Calcolo dei Vettori Linearmente Dipendenti e Indipendenti

Calcolo dei Vettori Linearmente Dipendenti e Indipendenti

Calcolo dei Vettori Linearmente Dipendenti e Indipendenti

Versione italiana

Calcolo dei Vettori Linearmente Dipendenti e Indipendenti

1. Definizioni

• Vettori Linearmente Indipendenti: Un insieme di vettori è detto linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che produce il vettore nullo è quella in cui tutti i coefficienti sono zero.

• Vettori Linearmente Dipendenti: Un insieme di vettori è detto linearmente dipendente se esiste almeno una combinazione lineare non banale (cioè non tutti i coefficienti sono zero) che produce il vettore nullo.

2. Metodo per Verificare la Linearità

a. Utilizzo di una Combinazione Lineare

Per un insieme di vettori \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n} \}$\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n} \}$, si considera la combinazione lineare:

c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + \ldots + c_n \vec{v_n} = \vec{0}

$$c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + \ldots + c_n \vec{v_n} = \vec{0}$$

dove c_1, c_2, \ldots, c_n$c_1, c_2, \ldots, c_n$ sono coefficienti scalari.

• Se l'unica soluzione è c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$, i vettori sono linearmente indipendenti.
• Se esiste una soluzione non banale, i vettori sono linearmente dipendenti.

b. Utilizzo della Matrice

1. Formare una Matrice: Costruire una matrice A$A$ i cui colonne sono i vettori \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$.

2. Calcolare il Rango: Determinare il rango della matrice A$A$:

   • Se il rango è uguale al numero di vettori, allora i vettori sono linearmente indipendenti.
   • Se il rango è minore del numero di vettori, allora i vettori sono linearmente dipendenti.

c. Utilizzo del Determinante (per vettori in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$ e \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$)

• Due Vettori in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$: I vettori \vec{v_1}$\vec{v_1}$ e \vec{v_2}$\vec{v_2}$ sono linearmente indipendenti se il determinante della matrice formata da \vec{v_1}$\vec{v_1}$ e \vec{v_2}$\vec{v_2}$ è diverso da zero.

\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} \\ v_{1y} & v_{2y} \end{pmatrix} \neq 0

$$\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} \\ v_{1y} & v_{2y} \end{pmatrix} \neq 0$$

• Tre Vettori in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$: I vettori \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ sono linearmente indipendenti se il determinante della matrice formata da \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ è diverso da zero.

\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix} \neq 0

$$\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix} \neq 0$$

3. Esempio

Consideriamo i vettori \vec{v_1} = (1, 2)$\vec{v_1} = (1, 2)$ e \vec{v_2} = (2, 4)$\vec{v_2} = (2, 4)$.

Passo 1: Formare la Matrice

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Passo 2: Calcolare il Determinante

\text{Det}(A) = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0

$$\text{Det}(A) = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0$$

Conclusione

Poiché il determinante è zero, i vettori \vec{v_1}$\vec{v_1}$ e \vec{v_2}$\vec{v_2}$ sono linearmente dipendenti.

English version

Calculation of Linearly Dependent and Independent Vectors

1. Definitions

• Linearly Independent Vectors: A set of vectors is said to be linearly independent if the only linear combination that produces the null vector is the one in which all the coefficients are zero.

• Linearly Dependent Vectors: A set of vectors is said to be linearly dependent if there exists at least one non-trivial linear combination (i.e. not all the coefficients are zero) that produces the null vector.

2. Method for Verifying Linearity

a. Using a Linear Combination

For a set of vectors \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n} \}$\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n} \}$, consider the linear combination:

c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + \ldots + c_n \vec{v_n} = \vec{0}

$$c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + \ldots + c_n \vec{v_n} = \vec{0}$$

where c_1, c_2, \ldots, c_n$c_1, c_2, \ldots, c_n$ are scalar coefficients.

• If the only solution is c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$, the vectors are linearly independent.
• If there is a non-trivial solution, the vectors are linearly dependent.

b. Using the Matrix

1. Form a Matrix: Construct a matrix A$A$ whose columns are the vectors \vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$.

2. Calculate the Rank: Determine the rank of the matrix A$A$:

• If the rank is equal to the number of vectors, then the vectors are linearly independent.
• If the rank is less than the number of vectors, then the vectors are linearly dependent.

c. Using the Determinant (for vectors in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$ and \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$)

• Two Vectors in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$: The vectors \vec{v_1}$\vec{v_1}$ and \vec{v_2}$\vec{v_2}$ are linearly independent if the determinant of the matrix formed by \vec{v_1}$\vec{v_1}$ and \vec{v_2}$\vec{v_2}$ is different from zero.

\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} \\ v_{1y} & v_{2y} \end{pmatrix} \neq 0

$$\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} \\ v_{1y} & v_{2y} \end{pmatrix} \neq 0$$

• Three Vectors in \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$: The vectors \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ are linearly independent if the determinant of the matrix formed by \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ is different from zero.

\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix} \neq 0

$$\text{Det} \begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix} \neq 0$$

3. Example Let's consider the vectors \vec{v_1} = (1, 2)$\vec{v_1} = (1, 2)$ and \vec{v_2} = (2, 4)$\vec{v_2} = (2, 4)$.

Step 1: Form the Matrix

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Step 2: Calculate the Determinant

\text{Det}(A) = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0

$$\text{Det}(A) = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0$$

Conclusion

Since the determinant is zero, the vectors \vec{v_1}$\vec{v_1}$ and \vec{v_2}$\vec{v_2}$ are linearly dependent.