Riassunti segnali elettrofisiologici
Indice
Modello elettrico equivalente per una porzione di membrana di un neurone
Potenziale cellulare di un neurone con una struttura spaziale
Comportamento elettrico di un cavo semi-infinito e finito nel regime stazionario(steady-state)
Comportamento elettrico di un cavo semi-infinito e finito in regime continuo
Densità o concentrazione di particelle nelllo spazio
La densità o concentrazione di particelle nello spazio è un concetto fondamentale in fisica e chimica, utilizzato per descrivere come le particelle (come atomi, molecole o ioni) sono distribuite in un volume. Ecco una panoramica di questi concetti:
Densità di Particelle
La densità di particelle (
) è definita come il numero di particelle per unità di volume. Può essere espressa in diverse unità, a seconda del contesto. Le unità comuni includono:
Particelle per metro cubo (particelle/m³): Utilizzata in contesti generali.
Mol per metro cubo (mol/m³): Utilizzata in chimica per descrivere la concentrazione di soluti in una soluzione.
La formula per calcolare la densità di particelle è:
Dove:
- è la densità di particelle (particelle/m³).
N è il numero totale di particelle.
V è il volume in cui le particelle sono distribuite (m³).
Concentrazione di Particelle
La concentrazione di particelle è un concetto simile, ma spesso si riferisce specificamente alla quantità di una sostanza in una soluzione.
Concentrazione molare (M): Numero di moli di soluto per litro di soluzione.
Dove:
C è la concentrazione molare (mol/L).
n è il numero di moli di soluto.
V è il volume della soluzione (L).
La concentrazione e la densità di particelle sono fondamentalmente la stessa cosa.
Forza di coulomb, campo elettrico e potenziale elettrico
La forza di Coulomb, il potenziale elettrico e il campo elettrico sono concetti fondamentali nell’elettrostatica, che è la branca della fisica che studia le interazioni tra cariche elettriche a riposo. Ecco una panoramica di ciascuno di questi concetti:
Forza di Coulomb
La forza di Coulomb descrive l’interazione elettrostatica tra due cariche puntiformi. La legge di Coulomb afferma che la forza (F) tra due cariche è direttamente proporzionale al prodotto delle magnitudini delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza (r) tra di esse.
Formula:
Dove:
F è la forza tra le cariche (in newton, N).
k è la costante di Coulomb, approssimativamente
.
e 
sono le magnitudini delle cariche (in coulomb, C).r è la distanza tra le cariche (in metri, m).
La forza è attrattiva se le cariche sono di segno opposto e repulsiva se le cariche sono dello stesso segno.
Campo Elettrico
Il campo elettrico (E) è una grandezza vettoriale che rappresenta la forza per unità di carica che un campo elettrico esercita su una carica di prova positiva. Il campo elettrico è generato da cariche elettriche e può essere visualizzato come una “forza” che agisce nello spazio attorno a una carica.
Formula:
Dove:
E è il campo elettrico (in newton per coulomb, N/C).
F è la forza esercitata sulla carica di prova (in newton, N).
è la carica di prova (in coulomb, C).
Inoltre, il campo elettrico generato da una carica puntiforme è dato da:
Dove:
q è la carica che genera il campo (in coulomb, C).
r è la distanza dalla carica (in metri, m).
Potenziale Elettrico
Il potenziale elettrico (V) è una grandezza scalare che rappresenta l’energia potenziale elettrica per unità di carica in un punto nello spazio. Indica quanto lavoro sarebbe necessario per portare una carica di prova da un punto di riferimento (di solito l’infinito) a quel punto.
Formula:
Dove:
V è il potenziale elettrico (in volt, V).
k è la costante di Coulomb.
q è la carica che genera il potenziale (in coulomb, C).
r è la distanza dalla carica (in metri, m).
Relazioni tra Campo Elettrico e Potenziale Elettrico
Il campo elettrico è legato al potenziale elettrico dalla seguente relazione:
Questa equazione indica che il campo elettrico è il negativo della derivata del potenziale elettrico rispetto alla distanza. In altre parole, il campo elettrico punta nella direzione in cui il potenziale elettrico diminuisce.
Una carica positiva (+q) si muove da punti con un potenziale elettrostatico più alto verso punti con un potenziale elettrostatico più basso (+Q).
Una carica negativa (-q) si muove da punti con un potenziale elettrostatico più basso verso punti con un potenziale elettrostatico più alto (+Q).
Mobilità di particelle in un fluido
Legge di Stokes
Un mezzo viscoso continuo (ad esempio un fluido) esercita una forza di attrito, opposta e proporzionale alla velocità v(t) di particelle (molto piccole) che si muovono al suo interno.
Le particelle si muovono con una velocità proporzionale (tramite u) al campo di forza esterno.
La legge di Stokes può essere espressa in una forma alternativa che mette in relazione la forza di attrito viscosa con la velocità di una particella in movimento attraverso un fluido. In questa forma, la forza di attrito è proporzionale alla velocità della particella e può essere scritta come:
Dove:
F è la forza di attrito viscosa (in newton, N).
è una costante di proporzionalità che rappresenta il coefficiente di attrito viscoso (in N·s/m).v(t) è la velocità della particella in funzione del tempo (in metri al secondo, m/s).
Il segno negativo indica che la forza di attrito agisce in direzione opposta al movimento della particella.
Interpretazione della Formula
Forza di Attrito: La forza di attrito viscosa agisce per opporsi al movimento della particella. Questo è rappresentato dal segno negativo nella formula, che indica che la forza di attrito è diretta in senso opposto rispetto alla velocità della particella.
Proporzionalità: La forza di attrito è direttamente proporzionale alla velocità della particella. Ciò significa che, all’aumentare della velocità, la forza di attrito aumenta in modo lineare.
Quindi per la seconda legge di Newton abbiamo:
Poi:
se
Flusso di particelle
Formula di Teorell
La formula di Teorell è utilizzata nel contesto della diffusione e del trasporto di particelle, è un’importante equazione utilizzata per descrivere il flusso di particelle attraverso una membrana o un’interfaccia in presenza di un gradiente di concentrazione e di un campo elettrico. Questa formula è particolarmente utile in biofisica e in chimica fisica per analizzare il trasporto di ioni e molecole.
Questa formula è espressa come:
Interpretazione della Formula
J: Rappresenta il flusso netto di particelle (ad esempio, ioni o molecole) attraverso una superficie per unità di tempo (mol/s·m² o particelle/m²·s).
u: È la mobilità delle particelle, che misura quanto velocemente le particelle si muovono in risposta a una forza esterna. La mobilità è espressa in unità di m²/(V·s).
c: È la concentrazione delle particelle (mol/m³ o particelle/m³).
: Rappresenta la forza esterna che agisce sulle particelle. Questa forza può derivare da un campo elettrico, da un gradiente di pressione o da altre forze applicate.
Applicazione
Questa forma della formula di Teorell è utile per descrivere il trasporto di particelle in situazioni in cui una forza esterna, come un campo elettrico, influisce sul movimento delle particelle. Ad esempio, nel caso di ioni in una soluzione, la forza esterna potrebbe essere il campo elettrico applicato, e la mobilità degli ioni determina quanto velocemente si muovono in risposta a tale campo.
Potenziale chimico di un componente in una soluzione ideale
Il potenziale chimico di un componente in una soluzione ideale è una grandezza termodinamica che descrive l’energia libera associata alla presenza di quel componente in un sistema. Esso fornisce informazioni su come il sistema reagirà a variazioni nella quantità di quel componente, come ad esempio in caso di reazioni chimiche o di diffusione. Esso è rappresentato dalla seguente equazione:
dove:
V(x) è il potenziale chimico del componente in funzione della posizione x.
R è la costante universale dei gas.
T è la temperatura assoluta in Kelvin.
c(x) è la concentrazione del componente in funzione della posizione
Questa relazione indica che il potenziale chimico è proporzionale al logaritmo naturale della concentrazione del componente. In un contesto di diffusione, il potenziale chimico gioca un ruolo importante nel determinare il movimento delle particelle in risposta ai gradienti di concentrazione.
Tipi di flusso
I flussi si dividono in due tipologie: flussi diffusivi e flussi di deriva
Flusso Diffusivo
Definizione: Il flusso diffusivo è il movimento di particelle (come ioni o molecole) da una regione di alta concentrazione a una regione di bassa concentrazione. Questo processo avviene spontaneamente e non richiede energia esterna.
Meccanismo: La diffusione avviene a causa del movimento casuale delle particelle. Quando ci sono più particelle in una zona rispetto a un’altra, le particelle tendono a muoversi verso le aree meno affollate per raggiungere un equilibrio. Questo movimento continua fino a quando le concentrazioni non si equilibrano.
Legge di Fick: Il flusso diffusivo può essere descritto dalla legge di Fick, che afferma che il flusso (J) è proporzionale al gradiente di concentrazione (dC/dx):
Dove:
J è il flusso diffusivo.
D è il coefficiente di diffusione, che misura quanto velocemente le particelle si diffondono.
è il gradiente di concentrazione.
Possiamo ricavare l’equazione della legge di Fick dalla formula di Teorell e dall’equazione del potenziale chimico di un componente in una soluzione ideale.
Formula di Teorell
Potenziale chimico di un componente in una soluzione ideale
Sapendo che la forza esterna è uguale a:
Sostituendo il potenziale chimico abbiamo:
Sostituendo il tutto nella formula di Teorell abbiamo:
Flusso di Deriva
Definizione: Il flusso di deriva è il movimento di particelle sotto l’influenza di un campo elettrico o di una forza esterna. A differenza della diffusione, il flusso di deriva richiede energia, poiché le particelle si muovono contro il gradiente di potenziale elettrico.
Meccanismo: Quando un campo elettrico è applicato a una soluzione contenente ioni, gli ioni carichi si muovono verso l’elettrodo di carica opposta. Ad esempio, gli ioni positivi (cationi) si muovono verso il catodo (elettrodo negativo), mentre gli ioni negativi (anioni) si muovono verso l’anodo (elettrodo positivo).
Le particelle cariche elettricamente in modo positivo e negativo sono soggette a una forza, proporzionale al campo elettrico esistente E … (che potrebbe essere auto-generato).
Quindi abbiamo:
Ricordando la formula di Teorell:
Sostiuiamo la forza esterna nella formula di Teorell:
Dove F è la costante di Faraday, 
Particelle non cariche in soluzione acquosa? Esse si diffondono!
Quale campo di forza?
L’energia cinetica (non nulla) delle molecole d’acqua a temperatura assoluta T > 0º K.
L’energia (cinetica) scambiata con le molecole d’acqua, a causa di collisioni casuali isotropiche.
Gli ioni possono muoversi liberamente, diffondendosi e subendo forze di deriva a causa dei loro campi elettrici.
Potenziale di Membrana
Esiste una sottile membrana isolante attraverso la quale misuriamo il potenziale elettrico. Questo porta all’esistenza di un potenziale di membrana a riposo.
La neutralità elettrica globale è mantenuta, il che significa che all’interno e all’esterno della cellula ci sono potenziali elettrici simili (isopotenziali).
Le diverse specie ioniche, come
, 
e 
, sono distribuite in modo diverso all’interno e all’esterno della cellula.La membrana cellulare, composta da un doppio strato di fosfolipidi, è impermeabile all’acqua e agli ioni, rendendola idrofobica.
Convenzionalmente, il potenziale elettrico V viene misurato all’interno della cellula rispetto all’esterno della membrana.
Se una cellula è viva (cioè non è in equilibrio termodinamico con l’ambiente circostante), il potenziale elettrico è di circa
.Nelle cellule eccitabili, come i neuroni e le cellule muscolari, il potenziale elettrico può cambiare rapidamente nel tempo.
Perché c’è un potenziale elettrico attraverso la membrana cellulare?
La presenza di un potenziale elettrico è dovuta a una distribuzione eterogenea di cariche attraverso la membrana, che è causata dalla sua semi-permeabilità. Ci sono diverse specie ioniche che non sono in equilibrio, con concentrazioni distinte all’interno e all’esterno della cellula.
Sistemi elettrochimici
I sistemi elettrochimici hanno particelle cariche, concentrate, e c’è una molteplicità di portatori di carica. Un tipo di sistema elettrochimico è la soluzione acquosa, in cui:
l’acqua è il solvente
gli ioni sono il soluto
Nei sistemi elettrochimici può essere utile misurare la differenza di potenziale con il voltimetro. Conoscendo la differeza di potenziale è possibile conoscere il sistema (attaccandoci una batteria potrei creare una distribuzione di carica omogenea)
Simulazione di Monte Carlo
La simulazione di Monte Carlo è una tecnica statistica utilizzata per modellare e analizzare sistemi complessi, ed è particolarmente utile in elettrofisiologia per studiare il comportamento degli ioni attraverso membrane cellulari.
Simulazione di Monte Carlo in Elettrofisiologia
1. Membrana Selettiva
Una membrana selettiva è una membrana che consente il passaggio di alcuni ioni mentre ne impedisce il passaggio ad altri. Questo è tipico delle membrane cellulari, dove la permeabilità agli ioni è regolata da canali ionici specifici.
Obiettivi della Simulazione:
Studiare il movimento degli ioni (ad esempio,
, , ) attraverso la membrana.Analizzare come la selettività della membrana influisce sul potenziale di membrana e sulla corrente ionica.
2. Membrana Non Selettiva
Una membrana non selettiva consente il passaggio di tutti gli ioni senza distinzione. Questo tipo di membrana è meno comune nelle cellule, ma può essere utilizzato in modelli per studiare fenomeni come la diffusione.
Obiettivi della Simulazione:
Analizzare il comportamento degli ioni in una membrana che non discrimina tra le specie ioniche.
Studiare come la diffusione e la distribuzione degli ioni influenzano il potenziale di membrana.
Confronto tra Membrane Selettive e Non Selettive
Selettività: Nelle membrane selettive, la corrente ionica è influenzata dalla specificità dei canali ionici, mentre nelle membrane non selettive, tutti gli ioni contribuiscono in modo simile.
Potenziale di Membrana: Nelle membrane selettive, il potenziale di membrana è determinato dalla distribuzione degli ioni e dalla loro permeabilità, mentre nelle membrane non selettive, il potenziale tende a stabilizzarsi attorno a un valore medio basato sulle concentrazioni ioniche.
Dinamica Temporale: Le membrane selettive possono mostrare dinamiche più complesse a causa dell’apertura e chiusura dei canali ionici, mentre le membrane non selettive possono mostrare un comportamento più semplice e uniforme.
Equivalente elettrico della membrana plasmatica
La membrana plasmatica delle cellule può essere rappresentata come un circuito elettrico equivalente, che include componenti come un condensatore e una resistenza. Questa rappresentazione è utile per comprendere le proprietà elettriche e il comportamento della membrana in risposta a stimoli elettrici.
Struttura del Circuito Elettrico Equivalente
Condensatore (Capacità di Membrana):
La membrana è composta da un doppio strato lipidico che funge da isolante elettrico. Questo isolamento consente alla membrana di accumulare cariche, simile a un condensatore, il quale ha una capacità definita per unità di area. La capacità di membrana può essere calcolata utilizzando la formula
, dove 
è la carica accumulata e 
è la differenza di potenziale.
Resistenza (Canali Ionici):
I canali ionici presenti nella membrana plasmatica permettono il passaggio di ioni, creando una resistenza elettrica. La resistenza totale del circuito è data dalla somma delle resistenze dei vari canali ionici, che sono influenzate dalla permeabilità della membrana agli ioni specifici.
Comportamento Dinamico del Circuito
Risposta ai Potenziali:
La combinazione di capacità e resistenza determina come la membrana risponde a variazioni nel potenziale elettrico. Quando si verifica un cambiamento nel flusso di corrente attraverso i canali ionici, si genera una variazione nel potenziale di membrana, influenzando processi come la propagazione dei potenziali d’azione nelle cellule nervose e muscolari.
Equilibrio Elettrochimico:
L’equilibrio elettrochimico degli ioni attraverso la membrana è descritto dall’equazione di Nernst, che calcola il potenziale di equilibrio per uno ione in base alle concentrazioni interne ed esterne. Questo potenziale influisce sulla direzione e sull’intensità del flusso ionico, essenziale per il funzionamento delle cellule.
Otteniamo così un modello del tipo:
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Riprendendo il concetto di flusso di deriva, possiamo arrivare a parlare di potenziale elettrico data la presenza di ioni e di una membrana semipermeabile. Consideriamo il caso monodimensionale, in cui abbiamo:
J = 0
Per derivare l’equazione di Nernst utilizzando i flussi di deriva e diffusione, partiamo dalle due equazioni fornite:
Flusso di deriva:
dove:
è il flusso ionico,
è la mobilità ionica,
è la concentrazione degli ioni,
è la valenza dell’ione,
è la costante di Faraday,- è il potenziale elettrico.
Flusso diffusivo:
dove:
è la costante dei gas,
è la temperatura in Kelvin.
Imposizione dell’Equilibrio
Imponiamo che il flusso di deriva sia uguale in magnitudine ma opposto al flusso diffusivo, cioè:
Sostituendo le espressioni per i flussi, otteniamo:
Semplificazione e Integrazione
Dividendo entrambi i lati per
(assumendo che non siano nulli), possiamo semplificare l’equazione
Integrando entrambi i lati tra le posizioni 
e 
:
Risultato Finale
Questo porta a:
Utilizzando le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere l’equazione come:
Questa forma finale rappresenta il potenziale di Nernst per un dato ione, evidenziando come il potenziale elettrico dipenda dalle concentrazioni ioniche all’interno e all’esterno della membrana.
Equazione di Goldman
L’equazione di Goldman, è utilizzata per calcolare il potenziale di membrana di una cellula, tenendo conto delle diverse permeabilità della membrana ai vari ioni. Questa equazione è particolarmente utile per descrivere il potenziale di membrana in condizioni di riposo, quando la membrana è permeabile a più di un tipo di ione.
Per arrivare all’equazione di Goldman, seguiamo un approccio graduale basato sulla teoria del trasporto ionico attraverso una membrana semipermeabile. Vediamo passo dopo passo come si ottiene la formula.
Definizione del flusso ionico attraverso la membrana
Il movimento degli ioni attraverso la membrana è governato da due forze principali: - Diffusione: gli ioni si muovono da una regione di alta concentrazione a una di bassa concentrazione (gradiente di concentrazione) - Deriva elettrica: gli ioni si muovono sotto l’influenza di un campo elettrico presente nella membrana.
Il flusso ionico è quindi dato dalla somma di due termini:
Dove: - è il flusso ionico (corrente per unità di area), - è la mobilità ionica, - è la costante dei gas, - è la temperatura assoluta, - è la concentrazione ionica, - è la valenza dello ione, - è la costante di Faraday, - è il potenziale elettrico, - 
è la posizione attraverso la membrana.
La prima parte dell’equazione rappresenta la diffusione, mentre la seconda parte rappresenta la deriva elettrica.
Ipotesi semplificative
Per semplificare il problema, facciamo due ipotesi:
Il flusso ionico
è costante attraverso la membrana
Non dipende dalla posizione
, il che significa che gli ioni attraversano la membrana a una velocità costante.
Il campo elettrico all’interno della membrana è costante
Il potenziale varia linearmente attraverso la membrana:
Questo implica che la derivata spaziale del potenziale è costante:
Relazione tra mobilità ionica e coefficiente di diffusione
La mobilità e il coefficiente di diffusione 
sono legati dalla relazione:
Sostituendo questa relazione nell’equazione iniziale:
Moltiplichiamo entrambi i termini per :
Separazione delle variabili
Riscriviamo la derivata logaritmica:
Sostituendola nell’equazione precedente:
Ora separiamo i termini in e :
Moltiplichiamo entrambi i membri per 
, dove 
:
Riorganizzando:
Integrando tra e :
Forma finale dell’equazione di Goldman
Dopo aver risolto gli integrali e riorganizzato i termini, otteniamo:
Dove:
Questa è l’equazione di Goldman per un singolo ione attraverso una membrana semipermeabile.
Approssimazione non ohmica:
L’equazione di Goldman è un’approssimazione non ohmica, poiché tiene conto della dipendenza non lineare del flusso ionico dal potenziale elettrico e dal gradiente di concentrazione.
Potenziale di membrane in condizioni di non equilibrio
L’equazione sottostante descrive il potenziale di membrana in presenza di molteplici specie ioniche (ad esempio, , , , 
, 
, …) in condizioni non di equilibrio.
Concetti chiave:
Specie ioniche:
Le membrane biologiche sono permeabili a diverse specie ioniche, come
, , , , , ecc.Ogni specie ionica ha una sua conduttanza (
) e un suo potenziale di inversione (
).
Conduttanza (
):
La conduttanza è una misura di quanto facilmente una specie ionica può attraversare la membrana. È l’inverso della resistenza (
).
Potenziale di inversione (
):
È il potenziale di membrana al quale il flusso netto di una specifica specie ionica è zero. Per ogni ione, il potenziale di inversione è dato dall’equazione di Nernst:
: valenza dell’ione.
e 
: concentrazioni dell’ione all’esterno e all’interno della cellula.
Corrente ionica per una singola specie (
):
Interpretazione:
La corrente ionica (
) per una specie ionica h è proporzionale alla differenza tra il potenziale di membrana (V) e il potenziale di inversione ().Se
, la corrente è zero (condizione di equilibrio per quell’ione).Se
, c’è un flusso netto di ioni attraverso la membrana.
Corrente ionica totale (
):
Sostituendo l’espressione per :
Raggruppando i termini:
Interpretazione:
Il primo termine
rappresenta la corrente totale dovuta al potenziale di membrana V, pesata dalle conduttanze delle diverse specie ioniche.Il secondo termine
rappresenta la corrente totale dovuta ai potenziali di inversione delle diverse specie ioniche, pesata dalle loro conduttanze.
Potenziale di membrana a riposo:
In condizioni di riposo, la corrente ionica totale è zero (
). Risolvendo per V, si ottiene il potenziale di membrana a riposo:
Interpretazione:
Il potenziale di membrana a riposo è una media pesata dei potenziali di inversione delle diverse specie ioniche, dove i pesi sono le conduttanze delle rispettive specie.
Condizioni di “riposo” o steady-state:
In condizioni di riposo (o steady-state), la corrente ionica totale attraverso la membrana è zero:
Questo non significa che ogni singola specie ionica sia in equilibrio termodinamico. Al contrario, le diverse specie ioniche possono avere flussi netti non nulli, ma questi flussi si bilanciano in modo che la corrente totale sia zero.
Non equilibrio termodinamico:
In condizioni di riposo, il sistema non è in equilibrio termodinamico per ogni singola specie ionica. Questo significa che:
Le concentrazioni degli ioni non sono uniformi (ci sono gradienti di concentrazione).
Il potenziale di membrana non è uguale al potenziale di Nernst per ogni singola specie ionica.
Questo stato è mantenuto grazie all’azione di pompe ioniche (come la pompa sodio-potassio) che consumano energia (ATP) per mantenere i gradienti ionici.
Potenziale di membrana a riposo:
Il potenziale di membrana a riposo (V) è determinato dalle conduttanze (
) e dai potenziali di inversione () delle diverse specie ioniche. La formula è:
- : conduttanza della specie ionica h.
- : potenziale di inversione della specie ionica h, dato dall’equazione di Nernst:
Non è la semplice somma dei potenziali di Nernst:
Il potenziale di membrana a riposo non è la semplice somma algebrica dei potenziali di Nernst delle singole specie ioniche. Invece, è una media pesata dei potenziali di inversione, dove i pesi sono le conduttanze delle rispettive specie ioniche.
Questo significa che le specie ioniche con conduttanze più elevate contribuiscono maggiormente al potenziale di membrana.
Ruolo delle conduttanze:
Le conduttanze (
) definiscono quanto ogni specie ionica contribuisce al potenziale di membrana. Ad esempio:Se la conduttanza per il potassio (
) è molto alta rispetto alle altre, il potenziale di membrana sarà vicino al potenziale di inversione del potassio (
).Se la conduttanza per il sodio (
) è alta, il potenziale di membanza sarà influenzato maggiormente da 
.
Modello elettrico equivalente per una porzione di membrana di un neurone
Il grafico sottostante descrive un modello a circuito elettrico equivalente per una porzione di membrana neuronale, insieme a intuizioni chiave sul potenziale d’azione (Action Potential, AP). Questo modello è fondamentale per comprendere il comportamento elettrico dei neuroni e come i potenziali di membrana rispondono a stimoli esterni.
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alt text
Modello a circuito elettrico equivalente:
La membrana neuronale può essere rappresentata come un circuito elettrico, dove:
Conduttanza (G): Rappresenta la facilità con cui gli ioni attraversano la membrana. È l’inverso della resistenza (G = 1/R).
Potenziale di inversione (E): È il potenziale di equilibrio per una specifica specie ionica, dato dall’equazione di Nernst.
Capacità (C): Rappresenta la capacità della membrana di immagazzinare carica elettrica.
Equazione del circuito:
Termini:
: Rappresenta la corrente necessaria per cambiare il potenziale di membrana (V) nel tempo.
: Rappresenta la corrente ionica attraverso la membrana, guidata dalla differenza tra il potenziale di inversione (E) e il potenziale di membrana (V).
: Rappresenta una corrente esterna applicata (ad esempio, uno stimolo elettrico).
Soluzione dell’equazione:
La soluzione dell’equazione differenziale per V(t) è:
H: Costante determinata dalle condizioni iniziali.
: Termine esponenziale che descrive il decadimento del potenziale nel tempo.Per
:
: Corrente esterna applicata.
Intuizioni sul potenziale d’azione (AP):
Il potenziale d’azione è un rapido cambiamento nel potenziale di membrana che si verifica quando il neurone viene stimolato oltre una certa soglia.
L’equazione chiave per il potenziale d’azione è:
Qui, E è il potenziale di inversione effettivo, calcolato come una media pesata dei potenziali di inversione delle diverse specie ioniche:
- , ,
: Conduttanze per sodio, potassio e correnti di dispersione. - , ,
: Potenziali di inversione per sodio, potassio e correnti di dispersione.
Modello di Hodgkin-Huxley
Equazione del potenziale di membrana nel modello di HH
Il modello HH descrive l’evoluzione del potenziale di membrana in base alla somma delle correnti ioniche:
dove: - 
è la capacità di membrana (normalmente 
) - 
, 
e 
sono rispettivamente le correnti di sodio, potassio e perdita (leak) - 
è la corrente esterna applicata (es. stimolo sinaptico o iniezione di corrente).
Le correnti ioniche sono modellate come:
dove:
- 
è la conduttanza del canale ionico (
, 
, 
) - 
è il potenziale di equilibrio per ogni ione.
Connessione con la parte cinetica (dinamica dei canali ionici)
Le conduttanze e non sono costanti, ma variano nel tempo in base alla cinetica dei canali ionici In particolare:
dove:
- 
e 
sono le conduttanze massime dei canali - 
variabile che regola l’attivazione/apertura del canale del sodio - 
variabile che regola l’inattivazione/chiusura del canale del sodio - 
variabile che regola l’attivazione/apertura del canale del potassio
Relazione con le equazioni di gating
Le variabili 
seguono equazioni differenziali del tipo:
dove rappresenta 
o , e 
sono funzioni del potenziale .
Mettendo x in evidenza:
Questa equazione descrive come la probabilità di apertura dei canali cambia nel tempo.
Costante di tempo 
e valore stazionario 
Possiamo riscrivere l’equazione in una forma più intuitiva usando due parametri chiave: - → valore stazionario della variabile di gating. - → costante di tempo, che determina la velocità di adattamento.
Questi sono definiti come:
L’equazione differenziale diventa:
Questa espressione mostra che: - Il valore stazionario rappresenta il numero di canali aperti dopo un lungo periodo. - La costante di tempo determina quanto rapidamente il sistema raggiunge l’equilibrio.
Se la derivata a sx dell’equazione soprastante è nulla, l’equazione 
ha un grafico a sigmoide come quello sottostante:
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Modello Markoviano e modello di Hodgkin-Huxley (HH)
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L’immagine mostra la cinetica di apertura e chiusura dei canali ionici nel modello di Hodgkin-Huxley (HH), utilizzando un modello Markoviano a stati discreti per rappresentare le transizioni tra configurazioni diverse dei canali ionici.
Parte (a): Attivazione del canale del potassio
La parte superiore dell’immagine rappresenta la cinetica della variabile , che controlla l’attivazione dei canali del potassio .
Ogni stato
rappresenta un certo numero di subunità attivate del canale La transizione tra stati avviene con tassi di probabilità dati da
e 
, che dipendono dal potenziale di membrana Quando tutte e quattro le subunità sono attivate (
), il canale è completamente apertoIl processo segue una cinetica del primo ordine, con transizioni a tassi proporzionali al numero di subunità coinvolte.
Parte (b): Attivazione e inattivazione del canale del sodio
La parte inferiore dell’immagine rappresenta la cinetica combinata delle variabili (attivazione) e (inattivazione) dei canali del sodio .
Il canale ha tre subunità di attivazione
e una di inattivazione .Lo stato
rappresenta un canale chiuso con nessuna subunità attivata.Man mano che le subunità
passano allo stato attivo (
), il canale si apre progressivamente.Se la subunità di inattivazione
è attiva (
), il canale è funzionale e può condurre ioni.Tuttavia, la transizione verso lo stato
(chiusura del gate di inattivazione) porta il canale in uno stato inattivo, impedendo il passaggio degli ioni anche se le subunità sono attivate.L’inattivazione è controllata dai tassi
e 
, che determinano il passaggio tra gli stati e .
Sintesi del modello
Canale
: controllato solo dalla variabile , con 4 subunità di attivazione.Canale
: controllato dalla variabile (attivazione, con 3 subunità) e dalla variabile (inattivazione, con 1 subunità).La dinamica è descritta da equazioni differenziali del primo ordine, che regolano le probabilità di transizione tra stati.
Trasmissione sinaptica elettrica
Quando pensiamo alla comunicazione tra neuroni, la prima cosa che ci viene in mente è la trasmissione sinaptica chimica, quella in cui un neurone rilascia neurotrasmettitori che si legano ai recettori di un altro neurone, generando un segnale. Ma c’è un altro modo in cui i neuroni possono “parlarsi”: la trasmissione sinaptica elettrica. Questo meccanismo è meno conosciuto, ma altrettanto affascinante e importante.
Come Funziona la Trasmissione Elettrica?
La trasmissione elettrica avviene attraverso strutture chiamate giunzioni gap (o “gap junctions” in inglese). Queste sono come dei piccoli tunnel che collegano direttamente due cellule, permettendo il passaggio di ioni e piccole molecole da una cellula all’altra. Immagina due stanze con una porta aperta in mezzo: quello che succede in una stanza può influenzare direttamente l’altra, senza bisogno di messaggeri esterni.
Caratteristiche della Trasmissione Elettrica
Bidirezionale: A differenza della trasmissione chimica, che di solito va in una sola direzione (dal neurone presinaptico a quello postsinaptico), la trasmissione elettrica è bidirezionale. I segnali possono viaggiare in entrambe le direzioni, rendendo questa forma di comunicazione molto più “democratica”.
Veloce: la trasmissione elettrica è diretta, quindi è più veloce rispetto a quella chimica.
Senza segnali chimici: Non c’è bisogno di neurotrasmettitori. Il segnale è puramente elettrico, basato sul movimento di ioni tra le cellule.
Trasmissione sinaptica chimica
La trasmissione sinaptica chimica è il processo attraverso cui un neurone comunica con un altro neurone (o con una cellula muscolare o ghiandolare) rilasciando neurotrasmettitori.
Questo processo è unidirezionale, lento e coinvolge segnali chimici (neurotrasmettitori).
Caratteristiche della Trasmissione Chimica:
Unidirezionale: Il segnale va dal neurone presinaptico al neurone postsinaptico.
Lenta: poichè coinvolge più passaggi (rilascio di neurotrasmettitori, legame ai recettori, generazione di potenziali postsinaptici)
Con segnale chimico: Coinvolge il rilascio di neurotrasmettitori che si legano a recettori specifici sulla membrana postsinaptica.
Registrazioni Patch-Clamp:
Le registrazioni patch-clamp sono una tecnica elettrofisiologica che permette di misurare le correnti ioniche attraverso la membrana cellulare.
Le registrazioni whole-cell consentono di misurare l’attività elettrica di un’intera cellula, inclusi i potenziali postsinaptici.
Potenziali e Correnti Postsinaptiche:
EPSP (Excitatory Postsynaptic Potential): Potenziale postsinaptico eccitatorio, che depolarizza la membrana postsinaptica, aumentando la probabilità che il neurone postsinaptico generi un potenziale d’azione.
EPSC (Excitatory Postsynaptic Current): Corrente postsinaptica eccitatoria, che è la corrente ionica associata all’EPSP.
IPSP (Inhibitory Postsynaptic Potential): Potenziale postsinaptico inibitorio, che iperpolarizza la membrana postsinaptica, riducendo la probabilità che il neurone postsinaptico generi un potenziale d’azione.
IPSC (Inhibitory Postsynaptic Current): Corrente postsinaptica inibitoria, che è la corrente ionica associata all’IPSP.
Recettori Sinaptici:
I recettori sinaptici sono proteine situate sulla membrana del neurone postsinaptico (il neurone che riceve il segnale).
Questi recettori legano i neurotrasmettitori rilasciati dal neurone presinaptico e innescano una risposta nel neurone postsinaptico.
Tipi di Recettori Sinaptici:
Recettori Ionotropici:
Sono canali ionici che si aprono direttamente in risposta al legame di un neurotrasmettitore.
L’apertura del canale permette il passaggio di ioni attraverso la membrana, generando rapidamente un potenziale postsinaptico.
Esempi includono i recettori per il glutammato (come i recettori AMPA e NMDA) e i recettori per il GABA (come i recettori GABA_A).
Recettori Metabotropici:
Non hanno un canale ionico integrato. Invece, il legame del neurotrasmettitore attiva una cascata di segnalazione intracellulare, spesso coinvolgendo proteine G.
Questi recettori inducono risposte più lente e durature rispetto ai recettori ionotropici.
Esempi includono i recettori accoppiati a proteine G (GPCR) per neurotrasmettitori come la serotonina, la dopamina e il GABA (recettori GABA_B).
Struttura e Funzione:
Recettori Ionotropici:
Hanno una struttura che include un poro centrale che può aprirsi o chiudersi in risposta al legame del neurotrasmettitore.
L’apertura del poro permette il flusso di ioni specifici (ad esempio,
, , ), generando rapidamente un potenziale postsinaptico eccitatorio (EPSP) o inibitorio (IPSP).Recettori Metabotropici:
Non hanno un poro ionico. Invece, il legame del neurotrasmettitore attiva una proteina G, che a sua volta attiva enzimi o canali ionici indirettamente.
Questo processo può modulare l’attività cellulare in modo più complesso e duraturo, influenzando ad esempio l’espressione genica o la modulazione di altri canali ionici.
Sinapsi eccitatorie e inibitorie
Trasmissione Sinaptica Eccitatoria:
La trasmissione sinaptica eccitatoria è mediata da recettori permeabili a ioni come il sodio (
) e il calcio (), che depolarizzano la membrana postsinaptica, aumentando la probabilità che il neurone postsinaptico generi un potenziale d’azione.
Recettori Coinvolti:
Recettori Ionotropici:
AMPAr (recettori AMPA): Permeabili principalmente al
, generano una rapida depolarizzazione (EPSP).NMDAr (recettori NMDA): Permeabili a
e , richiedono sia il legame del neurotrasmettitore (glutammato) che la depolarizzazione della membrana per attivarsi.Recettori Metabotropici:
mGLUr (recettori metabotropici del glutammato): Attivano cascate di segnalazione intracellulare che possono modulare l’attività dei canali ionici o influenzare l’espressione genica.
Potenziale di Sinapsi Eccitatoria (Esyn):
Il potenziale di sinapsi eccitatoria è dato dall’equazione di Nernst:
R: Costante dei gas.
T: Temperatura assoluta.
z: Valenza dello ione.
F: Costante di Faraday.
e 
: Concentrazioni dello ione all’esterno e all’interno della cellula.
Trasmissione Sinaptica Inibitoria:
La trasmissione sinaptica inibitoria è mediata da recettori permeabili a ioni come il potassio (
) o il cloro (), che iperpolarizzano la membrana postsinaptica, riducendo la probabilità che il neurone postsinaptico generi un potenziale d’azione.
Recettori Coinvolti:
Recettori Ionotropici:
GABA-A r (recettori GABA-A): Permeabili al
, generano una rapida iperpolarizzazione (IPSP).Recettori Metabotropici:
GABA-B r (recettori GABA-B): Attivano proteine G che aprono canali di
o chiudono canali di , producendo una risposta inibitoria più lenta e duratura.
Modello di trasmissione sinaptica elettrica
In figura possiamo vedere un modello elettrico della trasmissione sinaptica elettrica per trovare il potenziale di membrana:
alt text
Equazioni del Modello Elettrico:
Le equazioni fornite descrivono il comportamento elettrico di due cellule collegate attraverso una giunzione gap:
e 
: Potenziali di membrana delle due cellule.C: Capacità della membrana.
G: Conduttanza della membrana.
E: Potenziale di inversione.
: Resistenza della giunzione gap.Le equazioni sopra descrivono l’evoluzione temporale del potenziale di membrana
e delle due cellule. In particolare, si considera:La variazione del potenziale
e nel tempoLe correnti che attraversano la membrana della cellula e la gap junction.
Quindi, si sta valutando il potenziale di membrana e la sua variazione nel tempo, in relazione alla corrente attraverso la gap junction.
Per ricavare queste equazioni, l’approccio usato è quello del circuito equivalente di Hodgkin-Huxley, con componenti passivi come:
Capacità
: rappresenta la capacità della membrana cellulareConduttanza
: rappresenta le correnti ioniche di membranaFonte di potenziale
: rappresenta il potenziale di equilibrio della membranaResistenza
: rappresenta la resistenza elettrica della gap junction.Per ottenere le equazioni, si usa la legge di Kirchhoff per le correnti in ciascuna cellula.
Bilancio della corrente per la cellula 1
Usiamo la legge di Kirchhoff:
La corrente di membrana è data da
La corrente attraverso la gap junction è determinata dalla differenza di potenziale tra le due cellule:
Quindi, per la cellula 1 otteniamo:
Bilancio della corrente per la cellula 2
Allo stesso modo, per la cellula 2:
Qui la corrente attraverso la gap junction è aggiunta perché segue il principio della conservazione della carica (la corrente che esce dalla cellula 1 entra nella cellula 2).
Corrente attraverso la giunzione gap (
), può essere scritta anche nel seguente modo:
: Conduttanza della giunzione gap.
e 
: Potenziali di membrana delle cellule pre- e postsinaptiche.
Steady-State (Stato Stazionario):
In condizioni di steady-state (stato stazionario), le derivate temporali sono nulle (
e 
).In questo regime, il sistema può essere descritto come una serie di resistori, dove la corrente fluisce attraverso le giunzioni gap in modo continuo.
Modello di trasmissione sinaptica chimica
Modello di Recettori Ionotropici:
Il modello descritto si concentra sui recettori ionotropici, che sono canali ionici che si aprono direttamente in risposta al legame del neurotrasmettitore.
Equazioni del Modello:
Dinamica dell’apertura dei canali (
):
- : Frazione di canali aperti al tempo t.
: Frazione di canali aperti allo stato stazionario.
: Costante di tempo per l’apertura dei canali.Stato stazionario (
):
: Tasso di apertura dei canali.
: Tasso di chiusura dei canali.
: Concentrazione del neurotrasmettitore al tempo t.Costante di tempo (
):
Condizione di normalizzazione:
: Frazione di canali chiusi al tempo t.
Corrente Sinaptica (
):
La corrente sinaptica è data da:
: Conduttanza massima sinaptica.- : Frazione di canali aperti al tempo t.
: Potenziale di inversione sinaptico.
: Potenziale di membrana.
Segnali extracellulari
I segnali extracellulari sono misure dell’attività elettrica dei neuroni registrate al di fuori delle cellule. Questi segnali possono includere potenziali d’azione (AP), potenziali di campo locale (LFP), e componenti ad alta frequenza.
Tecniche di Registrazione:
Registrazioni Intracellulari:
Sharp-electrode: Utilizza un elettrodo affilato per registrare il potenziale di membrana di una singola cellula.
Patch-clamp whole-cell: Registra l’attività elettrica di un’intera cellula, permettendo di misurare correnti e potenziali postsinaptici.
Registrazioni Extracellulari:
Local Field Potential (LFP): Misura l’attività elettrica complessiva di un gruppo di neuroni, tipicamente a basse frequenze.
Multi-unit Activity (MUA): Registra l’attività di più neuroni contemporaneamente, tipicamente ad alte frequenze.
Electrocorticography (ECoG): Registra l’attività elettrica dalla superficie del cervello.
Magnetoencephalography (MEG): Misura i campi magnetici generati dall’attività neurale.
Considerazioni sulle Registrazioni Extracellulari:
Posizione della Registrazione: La posizione dell’elettrodo rispetto ai neuroni influisce sul segnale registrato. Ad esempio, registrare vicino al soma può catturare potenziali d’azione, mentre registrare lontano può catturare segnali più diffusi.
Sensibilità Spaziale: Le tecniche di registrazione possono essere sensibili a segnali provenienti da una singola cellula o da un gruppo di cellule.
Forma delle Cellule: La forma tridimensionale dei neuroni e la distribuzione dei dendriti influenzano il segnale registrato.
Input Sinaptici: La posizione degli input sinaptici rispetto alla posizione della registrazione può influenzare il segnale.
Componenti dei Segnali Extracellulari:
Componenti a Bassa Frequenza (LFP): Riflettono l’attività sincronizzata di un gruppo di neuroni, spesso associata a processi come l’elaborazione delle informazioni e la plasticità sinaptica.
Componenti ad Alta Frequenza (MUA): Riflettono l’attività di singoli neuroni o piccoli gruppi di neuroni, spesso associata a potenziali d’azione.
Dendriti come porzione non isopotenziale del neurone:
I dendriti sono le strutture ramificate di un neurone che ricevono segnali da altri neuroni attraverso le sinapsi. A differenza del soma (il corpo cellulare), i dendriti non sono isopotenziali, il significa che il potenziale elettrico non è uniforme lungo tutta la loro estensione.
Perché i dendriti non sono isopotenziali?
Geometria Complessa:
I dendriti sono strutture ramificate e spesso molto lunghe rispetto al soma. Questa geometria complessa fa sì che i segnali elettrici (come i potenziali postsinaptici) possano attenuarsi o modificarsi man mano che si propagano lungo i dendriti.
Proprietà Elettriche Passive:
I dendriti hanno proprietà elettriche passive, come resistenza e capacità, che influenzano la propagazione dei segnali. La resistenza lungo i dendriti causa una caduta di potenziale, mentre la capacità rallenta la risposta ai cambiamenti di potenziale.
Input Sinaptici Distribuiti:
I dendriti ricevono input sinaptici da molte fonti diverse, distribuiti lungo la loro lunghezza. Questi input possono generare potenziali locali che non si propagano uniformemente attraverso i dendriti.
Canali Ionici Attivi:
Alcuni dendriti contengono canali ionici voltaggio-dipendenti che possono amplificare o modulare i segnali elettrici. Questi canali possono creare gradienti di potenziale lungo i dendriti, rendendoli non isopotenziali.
Implicazioni della Non Isopotenzialità dei Dendriti:
Integrazione Sinaptica:
La non isopotenzialità dei dendriti significa che i segnali provenienti da diverse sinapsi possono influenzare il neurone in modo diverso a seconda della loro posizione lungo i dendriti. Questo è cruciale per l’integrazione sinaptica, il processo attraverso cui un neurone combina i segnali provenienti da diverse fonti.
Propagazione dei Segnali:
I segnali elettrici (come i potenziali postsinaptici) si attenuano man mano che si propagano lungo i dendriti verso il soma. Questo significa che i segnali provenienti da sinapsi più lontane dal soma hanno un impatto minore sul potenziale di membrana del soma rispetto a quelli provenienti da sinapsi più vicine.
Plasticità Sinaptica:
La non isopotenzialità dei dendriti può influenzare la plasticità sinaptica, il processo attraverso cui le sinapsi si rafforzano o si indeboliscono in risposta all’attività neurale. I segnali provenienti da sinapsi specifiche possono avere effetti diversi sulla plasticità a seconda della loro posizione lungo i dendriti.
Segnali extracellulari e il ruolo della struttura neuronale
L’attività elettrica dei neuroni può essere registrata sia a livello intracellulare che extracellulare. Mentre la registrazione intracellulare permette di misurare direttamente il potenziale di membrana, quella extracellulare rileva le variazioni di potenziale nel mezzo circostante il neurone. Ma da cosa dipende la generazione di questi segnali extracellulari?
Per rispondere, analizziamo prima un caso semplice: un neurone considerato come un punto elettrico.
Potenziale cellulare di un neurone puntiforme
Quando un neurone viene trattato come un punto (senza estensione spaziale), il circuito equivalente presenta elementi come la capacità di membrana C, la conduttanza della membrana G e la conduttanza sinaptica 
. Il problema fondamentale di questo modello è che le correnti entrano ed escono dallo stesso punto.
Questo porta alla condizione chiave:
Cioè, non si genera alcuna differenza di potenziale extracellulare perché le correnti entranti e uscenti si cancellano esattamente.
Tuttavia, nella realtà i neuroni non sono punti, ma strutture spazialmente estese con dendriti e soma distinti. Questo cambia radicalmente la situazione.
Potenziale cellulare di un neurone con una struttura spaziale
Se consideriamo un neurone con una struttura spaziale più realistica, possiamo descrivere il sistema con un circuito equivalente più dettagliato, dove compare la resistenza dell’ambiente extracellulare 
. In questo caso, il potenziale extracellulare dipende dalle correnti che fluiscono tra soma e dendriti.
Le equazioni fondamentali che descrivono il comportamento del sistema sono:
Legge di Kirchhoff per le correnti al soma
Dove:
è la corrente extracellulare
è la corrente capacitiva, legata al cambiamento del potenziale di membrana nel tempo
è la corrente di membrana, proporzionale alla conduttanza di membrana 
e alla differenza tra il potenziale di membrana 
e il potenziale di equilibrio 
Espressione del potenziale extracellulare
Isoliamo:
Ora sostituiamo
e :
Moltiplicando per la resistenza extracellulare
, otteniamo il potenziale extracellulare:
Se il termine capacitivo è molto più grande di quello conduttivo, significa che:
In altre parole, la variazione del potenziale di membrana nel tempo è molto più influente rispetto alla corrente di membrana
.In questo caso, possiamo trascurare il secondo termine e approssimare:
Ora, se assumiamo che
(cioè normalizziamo i parametri in modo che il loro prodotto sia unitario, come spesso si fa nei modelli semplificati), allora otteniamo direttamente:
Conclusione: il potenziale/segnale extracellulare è approssimativamente la derivata del potenziale di membrana nel soma.
Potenziale cellulare di un neurone a riposo
Lo stato di riposo di un neurone è definito come la condizione in cui il potenziale di membrana è stabile nel tempo (cioè non cambia, quindi 
).
Posizione dell’elettrodo e registrazione extracellulare
Il potenziale extracellulare dipende dalla posizione dell’elettrodo rispetto al neurone.
Se l’elettrodo è vicino al soma, il segnale è forte e chiaro
Se è troppo lontano, il segnale diventa attenuato e si confonde con il rumore.
Questo è fondamentale per gli esperimenti di registrazione: la qualità del segnale dipende da dove viene posizionato l’elettrodo.
Modelli per i segnali extracellulari
Per comprendere e prevedere i segnali extracellulari, vengono utilizzate due teorie matematiche principali:
1. Teoria dei cavi (Cable Theory)
Questa teoria descrive come le correnti ioniche si propagano lungo il neurone attraverso il potenziale di membrana v(x,t). L’equazione fondamentale è
Dove: - è la costante di spazio, che determina quanto lontano un segnale si propaga lungo il neurone - 
è la costante di tempo della membrana.
Interpretazione: questa equazione mostra che il potenziale varia sia nello spazio (x) che nel tempo (t), fornendo un modello realistico della trasmissione dei segnali elettrici lungo il neurone.
2. Teoria del conduttore di volume (Volume Conductor Theory)
Questa teoria descrive come i segnali extracellulari vengono generati dalle correnti transmembranali e propagati nel mezzo extracellulare. L’equazione chiave è:
Dove: - 
è il potenziale extracellulare nel punto r - 
è la corrente transmembranale generata dal neurone - 
è la conducibilità del mezzo extracellulare - 
è la posizione del neurone.
Interpretazione: questa equazione mostra che il potenziale extracellulare è la somma dei contributi delle correnti ioniche generate dal neurone, e la loro intensità dipende dalla distanza dell’elettrodo rispetto alla sorgente del segnale.
Conclusioni
Un neurone puntiforme non genera segnali extracellulari, perché le correnti si cancellano localmente
Se consideriamo l’estensione spaziale del neurone, vediamo che il potenziale extracellulare dipende dal flusso di correnti tra dendriti e soma.
Il potenziale extracellulare è approssimativamente la derivata temporale del potenziale del soma.
L’intensità del segnale registrato dipende dalla posizione dell’elettrodo rispetto al neurone.
Due teorie fondamentali permettono di modellare questi segnali:
La teoria dei cavi spiega come si propagano le correnti lungo il neurone
La teoria del conduttore di volume spiega come queste correnti generano potenziali nel mezzo extracellulare.
Teoria del cavo di Rall per i neuriti
La teoria del cavo è un modello matematico sviluppato per descrivere la propagazione dei segnali elettrici nei neuriti (dendriti e assoni) delle cellule nervose. Questo approccio è fondamentale per comprendere come l’attività sinaptica si traduca in variazioni di potenziale di membrana e come queste si trasmettano lungo il neurone.
Motivazioni della teoria del cavo
Rall sviluppò questa teoria perché la maggior parte della corrente di input entra nei dendriti e non direttamente nel soma del neurone. Tuttavia, affinché il circuito si chiuda, la corrente deve anche fluire all’esterno della cellula. Inoltre, i dendriti non si comportano come regioni isopotenziali: - I potenziali elettrici si attenuano dalla sinapsi fino al soma - Esiste un ritardo temporale affinché i potenziali post-sinaptici distali (PSP) raggiungano il soma - La forma dei potenziali post-sinaptici eccitatori (EPSP) e inibitori (IPSP) cambia con la distanza sinaptica.
Rappresentazione della teoria del cavo
Poiché i dendriti e gli assoni possono essere modellati come strutture cilindriche, si può approssimare il loro comportamento a quello di un cavo unidimensionale. Questo permette di descrivere le loro proprietà elettriche attraverso una rete equivalente composta da resistenze e capacità distribuite lungo la membrana.
Nello specifico, le proprietà elettriche sono definite da: - 
= resistenza di membrana per unità di area - 
= resistenza longitudinale per unità di lunghezza - 
= capacità di membrana per unità di area
Le relazioni matematiche per una sezione infinitesimale del neurite sono: - Resistenza di membrana totale:
- Capacità totale:
- Resistenza assiale totale:
dove a è il raggio del cilindro e S è la superficie laterale.
Equazioni della teoria del cavo
Consideriamo una piccola sezione del cavo e analizziamo le correnti coinvolte:
Corrente assiale (flusso di corrente lungo il neurite):
Corrente di membrana (flusso di corrente attraverso la membrana):
Sommando tutte le componenti, otteniamo l’equazione generale del cavo:
Definiamo il potenziale relativo 
e riformuliamo l’equazione:
Infine, moltiplicando entrambi i lati per 
, otteniamo la forma più compatta:
Questa equazione descrive la propagazione del potenziale elettrico lungo il dendrite o l’assone, tenendo conto delle proprietà resistive e capacitive della membrana.
Sviluppo di Taylor nella teoria dei cavi
Per descrivere come varia il potenziale v(x,t) lungo una fibra, possiamo approssimarlo utilizzando lo sviluppo di Taylor. In particolare, se consideriamo il valore del potenziale in un punto x, possiamo esprimerlo nei punti vicini 
e 
nel seguente modo:
Sommando queste due equazioni, otteniamo un’espressione semplificata:
Questa relazione ci aiuta a scrivere l’equazione che governa il bilancio delle correnti lungo la fibra, tenendo conto della resistenza di membrana 
e della resistenza interna 
:
Da questa equazione possiamo ricavare una forma più generale, che assume la struttura di un’equazione differenziale parziale (PDE):
Scritta in una forma più compatta e comprensibile:
Questa è l’equazione fondamentale che descrive la propagazione del potenziale in una fibra neurale.
Introduzione delle costanti caratteristiche
Per semplificare ulteriormente l’equazione, introduciamo due quantità molto importanti:
La costante di tempo della membrana
, che indica quanto velocemente la membrana risponde ai cambiamenti di potenziale:
La costante di spazio
, che descrive la scala spaziale della variazione del potenziale lungo la fibra:
Usando queste definizioni, la nostra equazione diventa:
In alcuni casi, è utile includere anche la corrente sinaptica e la corrente esterna, ottenendo:
Dove la corrente esterna è definita come:
Questa equazione descrive in maniera più realistica come il potenziale varia lungo la fibra tenendo conto delle influenze sinaptiche ed esterne.
Condizioni al contorno: diverse configurazioni della fibra
Per poter risolvere questa equazione differenziale, è necessario specificare delle condizioni al contorno, che definiscono il comportamento del potenziale ai limiti della fibra.
Condizione 1: Estremità sigillata (“sealed end”)
Se un’estremità della fibra è sigillata, significa che non c’è alcun flusso di corrente attraverso di essa. Questo impone la condizione:
Dal momento che la corrente è legata alla derivata del potenziale, questa condizione si traduce matematicamente in:
Questa condizione rappresenta una terminazione aperta, simile a un circuito aperto in elettronica.
Condizione 2: Estremità aperta (“killed” or “open” end”)
Se l’estremità della fibra è “uccisa”, cioè collegata a un potenziale fisso di riferimento, allora il potenziale stesso deve essere zero:
Questa è una condizione di cortocircuito dal punto di vista elettrico.
Condizione 3: Estremità terminata (“terminated” end”)
Se l’estremità della fibra è connessa a un carico 
, allora la corrente assiale deve essere proporzionale alla tensione presente all’estremità:
Espressa in termini di derivate:
Questa condizione rappresenta una terminazione resistiva.
Condizione 4: Estremità con controllo attivo (“clamped”)
Infine, possiamo considerare il caso in cui l’estremità della fibra sia forzata a un valore specifico di tensione o corrente.
Voltage clamp: il potenziale all’estremità è mantenuto costante da un circuito di controllo:
Current clamp: invece della tensione, è la corrente a essere fissata a un valore prestabilito:
Questo si traduce matematicamente nella relazione:
Queste condizioni sono spesso utilizzate in esperimenti di elettrofisiologia per studiare il comportamento delle fibre nervose in condizioni controllate.
Comportamento elettrico di un cavo semi-infinito e finito nel regime stazionario (steady-state)
Cavo semi-infinito in regime stazionario
Si parte dall’equazione differenziale che governa il potenziale v(x, t) lungo il cavo:
dove è la costante di spazio, che caratterizza la distanza lungo il cavo su cui il segnale si attenua significativamente. Le soluzioni generali di questa equazione sono della forma:
Per un cavo semi-infinito, si assume che molto lontano da x = 0, il potenziale rimanga finito. Questo impone che il coefficiente 
, lasciando:
Usando la condizione al contorno 
, si ottiene:
Questa equazione mostra che il potenziale decade esponenzialmente lungo il cavo con una costante di attenuazione spaziale . Questo fenomeno è illustrato nel grafico che mostra una decrescita esponenziale.
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Cavo finito in regime stazionario
Se invece il cavo ha una lunghezza finita L, l’equazione differenziale rimane la stessa, ma cambiano le condizioni al contorno. Si assume:
A x = 0, una corrente
viene iniettata.A x = L, il potenziale deve soddisfare
.
La soluzione generale è scritta in termini di funzioni iperboliche:
Applicando le condizioni al contorno, si arriva alla soluzione finale:
Questo descrive un decadimento meno rapido rispetto al caso semi-infinito, in quanto il potenziale è influenzato dal riflesso della corrente all’estremità libera.
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Attenuazione del segnale e interpretazione circuitale
L’attenuazione esponenziale del potenziale nei dendriti implica che i neuroni non siano isopotenziali, il che è cruciale per la computazione neuronale. Viene mostrata anche una rappresentazione equivalente del cavo come un circuito di Thevenin, dove il comportamento della resistenza equivalente è dato da:
Infine, consideriamo il caso di un cavo infinito, dove il potenziale decade simmetricamente rispetto a x = 0:
Comportamento elettrico di un cavo semi-infinito e finito in regime continuo
Regime sinusoidale e costante di spazio complessa
In un cavo semi-infinito c’è il problema della propagazione di un segnale sinusoidale. Partendo dall’equazione del cavo in forma differenziale:
Dove: - è la costante di spazio, - è la costante di tempo della membrana.
Applicando la trasformata di Fourier, il tempo “scompare” e l’equazione si trasforma in:
Dove 
è la rappresentazione in frequenza del segnale.
Si introduce una nuova costante di spazio complessa:
che riflette la dipendenza dalla frequenza.
L’andamento della funzione mostra che il segnale si attenua esponenzialmente lungo il cavo:
dove 
è l’ampiezza iniziale.
Costante di spazio complessa e attenuazione
L’equazione precedente può essere riscritta evidenziando la dipendenza dalla frequenza:
Dove: - 
rappresenta l’ampiezza della costante di attenuazione, - 
è la fase.
Utilizzando la formula di Eulero:
si evidenzia la parte reale e immaginaria della costante di spazio.
Attenuazione dei segnali lungo il cavo
Si analizza il comportamento della soluzione in funzione della frequenza. La funzione esponenziale di attenuazione diventa:
Dove: - 
rappresenta il decadimento dell’ampiezza con la distanza, - 
introduce uno sfasamento nella propagazione.
La costante di spazio equivalente per il regime AC è:
Effetto filtro delle alte frequenze nei dendriti
I dendriti agiscono come filtri passa-basso, eliminando le componenti ad alta frequenza. La costante di spazio effettiva diminuisce per frequenze elevate, come evidenziato dal grafico.
Soluzione transitoria: propagazione e ritardo del segnale
Infine, vediamo il caso transitorio della propagazione dei segnali. L’equazione della tensione lungo il cavo in regime transitorio è:
Dove il segnale si attenua e si allarga nel tempo. Il tempo massimo di propagazione è approssimato da:
e la velocità media di propagazione:
Propagazione sinaptica
Concetto principale:
Le sinapsi distali (più lontane dal soma) hanno risposte sinaptiche più ampie e ritardate rispetto alle sinapsi prossimali (vicine al soma)
Questo è dovuto alla dispersione del segnale lungo il dendrite, che causa un’attenuazione della risposta man mano che il segnale si propaga verso il soma.
Aspetti chiave:
Il concetto di “democrazia dendritica” implica che i segnali sinaptici vengono scalati per garantire che le sinapsi lontane abbiano comunque un impatto significativo nel soma
Questo è visibile nel confronto tra ingressi sinaptici “non-democratici” (risposte più deboli per sinapsi lontane) e ingressi “democratici” (dove le risposte sinaptiche sono scalate per equilibrare il loro effetto nel soma).
Sommazione Temporale e Spaziale
Concetto principale:
Sommazione temporale: quando più potenziali postsinaptici eccitatori (EPSP) si susseguono rapidamente nel tempo, la loro somma può portare a un potenziale d’azione nel neurone postsinaptico
Sommazione spaziale: quando più sinapsi su diversi dendriti si attivano simultaneamente, i loro effetti si combinano per aumentare il potenziale nel soma.
Le equazioni matematiche che descrivono questi fenomeni sono:
Dove 
e 
rappresentano rispettivamente le correnti sinaptiche e i potenziali sinaptici generati in diversi punti del dendrite.
Sommazione Sublineare e Integrazione del Segnale
Concetto principale:
Non tutte le risposte sinaptiche si sommano linearmente
In alcune condizioni, la sommazione è sublineare, il che significa che l’effetto combinato di più ingressi sinaptici è inferiore alla loro semplice somma
Questo dipende dalla posizione delle sinapsi nel dendrite: se si trovano sulla stessa branca dendritica, la sommazione può essere sublineare a causa di meccanismi di shunting o saturazione dei recettori.
Esempio: - Se due sinapsi eccitatorie sono attive sulla stessa branca dendritica, l’effetto combinato è ridotto rispetto alla somma individuale - Se invece si trovano su branche diverse, il loro effetto è più vicino alla somma lineare.
Depolarizzazione nei Dendriti e Spikes di Calcio (BAC Firing)
Concetto principale:
I dendriti non sono semplici cavi passivi, ma possono generare eventi attivi come spikes di calcio
Quando un potenziale d’azione back-propagante (bAP) arriva a un dendrite che ha ricevuto un input sinaptico eccitatorio, si può generare un picco di calcio (BAC firing)
Questo è un meccanismo chiave per la coincidenza temporale degli stimoli, un principio importante per l’apprendimento sinaptico.
Elettrogenesi del Calcio e Punti di Ramificazione
Concetto principale:
L’attivazione dei dendriti distali può portare a eventi elettrogenici di calcio, con una soglia critica di frequenza per la generazione degli AP distali
Il modello matematico della propagazione del segnale nei dendriti tiene conto della struttura ramificata, con equazioni che descrivono la trasmissione della corrente attraverso le biforcazioni dendritiche.
Le equazioni per i punti di ramificazione sono:
Dove: - 
è il diametro delle diverse branche - 
è la resistenza del cavo dendritico in funzione della lunghezza e del diametro della branca.
Modello di Rall
Il modello di Rall è un metodo matematico utilizzato per approssimare le proprietà elettrotoniche dei dendriti reali. L’idea di base è quella di rappresentare un albero dendritico complesso come un singolo cilindro equivalente con lo stesso comportamento elettrico.
Principi fondamentali
Per costruire questo dendrite equivalente, Rall ha stabilito due condizioni chiave:
Area della superficie costante
L’area totale del dendrite equivalente deve essere uguale all’area totale dell’albero dendritico originario
Se il raggio del dendrite equivalente è
e la sua lunghezza è 
, allora la sua superficie totale è:
Questo valore deve eguagliare la somma delle superfici di tutti i segmenti dendritici dell’albero.
Lunghezza elettrotonica equivalente
La lunghezza elettrotonica normalizzata del dendrite equivalente
deve corrispondere alla somma delle lunghezze elettrotoniche dei segmenti dendritici:
Questo garantisce che la propagazione del segnale elettrico lungo il dendrite equivalente sia realistica rispetto alla distribuzione originale delle ramificazioni dendritiche.
Condizione di esattezza del modello di Rall
Il modello di Rall è esatto quando i raggi delle varie diramazioni rispettano una specifica relazione matematica:
Dove: - 
è il raggio del segmento padre (il dendrite principale), - 
e 
sono i raggi delle due ramificazioni figlie.
Questa equazione riflette la conservazione della corrente nel modello elettrotonico, un principio simile a quello delle leggi di Kirchoff in circuiti elettrici.
Inoltre, la relazione tra le probabilità di propagazione 
nei vari rami è:
Questo implica che la distribuzione della corrente tra le diramazioni deve seguire una regola precisa per mantenere l’equivalenza del modello.
Il Potenziale Extracellulare 
Il potenziale extracellulare , mostrando come esso è influenzato dalla distribuzione di cariche ioniche nello spazio extracellulare. L’equazione principale descrive il potenziale totale in un punto 
:
Questa formula mostra che il potenziale è influenzato dalla somma delle cariche ioniche 
, che sono schermate dallo spazio extracellulare con una distanza caratteristica di Debye 
. Tuttavia, a distanze macroscopiche, la schermatura delle cariche e i tempi di rilassamento molto rapidi rendono difficile l’uso di questa equazione, motivo per cui si adotta un approccio diverso.
Mobilità Ionica e Tempi di Rilassamento
Gli ioni si muovono sotto l’effetto di una forza esterna 
, ma questa è contrastata dalla forza di attrito 
:
Risolvendo questa equazione differenziale, otteniamo la velocità:
Con un rapporto tra attrito e massa molto elevato 
, il tempo di rilassamento degli ioni è molto breve (
). Questo porta alla condizione di elettro-neutralità a livello macroscopico, dove non si accumulano cariche nel tempo.
Nanoscala, microscala e macroscala
Nanoscala: comportamento dei singoli ioni e canali ionici.
Microscala: concentrazioni e densità ioniche.
Macroscala: proprietà di conduzione e flussi di corrente nel tessuto.
A scala macroscopica, lo spazio extracellulare è considerato elettro-neutralizzato e isopotenziale, permettendo di descrivere i potenziali extracellulare tramite la conservazione della corrente (Kirchhoff).
Volume Conductor Theory (VCT)
A livello macroscopico, il potenziale extracellulare non dipende dalla distribuzione di cariche, ma da sorgenti e pozzi di corrente (current sources & sinks), come mostrato dalle figure con flussi di corrente in un neurone. Le ipotesi della VCT includono:
I potenziali intracellulari
e le correnti intracellulari 
sono note o misurabili.Il potenziale extracellulare
non influisce su V e I intracellulari (assenza di interazioni ephattiche).Il tessuto cerebrale è un mezzo conduttivo continuo e omogeneo.
Il comportamento macroscopico è ohmico, con conducibilità
.
La formula per il potenziale extracellulare in funzione della corrente in un volume conduttore è:
Dove 
sono le sorgenti di corrente e la conducibilità del tessuto.
La Legge di Ohm per i Conduttori di Volume
Ora vediamo la Legge di Ohm per i conduttori di volume
Dove è la conduttanza e la conducibilità. A livello differenziale, otteniamo:
Che collega la densità di corrente alla variazione spaziale del potenziale extracellulare.
Modelli di Sorgenti di Corrente: Punto vs Linea
Nella rappresentazione delle sorgenti di corrente, possiamo approssimare i neuroni in due modi:
Punto-sorgente (
generato da singoli punti di corrente):
Linea-sorgente (neuroni come segmenti di corrente distribuita):
Confronto tra Approccio Punto-Sorgente e Linea-Sorgente
Ora vediamo il confronto tra approccio Punto-Sorgente e Linea-Sorgente:
A corte distanze, entrambi i modelli generano campi simili.
A lunghe distanze, il modello lineare è più accurato perché il neurone non è un singolo punto ma una struttura estesa.
Current Source Density (CSD)
La densità di corrente sorgente (CSD) rappresenta la distribuzione spaziale delle sorgenti e dei pozzi di corrente nel tessuto neuronale. È definita come:
dove 
è la densità di corrente sorgente, che dipende sia dalla posizione 
che dal tempo 
. Questa grandezza è utile per comprendere la propagazione dei segnali neuronali e viene spesso stimata tramite metodi inversi, a partire dal potenziale extracellulare .
Un’equazione più complessa che descrive il potenziale extracellulare in funzione della densità di corrente sorgente è:
dove è la conducibilità del tessuto. Questa equazione differenziale parziale è fondamentale per il calcolo dei potenziali extracellulari e per la comprensione della generazione dei segnali elettrici nei neuroni.
Spikes e potenziali extracellulari
Generazione e propagazione
I potenziali d’azione generati nei neuroni corticali si propagano attraverso il tessuto e generano segnali misurabili a livello extracellulare. Le immagini mostrano:
Il potenziale extracellulare generato da un neurone: L’immagine sulla sinistra mostra una rappresentazione spaziale della distribuzione del potenziale extracellulare generato da un neurone durante un potenziale d’azione.
Il potenziale di membrana: L’andamento temporale del potenziale di membrana (Vm) viene mostrato in basso, con la classica forma del potenziale d’azione.
Spettro di frequenza: Le immagini mostrano gli spettri di frequenza per i potenziali intracellulari ed extracellulari, indicando le componenti di frequenza principali di questi segnali.
Forma e rilevabilità degli spikes
La rilevabilità dei potenziali d’azione dipende fortemente dalla morfologia cellulare e dalla distanza della registrazione. Le immagini mostrano:
Il decadimento della forma del segnale extracellulare con la distanza (grafico della larghezza e ampiezza dello spike in funzione della distanza).
Diverse tipologie di neuroni della corteccia cerebrale (cellule piramidali, cellule Martinotti e cellule neurogliaformi), che presentano differenze nei segnali extracellulari generati.
La morfologia della cellula influisce sulla rilevabilità degli spike. Le cellule piramidali, avendo un’ampia arborizzazione dendritica e un assone più grande, generano segnali più rilevabili rispetto alle cellule più piccole come le neurogliaformi.
Influenza dei dendriti e della mielina
Ruolo dei dendriti attivi
Le immagini mostrano che l’attività dendritica ha un impatto limitato sul potenziale extracellulare generato. La differenza tra un modello attivo e una semplice replica passiva è relativamente piccola.
Ruolo della mielina negli spike assonali
La mielinizzazione dell’assone ha un impatto significativo sulla propagazione dei potenziali d’azione. Le curve mostrano:
Vm al soma: Il potenziale di membrana al soma presenta un andamento simile nei neuroni mielinizzati e non mielinizzati.
Potenziale extracellulare vicino all’assone: La mielinizzazione modifica la forma del segnale extracellulare.
Ampiezza del segnale in funzione della distanza: I segnali provenienti dagli assoni mielinizzati decadono in modo diverso rispetto a quelli non mielinizzati.
Modellazione dei potenziali extracellulari
I potenziali extracellulari () rappresentano un’importante misura dell’attività neuronale e possono essere utilizzati per sviluppare e testare algoritmi di spike-sorting, che servono a identificare i contributi dei singoli neuroni nei segnali registrati. Questi potenziali sono influenzati da diversi fattori, tra cui le correnti sinaptiche e di ritorno, i potenziali d’azione, le correnti intracellulari lente, le correnti nelle cellule gliali, i circuiti di corrente nei neuroni e nell’ambiente extracellulare e i potenziali di diffusione ionica.
I segnali registrati mostrano diverse configurazioni di sorgenti e sink che dipendono dal tipo di input ricevuto dai neuroni. Gli ingressi eccitatori e inibitori possono generare distribuzioni diverse dei campi extracellulari, influenzando la registrazione dei potenziali di campo locale (LFP) e dell’attività multi-unitaria (MUA). A seconda della disposizione di queste sorgenti e sink, si possono osservare schemi di potenziale che variano da una netta separazione spaziale a un quasi perfetto bilanciamento delle correnti.
A grandi distanze, i potenziali extracellulari generati dall’attività neuronale si comportano in modo simile a quelli prodotti da un dipolo elettrico. Questo comportamento è descritto dalla relazione:
dove rappresenta il momento di dipolo, definito come:
Se consideriamo due sorgenti di corrente con intensità opposta, il momento di dipolo assume la forma:
dove 
è la distanza tra le due cariche. Questo modello dipolare spiega come il segnale neurale si propaga nel tessuto cerebrale e fornisce un’importante base teorica per interpretare i dati elettrofisiologici.
Registrazione del Segnale Neurale
I dispositivi utilizzati per la registrazione dei segnali neurali sono gli elettrodi. I principali sono: - Tetrodi: piccoli fili con quattro punti di registrazione. - Sonde al silicio: dispositivi con più siti di registrazione su una struttura rigida. - Neuropixels e Utah Arrays: array avanzati per registrazioni ad alta densità.
Campionamento e Conversione Analogico-Digitale (A/D)
Per elaborare i segnali neurali, questi devono essere convertiti da analogici a digitali attraverso il processo di conversione A/D. Questo avviene dopo un’amplificazione, tipicamente di un fattore 100 Il Teorema di Nyquist-Shannon stabilisce che la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della massima frequenza presente nel segnale:
dove 
è la frequenza di campionamento e 
è la massima frequenza del segnale.
La risoluzione della conversione A/D dipende dal numero di bit 
, determinando il numero di livelli di quantizzazione:
Per esempio, con 12, 14 o 16 bit, si ottengono rispettivamente 4096, 16384 e 65536 livelli. Questo influisce sulla risoluzione in millivolt (es. 2.4 mV per 12 bit, 0.6 mV per 14 bit, 0.15 mV per 16 bit).
Rilevamento dei Picchi e Stima del Rumore di Base
Il rilevamento dei picchi si basa su una soglia determinata dall’analisi del livello di rumore di base Si usano due metriche fondamentali: - Mediana: separa i valori superiori da quelli inferiori in un insieme di dati. - MAD (Median Absolute Deviation): misura la dispersione attorno alla mediana:
La deviazione standard stimata è data da:
Dove 
è un fattore di scaling, che per una distribuzione normale è
, quindi:
La soglia di rilevamento dei picchi è spesso fissata come un multiplo della deviazione standard stimata:
con 
calcolato come:
Estrazione delle Caratteristiche
Per classificare i potenziali d’azione registrati, si cerca il set minimo di caratteristiche che permetta di discriminare le forme d’onda. Queste caratteristiche devono essere robuste al rumore e spesso dipendono dall’algoritmo di classificazione.
Analisi delle Componenti Principali (PCA)
L’Analisi delle Componenti Principali (PCA) è una tecnica di riduzione della dimensionalità. Essa trova una base ortonormale per i dati, dove la prima componente principale (PC1) è la direzione con la maggiore varianza Poiché poche componenti descrivono bene i dati, si possono usare alternative come PCA non lineare o reti autoencoder.
Analisi dei segnali neurali
L’analisi dei segnali neurali si basa su diversi approcci per classificare i dati, registrare l’attività elettrica delle cellule e modellare matematicamente il comportamento neuronale. Uno degli aspetti fondamentali riguarda il clustering dei dati, che può essere eseguito manualmente o in modo non supervisionato.
L’approccio manuale è soggettivo, può avere un alto tasso di errore e non è sempre riproducibile. Al contrario, i metodi automatici e non supervisionati utilizzano algoritmi come k-means, Mixture of Gaussians e superparamagnetic clustering per classificare i dati in modo efficiente. Un esempio di modello utilizzato è la mixture gaussiana, espressa dalla seguente equazione:
Qui, rappresenta i dati, che vengono modellati come una combinazione di distribuzioni gaussiane con pesi 
, medie 
e varianze 
. Questo approccio è utile per gestire situazioni complesse come la presenza di tetrodi, neuroni che scaricano in burst e spike sovrapposti.
Un altro aspetto essenziale riguarda le registrazioni intracellulari, in cui si applicano stimoli specifici a una cellula per registrare le sue risposte elettriche. Questi esperimenti aiutano a estrarre il codice elettrico (e-Code) della cellula, ovvero il modo in cui essa elabora e trasmette informazioni in risposta agli stimoli ricevuti.
Per descrivere matematicamente l’attività neuronale, si utilizza il concetto di treni di spike, ovvero sequenze di potenziali d’azione nel tempo. L’attività neuronale è spesso modellata in modo probabilistico per tenere conto della variabilità e della dipendenza dalla storia passata. La rappresentazione formale di un treno di spike è:
Dove la funzione 
rappresenta un potenziale d’azione che si verifica in un tempo specifico 
. Per analizzare le statistiche temporali dei treni di spike, si utilizza la densità di probabilità congiunta:
Un altro parametro importante è il conteggio degli spike, che misura il numero di spike in un dato intervallo temporale , ed è definito come:
dove 
è una funzione finestra che seleziona gli spike registrati in un certo periodo.
Infine, si analizza la distribuzione degli intervalli interspike (ISI), che descrive la probabilità di osservare un certo intervallo tra due spike consecutivi. Gli intervalli interspike sono definiti come:
Lo studio della distribuzione di questi intervalli fornisce informazioni sulla regolarità del firing neuronale e aiuta a caratterizzare il comportamento delle cellule nervose.
L’obiettivo di queste analisi è estrarre informazioni significative dai dati neuronali per comprendere meglio il funzionamento del sistema nervoso, riducendo l’influenza del rumore e migliorando la precisione nell’interpretazione dei segnali elettrici cerebrali.
Le immagini trattano il processo puntuale di Poisson, un tipo di processo stocastico utilizzato per modellare eventi casuali nel tempo, con particolare attenzione alle sue proprietà di rinnovamento e distribuzione degli intervalli tra eventi.
Analisi dei segnali neurali semplificata
L’attività dei neuroni viene descritta attraverso treni di spike, cioè sequenze di potenziali d’azione nel tempo. A causa della variabilità naturale del firing neuronale, spesso si usa un approccio probabilistico.
Un treno di spike può essere rappresentato matematicamente come:
dove indica un potenziale d’azione che avviene in un istante .
Per definire i tempi degli spike , dobbiamo caratterizzarli in modo probabilistico, poiché non sono deterministici ma variano tra le ripetizioni dello stesso esperimento.
La densità di probabilità congiunta 
è la funzione che descrive la probabilità che gli spike avvengano esattamente nei tempi 
. Questa densità è una caratteristica fondamentale perché permette di definire la distribuzione temporale degli spike e quindi di analizzare le proprietà statistiche del processo neuronale.
In particolare, nel caso di un processo di Poisson, la distribuzione degli intervalli interspike (ISI) segue una legge esponenziale, il che significa che gli spike sono distribuiti nel tempo in modo casuale e indipendente.
Quindi, per descrivere completamente i tempi , è essenziale far riferimento alla loro densità di probabilità, che ne caratterizza la distribuzione nel tempo.
Poiché i tempi degli spike non sono deterministici ma variano tra le ripetizioni dello stesso esperimento, si introduce la densità di probabilità congiunta . Questa funzione descrive la probabilità che gli spike avvengano esattamente nei tempi .
Un altro aspetto chiave è la distribuzione degli intervalli interspike (ISI), che indica la probabilità di osservare un certo intervallo tra due spike consecutivi. Questa distribuzione fornisce informazioni sulla regolarità del firing neuronale e sul comportamento delle cellule nervose.
Processo di Poisson e distribuzione degli spike
Un modello utile per descrivere l’attività neuronale è il processo di Poisson, che ha due proprietà fondamentali: 1. La probabilità di uno spike in un piccolo intervallo di tempo 
è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo:
dove è la frequenza media di spike 2. Gli spike sono indipendenti tra loro, quindi la probabilità di un nuovo spike non dipende dalla storia passata.
La distribuzione degli intervalli ISI in un processo di Poisson segue una legge esponenziale, che riflette la natura casuale del tempo tra eventi successivi.
Questi strumenti permettono di analizzare l’attività neuronale in modo quantitativo, fornendo insight sulla trasmissione delle informazioni nel sistema nervoso.
Processo di Poisson e proprietà di rinnovamento
Un processo di Poisson è il più semplice tra i processi di rinnovamento e si basa sulle seguenti proprietà fondamentali:
Probabilità di occorrenza di un evento in un intervallo infinitesimale La probabilità che un evento (o “spike”) avvenga in un piccolo intervallo di tempo
è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo:
dove
è la frequenza di firing (o tasso di occorrenza), che qui si assume costante.
Indipendenza degli eventi
Il processo non ha memoria: la probabilità di un nuovo evento non dipende dalla storia passata.
Gli intervalli tra eventi successivi sono indipendenti.
Intervalli tra eventi (Inter-Spike Intervals, ISI) Gli intervalli tra i tempi degli eventi (
) sono distribuiti secondo una legge esponenziale.
Probabilità di sopravvivenza nel processo di Poisson
La probabilità di sopravvivenza 
esprime la probabilità che il prossimo evento avvenga dopo un tempo da un evento precedente.
Definizione della funzione di sopravvivenza
Questo significa che
misura la probabilità che non sia avvenuto alcun evento fino a .
Equazione differenziale della sopravvivenza
Poiché gli eventi seguono un processo di Poisson, si ottiene:
risolvendo questa equazione, si trova:
Distribuzione degli intervalli tra eventi (ISI) La probabilità che l’intervallo tra due eventi successivi sia esattamente
si ottiene derivando la funzione di sopravvivenza:
Questo mostra che gli intervalli tra eventi sono distribuiti esponenzialmente, il che è una proprietà chiave del processo di Poisson.
Momenti statistici della distribuzione ISI
Dalla distribuzione degli intervalli tra eventi, possiamo calcolare i principali momenti statistici:
Valore atteso dell’intervallo tra eventi L’integrale della distribuzione esponenziale fornisce la media:
Varianza degli intervalli La varianza è calcolata come:
Coefficiente di variazione Il coefficiente di variazione è definito come il rapporto tra la deviazione standard e il valore atteso:
Questo significa che la distribuzione degli intervalli segue esattamente una distribuzione esponenziale, confermando l’assenza di dipendenza tra gli eventi.
Processi di rinnovamento più generali
Nel caso generale, la probabilità che un evento si verifichi dopo 
dato che l’ultimo spike è avvenuto in 
è:
dove 
è l’intensità stocastica o tasso di rischio, che può dipendere dal tempo.
Equazione differenziale della sopravvivenza
la cui soluzione è:
Distribuzione degli intervalli ISI per processi più generali La funzione di densità di probabilità degli intervalli ISI diventa:
Questo mostra che il processo può assumere forme diverse dalla distribuzione esponenziale.
Esempi di processi di rinnovamento generali
Esistono diverse distribuzioni degli intervalli tra eventi a seconda del modello scelto per
, come:
Processo Gamma
Distribuzione Log-Normale
Distribuzione Inversa-Gaussiana
Teoria dell’informazione per i treni di spike neuronali
L’analisi dei treni di spike neuronali con la teoria dell’informazione permette di quantificare quanta informazione un neurone trasmette riguardo a uno stimolo esterno. Questo è particolarmente utile in ambiti come le neuroprotesi, dove si cerca di decodificare i segnali neurali per controllare dispositivi esterni.
Un sistema di comunicazione può essere rappresentato da tre componenti principali: 1. Fonte: lo stimolo originale, rappresentato dalla variabile 
2. Canale di comunicazione: il sistema neurale, che introduce variabilità nei treni di spike 3. Osservatore: il treno di spike registrato, rappresentato dalla variabile 
.
L’obiettivo è determinare quanta informazione è possibile ottenere sullo stimolo osservando il treno di spike .
Entropia: misura dell’incertezza
L’informazione di un evento è una misura della riduzione dell’incertezza dopo l’osservazione:
dove è la probabilità dell’evento. Questa quantità è: - Zero se 
(l’evento è certo e non porta nuova informazione) - Massima quando è piccolo, perché eventi rari contengono più informazione.
L’entropia di una sorgente discreta è la media dell’informazione per tutti i possibili eventi :
Questa rappresenta il numero medio di domande “sì/no” necessarie per identificare un evento. Se tutti gli eventi sono equiprobabili, l’entropia è massima e vale:
dove 
è il numero totale di eventi possibili.
Entropia di una variabile binaria
Se la sorgente ha solo due stati con probabilità e 
, l’entropia è:
Questa funzione è massima per 
, quando i due stati sono equiprobabili.
Entropia condizionata e incertezza residua
Poiché il canale neurale introduce rumore, lo stesso stimolo può generare treni di spike diversi. L’entropia condizionata misura l’incertezza residua su dopo aver osservato :
Se il canale fosse perfetto, 
perché l’osservazione di permetterebbe di determinare con certezza.
Informazione mutua tra stimolo e risposta
L’entropia di un treno di spike è:
mentre l’entropia condizionata rispetto allo stimolo è:
L’informazione mutua, che misura la riduzione dell’incertezza su dopo aver osservato , è definita come:
ovvero, rappresenta quanto l’osservazione del treno di spike riduce l’incertezza sullo stimolo. In alternativa, può essere scritta come:
Questa seconda forma indica la riduzione dell’incertezza su quale treno di spike verrà osservato conoscendo lo stimolo.
Disuguaglianza del trattamento dei dati
La Data Processing Inequality stabilisce che qualunque trasformazione dei dati non può aumentare l’informazione mutua:
Se si applica una trasformazione 
ai dati osservati, l’informazione mutua rispetto allo stimolo può solo diminuire o rimanere uguale.
Problemi nella stima dell’entropia dei treni di spike
L’entropia di un treno di spike è teoricamente:
dove 
è il numero di possibili treni di spike. Per stimarla, si calcola la frequenza relativa di ogni treno osservato:
L’entropia stimata con il massimo stimatore di verosimiglianza (MLE) è:
Se il numero di osservazioni è piccolo rispetto al numero di possibili treni , l’entropia viene sottostimata.
Metodi di correzione del bias
Per correggere questa sottostima, si usano diversi metodi:
Miller-Madow correction: sottrae una correzione di primo ordine al bias
Jack-Knife Montecarlo resampling: calcola l’entropia rimuovendo un’osservazione alla volta
Coverage-adjusted estimator: modifica la stima di
per ridurre l’errore nei dati rari.
Questi metodi migliorano l’accuratezza della stima dell’entropia rispetto al massimo stimatore di verosimiglianza.
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