ is the common ratio.

Convergence Condition

The series converges if |r| < 1$|r| < 1$ and the sum is given by:

S = \frac{a}{1 - r}

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

Specific Example

Consider the series:

S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

In this case, a = 1$a = 1$ and r = \frac{1}{2}$r = \frac{1}{2}$.

Step 1: Verify the Convergence Condition

Since |r| = \frac{1}{2} < 1$|r| = \frac{1}{2} < 1$, the series converges.

Step 2: Calculate the Sum

Using the formula for the sum of the geometric series:

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

$$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Final Result

The sum of the geometric series S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ is:

S = 2

$$S = 2$$

Example: Harmonic Series

Let's consider the harmonic series:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

Convergence

The harmonic series diverges, which means that the sum tends to infinity:

S \to \infty

$$S \to \infty$$