Riassunti misure di segnali biologici
Table of Contents
Rapporto segnale-rumore (SNR) 3
Principio di sovrapposizione degli effetti 9
Impedenza elettrodo: Modello Warburg 23
Impedenza equivalente di un elettrodo Ag/AgCl 25
Elettrodi polarizzanti e non polarizzanti 26
Risposta degli elettrodi a forme d’onda complesse 27
Elettrodi bagnati vs elettrodi asciutti 28
Amplificatore Operazionale (Op-Amp) 29
Amplificatore Non Invertente 36
Amplificatore Differenziale 37
Inseguitore di Tensione (Buffer) 38
Amplificatore Differenziale con 3 Operazionali 40
Segnali Bilanciati e Sbilanciati 42
Segnali Bilanciati e Sbilanciati in Presenza di Disturbi 42
Conversioni tra Segnali Bilanciati e Sbilanciati 42
Convertitori Corrente-Tensione 43
Convertitori Tensione-Corrente 43
Amplificatori operazionali non ideali 43
Effetto del Guadagno ad Anello Aperto Finito 43
Saturazione negli Amplificatori Operazionali 45
Amplificatore Non Invertente: Caratteristica Ingresso-Uscita 46
Amplificatore Invertente: Regioni di Funzionamento 47
Resistenza di Ingresso negli Amplificatori Operazionali 49
Resistenza di Ingresso di un Amplificatore Non Invertente 50
Resistenza di Uscita negli Amplificatori Operazionali 50
Compensazione della Tensione di Offset 51
Filtro Elimina-Banda (Notch) 69
Risposta in Frequenza di un Amplificatore Operazionale 70
Filtri Attivi di Secondo Ordine 72
Conversione Analogico-Digitale (A/D) 74
Convertitore a Contatore-Rampa 76
Convertitore a Inseguimento 77
Convertitore ad Approssimazioni Successive (SAR) 77
Convertitore A/D a Doppia Rampa 78
Convertitori Non Lineari e Compressione Logaritmica 80
Segnale
Un segnale è una rappresentazione di una grandezza fisica variabile nel tempo o nello spazio, che trasporta informazioni.
In elettronica, un segnale può rappresentare una variazione di tensione o corrente utilizzata per trasmettere informazioni tra dispositivi.
Trasduttore
Un trasduttore è un dispositivo che converte una grandezza fisica in un altro tipo di grandezza per facilitare la misurazione o il controllo.
Misura
MISURA = è il processo di determinazione quantitativa di una grandezza fisica rispetto a una unità di riferimento.
RIFERIMENTI = campioni il cui valore è predeterminato ed espresso rispetto all’unità.
Tipologie di segnali biologici
Segnali Biomeccanici e di Flusso
Segnali Biochimici
Segnali Ottici
Segnali Bioelettrici
Caratteristiche principali dei segnali
Ampiezza picco(
): livello massimo del segnaleAmpiezza picco-picco(
): distanza tra picco massimo e picco minimoFase(
): misura della posizione relativa all’origine del segnale in un dato istantePeriodo o lunghezza d’onda(T): intervallo temporale della periodicità, distanza tra due punti uguali della forma d’onda
Frequenza(f): f = 1/T 1/s
Pulsazione (
): 
rad/sValore efficace (Vrms): di un segnale periodico è il valore che avrebbe un segnale costante con uguale potenza media.
Valore medio ed efficace
Il valore medio di un segnale rappresenta la sua componente continua nel tempo.
Il valore efficace (RMS - Root Mean Square) è una misura che rappresenta l'energia associata al segnale.
La potenza media di un segnale rappresenta l'energia media trasferita dal segnale in un periodo. Per i segnali AC, la potenza è direttamente correlata al valore efficace.
Per segnali sinusoidali, il valore efficace è il valore di picco diviso per 
.
Potenza Elettrica: La potenza del segnale è proporzionale al quadrato del valore efficace
Tipologie di segnali
Ci sono due tipologie di segnali:
Segnali deterministici = segnali di cui è noto a priori l’andamento temporale e in cui sono noti a priori i parametri di interesse da misurare.
Segnali stocastici = segnali di cui non è noto a priori l’andamento temporale, un segnale di questo tipo è la realizzazione di un processo casuale. In esso i parametri non sono noti a priori
Rumore
Rumore: Qualsiasi segnale indesiderato che si sovrappone al segnale di interesse e ne degrada la qualità.
È un fenomeno aleatorio e intrinseco che si verifica a livello microscopico nei componenti elettronici. È dovuto a cause fisiche come il movimento degli elettroni.
Il rumore consiste di "fluttuazioni" dovute a proprietà fondamentali della materia e in quanto tali di origine interna e non eliminabili. Queste fluttuazioni che si osservano a livello macroscopico derivano da fluttuazioni a livello microscopico.
Tipi di Rumore:
Rumore Termico: Generato dal movimento casuale degli elettroni nei componenti resistivi, presente in tutti i circuiti.
Disturbi
Disturbi: Interferenze esterne non casuali che alterano il segnale, come l'interferenza elettromagnetica (EMI) da dispositivi vicini.
Spesso sono periodici e spesso prodotti da rapide variazioni di corrente in sistemi oscillanti.
Effetti sul Segnale: - Il rumore e i disturbi possono compromettere la qualità del segnale acquisito, rendendo difficile estrarre informazioni utili. - Il condizionamento del segnale e la filtrazione sono essenziali per minimizzare l'impatto del rumore e migliorare l'affidabilità della misura.
Dominio della frequenza
Un segnale analogico può essere rappresentato sia nel dominio del tempo (come variazione dell'ampiezza rispetto al tempo) che nel dominio della frequenza.
Nel dominio della frequenza, lo spettro mostra come l'energia del segnale si distribuisce tra le diverse frequenze.
Benefici dell'Analisi in Frequenza: - Rimozione del rumore - Ottimizzazione del segnale tramite filtraggio per migliorare l'accuratezza delle misurazioni.
Rapporto segnale-rumore (SNR)
SNR (Signal-to-Noise Ratio), o Rapporto Segnale-Rumore, è una misura della qualità del segnale in un sistema di acquisizione.
Esprime il rapporto tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore che si sovrappone al segnale.
Definizione Matematica:
L'SNR è solitamente espresso in decibel (dB) e calcolato come:
Dove 
e 
rappresentano la potenza del segnale e del rumore, rispettivamente.
Un SNR elevato indica che il segnale è molto più potente del rumore, quindi di alta qualità e facilmente analizzabile.
Interfaccia
L'interfaccia del sensore è il punto di contatto tra il segnale biologico e il sistema di acquisizione.
È costituita da elettrodi che permettono di raccogliere segnali bioelettrici.
Modello Elettrico dell'Interfaccia: - Gli elettrodi e i tessuti biologici formano un modello elettrico equivalente caratterizzato da resistenze e capacità. - L'impedenza di contatto tra elettrodo e tessuto influenza la qualità del segnale e può introdurre rumore e distorsioni.
Calibrazione
Obiettivo: Garantire che la risposta del sistema sia accurata e ripetibile nel tempo.
Procedura: Aggiustamento del sistema rispetto a uno standard noto, per compensare errori sistematici.
Amplificazione dei segnali
I segnali biologici, sono tipicamente molto deboli. L'amplificazione analogica tramite circuiti è necessaria per rendere questi segnali analizzabili.
Amplificatore Operazionale: (op-amp) è un dispositivo elettronico analogico che amplifica la differenza di tensione tra due ingressi, con un alto guadagno e molteplici applicazioni come amplificazione del segnale e filtraggio.
Filtraggio del segnale
Obiettivo del Filtraggio: Rimuovere il rumore e le componenti indesiderate
Conversione A/D
Il segnale in uscita dall'A/D è una sequenza di numeri digitali (N bit), che rappresentano il valore del segnale analogico in specifici istanti di tempo.
Campionamento e quantizzazione
Campionamento: Processo di misurazione di un segnale continuo a intervalli regolari di tempo Quantizzazione: Conversione dei campioni del segnale continuo in valori discreti, approssimandoli ai livelli più vicini disponibili, introducendo un errore di quantizzazione.
Definizione di Quantizzazione: La quantizzazione è il processo di conversione dei campioni di un segnale continuo in valori discreti.
Ogni campione viene approssimato al livello più vicino tra un insieme finito di livelli di quantizzazione.
Errore di Quantizzazione: La differenza tra il valore reale del campione e il livello quantizzato si chiama errore di quantizzazione. Questo errore introduce una distorsione nel segnale rappresentato.
Risoluzione in Bit: La risoluzione del convertitore analogico-digitale (ADC) viene misurata in bit. Essa è data da: 
dove R è la risoluzione e N e il numero dei bit.
Feedback
Concetto di Feedback: Il feedback viene utilizzato per garantire che il sistema di misura stia funzionando correttamente e per adattarsi a variazioni del segnale o dell'ambiente.
Scopo: Ottimizzare la qualità della misura regolando parametri come il guadagno dell'amplificatore o compensare variazioni nell'impedenza dell'interfaccia.
Basi di elettronica
Concetto di corrente elettrica
La corrente elettrica è il flusso ordinato di cariche elettriche attraverso un conduttore, essa è data da: 
dove Q è la carica e t il tempo.
Ci sono diversi tipi di corrente: - Corrente Continua (DC): Flusso costante di cariche in una direzione - Corrente Alternata (AC): Flusso di cariche che cambia direzione periodicamente
Legge di Ohm
La legge di Ohm descrive la relazione tra la tensione V, la corrente i e la resistenza R di un circuito elettrico: V = R*i Da qui possiamo ricavare anche la potenza dissipata:
Resistore
Un resistore è un componente elettrico passivo che limita il flusso di corrente in un circuito.
La resistenza è data da: 
Generatori di tensioni e corrente
Generatore di Tensione Ideale:
Definizione: Un generatore che mantiene una tensione costante ai suoi terminali, indipendentemente dal carico collegato.
Caratteristica: Resistenza interna nulla (
= 0 
), quindi non c'è caduta di tensione dovuta al carico.
Generatore di Corrente Ideale:
Definizione: Un generatore che mantiene una corrente costante attraverso il circuito, indipendentemente dal carico applicato.
Caratteristica: Resistenza interna infinita 
, il che significa che il generatore può sostenere qualsiasi tensione necessaria per mantenere la corrente costante.
Generatori reali
Generatore di Tensione Reale:
Descrizione: A differenza del generatore ideale, un generatore di tensione reale possiede una resistenza interna > 0
Effetto: La caduta di tensione aumenta con l'aumentare della corrente, quindi la tensione ai capi del carico diminuisce rispetto alla tensione nominale.
Generatore di Corrente Reale:
Descrizione: Un generatore di corrente reale ha una resistenza interna finita. 
Effetto: La corrente non è perfettamente costante; varia leggermente a seconda del valore del carico.
Resistenza equivalente
Definizione: La resistenza equivalente è la singola resistenza che può sostituire un gruppo di resistori, senza alterare il comportamento elettrico del circuito.
Viene utilizzata per semplificare il calcolo della corrente e della tensione nei circuiti complessi.
Resistenze in serie e in parallelo
Resistori in Serie: La corrente che scorre attraverso ciascun resistore è la stessa. La resistenza totale aumenta, poiché le resistenze si sommano. Quindi:
Resistori in Parallelo: La tensione ai capi di ciascun resistore è la stessa. La resistenza totale diminuisce, perché le resistenze "dividono" il carico.
Per due resistenze abbiamo che:
Leggi di Kirchhoff
Legge dei nodi: La somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo:
Legge delle maglie
Definizione: La somma algebrica delle tensioni in una maglia chiusa è zero.
In ciascuna maglia: 
Le maglie di un circuito sono tutti i possibili percorsi chiusi che si possono individuare al suo interno.
Il segno delle tensioni è considerato positivo se è concordante con il verso di riferimento scelto per la rispettiva maglia; viceversa, è considerato negativo se opposto al riferimento.
Teorema di Thevenin
Il Teorema di Thévenin afferma che qualsiasi circuito lineare con resistenze e sorgenti di tensione o corrente può essere ridotto a un circuito equivalente costituito da un generatore di tensione (
) in serie con una resistenza equivalente (
).
Passaggi per Trovare l'Equivalente di Thévenin:
Calcolo di
: La tensione di Thévenin è la tensione ai capi del carico quando esso è scollegato.Calcolo di
: La resistenza equivalente si calcola disattivando tutte le sorgenti (sostituendo le sorgenti di tensione con cortocircuiti e quelle di corrente con circuiti aperti) e misurando la resistenza vista dai terminali del carico.
Teorema di Norton
Il Teorema di Norton afferma che qualsiasi circuito lineare con resistenze e sorgenti di tensione o corrente può essere ridotto a un circuito equivalente costituito da un generatore di corrente (
) in parallelo con una resistenza equivalente (
).
Passaggi per Trovare l'Equivalente di Norton:
Calcolo di
: La corrente di Norton è la corrente che attraverserebbe il carico se esso fosse cortocircuitato.Calcolo di
: La resistenza di Norton è la stessa resistenza di Thévenin, calcolata disattivando tutte le sorgenti (sostituendo le sorgenti di tensione con cortocircuiti e quelle di corrente con circuiti aperti) e misurando la resistenza vista dai terminali del carico.
Principio di sovrapposizione degli effetti
In un circuito lineare con più sorgenti (tensione o corrente), il principio di sovrapposizione afferma che la risposta complessiva (tensione o corrente) è la somma delle risposte individuali causate da ciascuna sorgente, considerata separatamente.
Passaggi per Applicare il Principio:
Disattiva tutte le altre sorgenti, lasciando attiva solo una sorgente alla volta:
Sorgenti di tensione → sostituite con cortocircuiti.
Sorgenti di corrente → sostituite con circuiti aperti.
Calcola la risposta del circuito per ogni sorgente attiva.
Somma tutte le risposte parziali per ottenere la risposta totale del circuito.
Applicazione Pratica: Utilizzato per semplificare l'analisi dei circuiti complessi, specialmente con molteplici sorgenti.
Teorema di Millman
Il teorema di Millman permette di calcolare la tensione ai capi di un insieme di rami paralleli contenenti generatori di tensione e resistenze. Questo teorema semplifica l'analisi di circuiti con sorgenti multiple in parallelo.
Formula del teorema di Millman
Dove:
è la tensione equivalente ai capi dei rami paralleli.
è la tensione di ciascun generatore.
è la resistenza associata a ciascun generatore.
Applicazione Pratica: Utile per risolvere rapidamente circuiti con più generatori di tensione in parallelo e resistenze, ad esempio per calcolare la tensione risultante di un insieme di batterie collegate in parallelo.
Condensatori
Un condensatore è un componente elettrico che immagazzina energia sotto forma di campo elettrico. Unità di Misura: Farad (F).
Struttura e Funzionamento: Costituito da due piastre conduttive separate da un dielettrico (materiale isolante).
Caratteristiche:
Nei circuiti DC (corrente continua), il condensatore si carica fino a bloccare il passaggio della corrente.
Nei circuiti AC (corrente alternata), il condensatore permette il passaggio della corrente alternata, agendo come un filtro.
Induttori
Un induttore è un componente elettrico che immagazzina energia sotto forma di campo magnetico quando è attraversato da corrente elettrica. Unità di Misura: L'induttanza si misura in Henry (H).
Caratteristiche Principali:
Opposizione al Cambiamento di Corrente: Un induttore resiste alle variazioni improvvise di corrente, generando una tensione che si oppone al cambiamento.
Campo Magnetico: L'energia immagazzinata è proporzionale al quadrato della corrente che attraversa l'induttore.
Legge di Faraday per gli Induttori:
La tensione indotta (V) è proporzionale alla variazione della corrente nel tempo:
Comportamento nei Circuiti AC:
Gli induttori oppongono resistenza alla corrente alternata (AC).
Impedenza
L'impedenza (Z) è una grandezza che descrive l'opposizione totale che un circuito o componente presenta al passaggio della corrente alternata (AC). Unità di Misura: Ohm ().
Composizione dell'Impedenza:
L'impedenza combina resistenza (R), reattanza capacitiva (
), e reattanza induttiva (
).Formula Generale: Z = R + jX
dove:
R: Resistenza (opposizione costante al flusso di corrente, indipendente dalla frequenza).
X: Reattanza (può essere capacitiva o induttiva, varia con la frequenza).
Tipi di Reattanza:
Reattanza Capacitiva (
): In un condensatore, oppone resistenza al cambiamento di tensione;
Reattanza Induttiva (
): In un induttore, oppone resistenza al cambiamento di corrente; 
Dove è la frequenza angolare ( ).
Trasformata di Laplace
È Uno strumento matematico che trasforma un segnale o una funzione dal dominio del tempo (t) al dominio complesso (s), semplificando l'analisi di circuiti e sistemi dinamici.
Dove f(t) è la funzione nel dominio del tempo e F(c) è la sua trasformata nel dominio di Laplace.
Vantaggi nell'Analisi dei Circuiti:
Facilita il calcolo della risposta dei circuiti lineari, riducendo equazioni differenziali a equazioni algebriche.
Consente di trattare condensatori, induttori e resistenze in modo simile ai resistori, grazie all'uso delle impedenze nel dominio di Laplace.
Impedenze nel Dominio di Laplace:
Nel dominio di Laplace, le impedenze dei componenti passivi vengono rappresentate come segue:
Resistore (R):
= RCondensatore (C):
Induttore (L):
= sL
Dove s è la variabile complessa di Laplace, e rappresenta 
Funzioni note
Laplace e impedenze
Applicazione Pratica:
La trasformata di Laplace permette di rappresentare i circuiti tempo-varianti come circuiti statici nel dominio s.
Utilizzata per determinare la risposta del circuito a ingressi come gradini (step) o impulsi (impulse), facilitando l'analisi dei comportamenti transitori.
Il calcolo delle impedenze equivalenti (in serie e in parallelo) è uguale al calcolo delle resistenze equivalenti.
Capacità equivalente
Capacità in Serie e in Parallelo
La capacità equivalente dipende dalla configurazione dei condensatori.
Capacità in Serie
Per condensatori in serie, la capacità equivalente 
si calcola come:
Per due condensatori in serie:
Capacità in Parallelo
Per condensatori in parallelo, la capacità equivalente è la somma delle singole capacità:
Per due condensatori in parallelo:
Impedenza di un Condensatore
L’impedenza di un condensatore è data da:
dove:
è l’unità immaginaria (
),- è la pulsazione,
è la capacità del condensatore.
Impedenza in Serie
Quando i condensatori sono in serie, le loro impedenze si sommano:
Poiché 
, per due condensatori in serie:
Quindi, usando la formula della capacità in serie:
dove è la capacità equivalente in serie.
Impedenza in Parallelo
Quando i condensatori sono in parallelo, le impedenze si combinano come resistenze in parallelo:
Poiché , allora:
Quindi:
dove è la capacità equivalente in parallelo.
In sintesi
Configurazione | Formula della capacità equivalente | Formula dell’impedenza equivalente |
Serie |
|
|
Parallelo |
|
|
Elettrodo
Un elettrodo è un conduttore che stabilisce un contatto elettrico tra una parte metallica e una parte non metallica di un circuito.
Può essere un conduttore di prima specie o di seconda specie (metallo ricoperto dal suo sale poco solubile).
Il ruolo dell’elettrodo in una soluzione elettrochimica, un elettrodo può funzionare come anodo o catodo:
Anodo (+): Elettrodo dove avviene l'ossidazione (perdita elettrone).
Catodo (-): Elettrodo dove avviene la riduzione (guadagno di un elettrone).
Principi di elettrochimica
Definizione di Elettrolita = sostanza che in soluzione si dissocia in ioni, permettendo la conduzione di corrente elettrica.
Conduzione Ionica:
Negli elettroliti, la corrente è trasportata dagli ioni, non dagli elettroni (come nei metalli).
Un elettrolita agisce come conduttore ionico grazie agli ioni che trasportano cariche.
Bio-potenziali e Conduzione Ionica:
Nei sistemi biologici, i potenziali bioelettrici derivano dall’attività elettrochimica delle cellule eccitabili.
Il trasporto di corrente è influenzato da densità, tipo, carica e mobilità degli ioni presenti.
Differenza di Potenziale (
): L’elettrificazione all’interfaccia crea un campo elettrico elevato (
V/m)
Interfaccia tra Conduttori Elettrici: più pronunciata se le due fasi sono conduttori.
Tipi di Conduttori:
Conduttori Elettronici (I specie): Cariche mobili = elettroni
Conduttori Ionici (II specie): Cariche mobili = ioni positivi e negativi
Interfaccia Conduttore Elettronico-Ionico: Definita come elettrodo, fondamentale in elettrochimica.
Definizione di Interfaccia: è la superficie di separazione tra due fasi diverse
Diversità tra le Fasi: Differenze di stato fisico o composizione chimica che creano una discontinuità nelle proprietà fisiche e chimiche.
Proprietà Elettriche all'Interfaccia:
La presenza di particelle cariche (ioni, elettroni) e proprietà come polarizzabilità o momenti dipolari induce una separazione di carica.
Si genera un eccesso di cariche di segno opposto sui due lati dell’interfaccia.
Tipi di elettrodi
Metal Electrode: Elettrodi in acciaio inossidabile o titanio, usati in applicazioni dove non è necessario il gel
Polymer Electrode: Elettrodi flessibili come adatti a superfici irregolari.
Textile Electrode: Tessuti conduttivi, come quelli incorporati in indumenti per monitoraggio continuo ECG/EMG.
Capacitive Electrodes: Non richiedono contatto diretto con la pelle
Elettrodi superficiali
Vantaggi: non invasivi, facili da posizionare.
Svantaggi: sensibili ai movimenti, possibili artefatti.
Elettrodi ad ago
Elettrodi ad ago: utilizzati per la misurazione EMG, invasivi ma ad alta precisione.
Vantaggi: precisione nella localizzazione del segnale.
Svantaggi: invasività elevata, utilizzati principalmente in ambito di ricerca o per misurazioni speciali.
Microelettrodi
I microelettrodi sono elettrodi di dimensioni molto ridotte, progettati per registrare attività elettrica intracellulare o da piccole popolazioni di cellule.
Caratteristiche: Dimensioni estremamente ridotte, che consentono di penetrare singole cellule.
Vantaggi: Alta precisione, capacità di rilevare segnali intracellulari.
Svantaggi: Invasivi, difficili da maneggiare e richiedono tecniche specialistiche.
Macroelettrodi
I macroelettrodi vengono posizionati sulla superficie del corpo per registrare segnali bioelettrici, mantenendo l'integrità della pelle. Sono utilizzati sia per applicazioni a breve che a lungo termine.
Tipologie di Macroelettrodi:
Elettrodi ad Interfaccia Metallo-Elettrolita (contatto diretto): Richiedono l'uso di gel o pasta conduttiva per stabilizzare 'interfaccia e migliorare il contatto elettrico con la pelle.
Elettrodi ad Accoppiamento Capacitivo (senza contatto diretto): Non necessitano di gel e non prevedono il passaggio di corrente e funzionano grazie all'accoppiamento capacitivo tra la superficie della pelle e il piano conduttivo dell’elettrodo.
Introduzione all’impedenza di contatto
L'impedenza di contatto rappresenta la resistenza che si incontra all'interfaccia tra l'elettrodo e il tessuto biologico.
È determinata dalla combinazione di resistenze e capacità presenti nella pelle e nell'interfaccia elettrodo-tessuto.
Importanza dell'Impedenza: Influisce significativamente sulla qualità del segnale misurato. Un'alta impedenza può introdurre rumore e distorsioni.
Variabilità dell'Impedenza: Dipende da fattori come la preparazione della pelle, il tipo di elettrodo utilizzato e la presenza di gel conduttivi.
Impedenza nell’elettrodo
L'impedenza dell'elettrodo rappresenta il rapporto tra la caduta di tensione tra metallo e la soluzione elettrolitica e la corrente corrispondente che attraversa l'elettrodo.
La caduta di tensione dipende dalla sovratensione (
), ovvero la differenza tra il potenziale applicato E e il potenziale di equilibrio 
dell'elettrodo.
Dove, per equilibrio elettrochimico si intende la situazione in cui si ha una tensione tra elettrodo e soluzione senza avere un passaggio di corrente all’elettrodo.
L'impedenza è fondamentale per comprendere la qualità del segnale misurato e gli effetti della configurazione elettrodo/soluzione.
Doppio strato e sovratensione
Doppio Strato Elettrico (Doppio Strato di Helmholtz)
Descrizione: Il doppio strato elettrico si forma all'interfaccia tra un elettrodo e una soluzione elettrolitica. È composto da:
Strato di Cariche sull’Elettrodo: Cariche accumulate sulla superficie dell'elettrodo.
Strato di Ioni nella Soluzione: Ioni di carica opposta presenti vicino alla superficie dell’elettrodo.
Funzione: Questo doppio strato si comporta come un capacitore a livello molecolare, influenzando il trasferimento di elettroni e il comportamento elettrochimico all’interfaccia.
Sovratensione (Overpotential)
Definizione: La sovratensione è la differenza di potenziale necessaria per guidare una reazione elettrochimica oltre il potenziale di equilibrio. Rappresenta l'energia extra richiesta per superare le barriere cinetiche e di trasporto.
Sovratensione elettrochimica
La sovratensione elettrochimica è una differenza di potenziale aggiuntiva che si sviluppa all'interfaccia tra un elettrodo e una soluzione, influenzando l'efficienza delle reazioni elettrochimiche.
Contributi Principali alla sovratensione:
Trasferimento Elettronico (
):Causato da reazioni redox all’interfaccia elettrodo-soluzione.
Contribuisce alla sovratensione necessaria per il trasferimento di elettroni.
Reazioni Precedenti (
):Dovuto a reazioni chimiche che precedono le reazioni redox.
Accade all'interfaccia e può influenzare le condizioni della reazione elettrochimica.
Trasporto di Materia (
):Derivato dal movimento dei reagenti verso l’interfaccia tramite gradienti di concentrazione (diffusione) o movimento di massa (convezione).
Importante per mantenere un flusso continuo di reagenti verso l’elettrodo.
Trasporto di Carica (
):Generato da gradienti di campo elettrico (migrazione degli ioni).
Favorisce lo spostamento degli ioni carichi verso l’elettrodo.
Trasferimento elettronico e potenziale di equilibrio
Potenziale di Equilibrio (
):
Definito dalla legge di Nernst come differenza di potenziale tra metallo e soluzione.
Misurabile solo rispetto a un elettrodo di riferimento (standard come l'elettrodo a idrogeno a 1 atm e 298 K, con concentrazioni 1M).
Potenziale Standard di Riduzione (
): convenzionalmente fissato a zero per l’elettrodo a idrogeno in condizioni standard.
Corrente Anodica (ossidazione):
La specie ridotta cede elettroni, diventando specie ossidata.
Flusso di corrente uscente dall’elettrodo (convenzionalmente positiva).
Corrente Catodica (riduzione): - La specie ossidata acquisisce elettroni, diventando specie ridotta. - Flusso di corrente entrante nell’elettrodo (convenzionalmente negativa).
Equilibrio Termodinamico:
La corrente totale è nulla.
La legge di Nernst descrive il potenziale elettrochimico all’equilibrio, in assenza di corrente netta.
Legge di Nernst
Corrente dovuta al trasferimento elettronico
Nel caso in cui la sovratensione per trasferimento elettronico sia il fattore dominante, la corrente è legata alla tensione secondo l’equazione
I: Corrente netta attraverso l’elettrodo.
: Densità di corrente di scambio, una costante che rappresenta la velocità intrinseca della reazione a una sovratensione nulla (cioè, quando non c’è differenza di potenziale all’equilibrio = 0).Termine esponenziale per il processo anodico (relativa all’ossidazione):
Termine esponenziale per il processo catodico (relativa alla riduzione):
: coefficiente di trasferimento di carica, che rappresenta la frazione di energia di attivazione che influenza il processo anodico.n: numero di elettroni trasferiti nella reazione.
F: Costante di Faraday, che rappresenta la carica di un mole di elettroni.
- : Sovratensione, ovvero la differenza tra il potenziale attuale e il potenziale di equilibrio.
R: Costante dei gas.
T: Temperatura assoluta in Kelvin.
L’equazione Butler-Volmer combina i contributi delle reazioni anodiche e catodiche (ossidazione e riduzione) all’interfaccia elettrodo-soluzione. Essa descrive come la corrente totale I varia con la sovratensione .
A elevati, uno dei termini esponenziali diventa dominante: il termine anodico per sovratensione positiva e il termine catodico per sovratensione negativa.
I vantaggi della trattazione di Butler-Volmer sono :
In condizioni di equilibrio si ricava l’equazione di Nernst
Per grandi
si ottiene la legge di Tafel
Legge di Tafel
La reazione è dominata da uno solo dei processi (ossidazione o riduzione).
Circuito Equivalente per il Trasferimento Elettronico
Capacità del Doppio Strato (Cdl):
rappresenta la capacità del doppio strato all'interfaccia elettrodo-soluzione.
Simula l’accumulo di cariche opposte tra elettrodo e soluzione.
La sua impedenza è maggiore alle basse frequenze e minore alle alte frequenze.
Resistenza di Trasferimento di Carica (Rt):
Rappresenta la resistenza al trasferimento di carica per le reazioni redox all’interfaccia.
Un valore elevato indica una reazione lenta, mentre un valore basso indica una reazione rapida.
Comportamento del Circuito:
Alta Frequenza: Predomina la capacità (Cdl).
Bassa Frequenza: Predomina la resistenza (Rt), che riflette la cinetica di trasferimento di carica.
Impedenza equivalente per il trasferimento elettronico
Il sistema si comporta in modo lineare, in prossimità dell’equilibrio, Rt è inversamente proporzionale alla densità di corrente di scambio .
Per correnti più alte (condizione lontane dall’equilibrio)
Il sistema diventa non lineare poiché la resistenza diminuisce all'aumentare della corrente I.
Sovrapotenziale per trasporto di materia
La sovratensione per trasporto di massa si verifica a causa dei gradienti di concentrazione delle specie ioniche vicino all'elettrodo, dove la concentrazione all'elettrodo è diversa da quella nel bulk:
Anodo: concentrazione più alta.
Catodo: concentrazione più bassa.
Se la diffusione è il processo limitante (trasferimento elettronico molto rapido), la sovratensione sarà interamente dovuta alla diffusione e viene indicato come sovratensione di diffusione .
Variazione della Concentrazione:
La concentrazione ionica all'interfaccia dell'elettrodo:
Varia da un valore all’equilibrio fino a quasi zero al massimo della corrente.
La corrente massima
corrisponde alla massima velocità di arrivo degli ioni dalla soluzione (bulk) all'elettrodo.
Legge della diffusione di Fick
dove:
- = corrente limite (massima densità di corrente)
J = densità di corrente attuale
R = costante dei gas
T = temperatura
n = numero di elettroni trasferiti
F = costante di Faraday
Effetto della diffusione sull’impedenza dell’elettrodo
Quando la sovratensione è controllata dalla diffusione degli ioni della soluzione, possiamo ricavare l’impedenza direttamente dalle leggi di Fick.
In condizioni vicine all’equilibrio, dove I sarà trascurabile rispetto a 
, avremo:
Per condizioni lontane dall’equilibrio vale:
Impedenza dell’elettrodo
Trasferimento Elettronico:
La regione centrale (parte lineare attorno allo zero), la corrente cresce rapidamente con l’aumento della sovratensione. Questo comportamento indica che il trasferimento elettronico è predominante in questa regione.
Diffusione e Limite di Corrente:
A valori più elevati della sovratensione (positivi e negativi), la corrente tende a saturare verso un limite, indicato come
.Questo fenomeno è causato dal limite di diffusione: oltre un certo punto, l’afflusso di specie reagenti verso l’elettrodo non può più aumentare, portando a una corrente limite.
Interpretazione della Curva:
La curva sigmoide (linea blu) mostra la saturazione della corrente quando la sovratensione è elevata. Questa saturazione indica il raggiungimento del limite di diffusione, dove la velocità della reazione è limitata dalla disponibilità delle specie reagenti.
La curva tratteggiata rossa corrispondono al contributo anodico (in alto) e catodico (in basso) della corrente di scambio
che rappresenta la velocità con cui le reazioni di riduzione e ossidazione avvengono in condizioni di equilibrio.
Impedenza elettrodo: Modello Warburg
Impedenza di Warburg: Modella l'impedenza causata dalla diffusione delle specie ioniche all'interfaccia elettrodo-elettrolita quando si applica un potenziale sinusoidale all’interfaccia. In questo caso si genera un’onda di concentrazione che si propaga in soluzione.
Effetto Smorzamento: L'ampiezza dell'onda diminuisce con la distanza dall'interfaccia, e a frequenze elevate l’onda penetra meno, creando un gradiente di concentrazione maggiore all'interfaccia e abbassando l’impedenza.
Condizioni per la Teoria di Warburg
Valida vicino all'equilibrio (correnti basse).
Applicabile solo a una singola specie ionica.
Profondità di penetrazione dell'onda di concentrazione trascurabile rispetto allo strato di diffusione.
Dipendenza dalla Frequenza:
dipendono da 
L’impedenza decresce con
all’aumentare della frequenza, confermando una maggiore corrente a frequenze alte.
Impedenza complessiva di un bioelettrodo
Componenti Principali:
Cdl (Capacità del Doppio Strato):
Rappresenta l'accumulo di cariche all'interfaccia elettrodo-soluzione.
Predomina alle alte frequenze.
Rt (Resistenza di Trasferimento di Carica):
Modella la resistenza dovuta al trasferimento di elettroni nelle reazioni redox.
Indicativa della velocità della reazione elettrochimica.
Rd e Cd (Impedenza di Diffusione - Warburg):
Simulano la limitazione dovuta alla diffusione delle specie chimiche.
Rilevanti solo a basse frequenze.
(Resistenza della Soluzione):Rappresenta la resistenza ohmica del liquido elettrolitico.
Funzionamento Generale:
Alta Frequenza: Capacità Cdl e resistenza Rt dominano, analizzando il trasferimento di carica.
Bassa Frequenza: Impedenza di diffusione (Rd, Cd) diventa predominante.
Elettrodo Ag/AgCl
L’elettrodo Ag/AgCl (argento/cloruro di argento) è un elettrodo di riferimento ampiamente utilizzato in elettrochimica e in applicazioni biomediche, come nei sistemi di misurazione del pH o negli elettrodi per elettrocardiogramma (ECG). È noto per la sua stabilità, riproducibilità e basso potenziale di giunzione.
Struttura e Funzionamento
L’elettrodo Ag/AgCl è costituito da: 1. Un filo o disco d’argento (Ag): che funge da conduttore elettronico. 2. Uno strato di cloruro di argento (AgCl): depositato sulla superficie dell’argento, ottenuto tramite elettrolisi o ossidazione chimica. 3. Una soluzione elettrolitica: tipicamente una soluzione di KCl (cloruro di potassio), che garantisce un contatto ionico con il sistema da misurare.
La reazione elettrochimica che avviene all’elettrodo è:
Questa reazione è reversibile e stabilisce un potenziale di equilibrio ben definito, che dipende dalla concentrazione degli ioni cloruro (
) nella soluzione.
Caratteristiche Principali
Potenziale di riferimento stabile: Il potenziale dell’elettrodo Ag/AgCl è ben definito e dipende dalla concentrazione di
nella soluzione. Ad esempio, in una soluzione satura di KCl, il potenziale è circa +0.197 V rispetto all’elettrodo standard a idrogeno (SHE) a 25°C.Basso rumore: È ideale per applicazioni in cui è richiesta una misurazione precisa, come nei biosensori.
Robustezza: È meno sensibile alle variazioni di temperatura rispetto ad altri elettrodi di riferimento, come l’elettrodo a calomelano (
).Compatibilità biologica: È sicuro per l’uso in applicazioni biomediche, come negli elettrodi per ECG.
Impedenza equivalente di un elettrodo Ag/AgCl
L’impedenza equivalente di un elettrodo Ag/AgCl varia con la frequenza del segnale a causa delle proprietà elettrochimiche del sistema. In particolare: - A basse frequenze, l’impedenza è dominata dalla resistenza di trasferimento di carica (
) e dalla resistenza dell’elettrolita (
), oltre all’effetto di diffusione ionica (impedenza di Warburg). - A alte frequenze, l’impedenza è dominata dalla reattanza capacitiva (
) della doppia strato elettrico (
). Poiché la reattanza capacitiva diminuisce all’aumentare della frequenza, l’impedenza totale diminuisce.
Elettrodi polarizzanti e non polarizzanti
Elettrodi Polarizzati
Descrizione: Un elettrodo polarizzato è un elettrodo in cui la corrente che scorre è molto sensibile al sovrapotenziale applicato.
Caratteristiche:
Non consente facilmente il passaggio di corrente per piccoli cambiamenti di potenziale.
Si comporta come un capacitore, accumulando carica senza permettere reazioni elettrochimiche significative.
Esempio: Elettrodi inerti come il platino immerso in soluzioni elettrolitiche.
Elettrodi Non Polarizzati
Descrizione: Un elettrodo non polarizzato consente una circolazione di corrente quasi senza resistenza al cambiamento di potenziale.
Caratteristiche:
La corrente è proporzionale al sovrapotenziale, mostrando un comportamento simile a quello di un conduttore ideale.
Permette il trasferimento di carica senza accumulo significativo di sovrapotenziale.
Esempio: Elettrodi di riferimento come l'elettrodo di cloruro d'argento (Ag/AgCl).
R → 0
Risposta degli elettrodi a forme d’onda complesse
Impulso di Corrente:
Salto di Tensione Iniziale:
Sul fronte in salita e in discesa dell'impulso di corrente, icondensatori possono essere considerati come cortocircuitati.
Questo genera un salto istantaneo di tensione pari
, dovuto alla resistenza della soluzione.Pendenza Iniziale della Curva:
Subito dopo il fronte, quando la corrente nell’impedenza di Warburg è ancora trascurabile, la pendenza iniziale della curva è determinata da
.Crescita della Tensione:
La tensione continua a crescere ma con un andamento diverso da un'esponenziale, a causa della dipendenza dalla frequenza dell’impedenza di Warburg.
Impulso di Tensione:
Salto di Corrente Iniziale:
In corrispondenza dei fronti in salita e in discesa dell'impulso di tensione, si ha una variazione istantanea di corrente pari a
, poiché i condensatori si comportano come cortocircuiti inizialmente.Decadimento della Corrente:
Dopo il salto iniziale, la corrente decresce gradualmente verso zero a causa della carica dei condensatori presenti in serie al segnale.
Questo decadimento della corrente non è esponenziale, ma riflette le caratteristiche dell’impedenza complessiva del sistema (in particolare, l’effetto della doppia strato e dell’impedenza di Warburg).
Elettrodi bagnati vs elettrodi asciutti
Wet (Umidi):
Descrizione: Richiedono l'uso di un gel conduttivo per migliorare il contatto con la pelle e ridurre l'impedenza di contatto.
Vantaggi: Minore impedenza, segnale più stabile e meno soggetto a rumore.
Svantaggi: Possono provocare irritazioni cutanee a lungo termine, il gel può seccarsi, richiedendo riapplicazioni.
Applicazioni: Spesso usati in ambito clinico per ECG, EEG e EMG, dove la qualità del segnale è cruciale.
Dry (Asciutti):
Descrizione: Non richiedono l'uso di gel conduttivo e sono direttamente posti sulla pelle.
Vantaggi: Facili da applicare, non c'è bisogno di gel, meno fastidio per il paziente, ideali per utilizzo prolungato.
Svantaggi: Impedenza più elevata rispetto agli elettrodi wet, qualità del segnale può essere inferiore a causa del contatto non ottimale.
Applicazioni: Utilizzati principalmente in dispositivi portatili, wearable, monitoraggio a lungo termine o in contesti dove la convenienza è più importante della precisione.
Aspetti pratici: preparazione cute
Obiettivo: Ridurre l’impedenza di contatto elettrodo-pelle per migliorare la qualità del segnale.
Effetti della Preparazione della Cute
La preparazione della cute riduce significativamente l’impedenza, soprattutto alle frequenze basse.
Con elettrodi bagnati e preparazione della pelle, l’impedenza è inferiore rispetto a elettrodi asciutti o a pelle non preparata.
Metodi di Preparazione della Cute
Pulizia: Rimozione di oli e detriti con alcool o soluzioni specifiche.
Abrasione Leggera: Uso di carta vetrata fine o gel abrasivo per rimuovere lo strato di pelle morta, migliorando il contatto.
Idratazione: Applicazione di gel conduttivo per elettrodi bagnati, migliorando la conduzione ionica.
Elettrodi rigidi e morbidi
Elettrodi Rigidi:
Gli elettrodi rigidi non si adattano bene alla forma curva del corpo.
Questo crea lacune di contatto che possono portare a una resistenza di contatto più alta e segnali di qualità inferiore.
Elettrodi Flessibili:
Gli elettrodi flessibili si adattano facilmente alla superficie curva.
Consentono un contatto uniforme con la pelle, migliorando la qualità del segnale e riducendo la resistenza di contatto.
Vantaggi degli Elettrodi Flessibili
Conformabilità: Si adattano meglio alle superfici anatomiche complesse.
Qualità del segnale migliorata: Un contatto migliore riduce l'impedenza e le interferenze.
Applicazioni ottimali: Preferiti in dispositivi indossabili e per il monitoraggio a lungo termine.
Elettrodi floating
Descrizione dei Floating Electrodes
Floating Electrodes: Elettrodi che non sono direttamente a contatto con la pelle, ma si appoggiano tramite un substrato flessibile o una struttura isolante, minimizzando la pressione diretta sulla cute.
Struttura: Separati dalla pelle da un sottile strato di materiale isolante, riducendo il contatto rigido e diretto.
Vantaggi Principali
Riduzione del Rumore: Minore interferenza da movimenti e variazioni di pressione, migliorando la qualità del segnale.
Comfort Migliorato: Ideale per applicazioni prolungate, poiché esercitano una pressione minima sulla pelle.
Adattabilità: Perfetti per superfici irregolari del corpo, consentono un posizionamento flessibile su diverse aree anatomiche.
Meno Irritazione della Pelle: Minimo contatto diretto con la cute, riducendo il rischio di irritazioni e reazioni allergiche.
Elettrodi tattoo
Descrizione: Gli elettrodi tattoo sono dispositivi ultra sottili, simili a tatuaggi temporanei, che possono aderire alla pelle per rilevare segnali bioelettrici.
Vantaggi:
Confortevoli e discreti, ideali per applicazioni a lungo termine.
Non richiedono gel conduttivo, riducendo irritazioni e aumentando la praticità.
Applicazioni: Utilizzati per il monitoraggio continuo della salute, rilevazione di segnali ECG, EMG e altri biosensori indossabili.
Amplificatore Operazionale (Op-Amp)
L’amplificatore operazionale (op-amp) è un circuito integrato molto versatile utilizzato in elettronica analogica per l’amplificazione, il filtraggio, l’integrazione, la derivazione e altre operazioni matematiche sui segnali.
Struttura dell’Amplificatore Operazionale
Un amplificatore operazionale ha tipicamente: - Due ingressi: - Invertente (-) → Se il segnale in ingresso aumenta, l’uscita diminuisce. - Non invertente (+) → Se il segnale in ingresso aumenta, l’uscita aumenta. - Un’uscita 
. - Due terminali di alimentazione (
e 
o 
). - Nessun terminale di massa (è definita dal circuito esterno).
Ingressi Differenziale e di Modo Comune
Un amplificatore operazionale ha due ingressi, uno invertente (-) e uno non invertente (+). Il comportamento del circuito dipende da come i segnali sono applicati a questi ingressi:
Segnale differenziale (
): È la differenza tra i due ingressi:
Questo è il segnale utile che viene amplificato.
Segnale di modo comune (
): È la componente comune ai due ingressi:
Un amplificatore ideale dovrebbe rigettare completamente questa componente, ma negli amplificatori reali una piccola parte di essa viene comunque amplificata.
Guadagno Differenziale e di Modo Comune
Guadagno differenziale (
): Definisce quanto il segnale differenziale viene amplificato:
Per un amplificatore ideale, è molto grande (teoricamente infinito).
Guadagno di modo comune (
): Indica quanto il segnale di modo comune viene amplificato:
Un amplificatore ideale dovrebbe avere 
, ma nei dispositivi reali è piccolo ma non nullo.
CMRR (Common Mode Rejection Ratio)
Il CMRR (Common Mode Rejection Ratio) misura la capacità di un amplificatore di sopprimere i segnali di modo comune rispetto ai segnali differenziali:
Si esprime solitamente in dB:
Un CMRR elevato è desiderabile perché indica un’ottima capacità di rigettare interferenze e disturbi di modo comune (es. rumore elettrico presente su entrambi gli ingressi).
Retroazione in un Amplificatore
La retroazione (o feedback) in un amplificatore è il processo mediante il quale una parte del segnale di uscita viene riportata all’ingresso per influenzare il funzionamento del circuito.
A seconda della modalità con cui il segnale viene reintrodotto, la retroazione può essere:
Retroazione negativa (feedback negativo)
Retroazione positiva (feedback positivo)
Retroazione Negativa
Nella retroazione negativa, una frazione dell’uscita viene riportata all’ingresso con fase opposta rispetto al segnale di ingresso.
Effetti della Retroazione Negativa
Stabilizzazione/desensibilizzazione del guadagno → Riduce la dipendenza del guadagno dai parametri del componente.
Riduzione della distorsione → Migliora la linearità dell’amplificatore.
Aumento della larghezza di banda → L’amplificatore può operare su una gamma di frequenze più ampia.
Diminuzione dell’impedenza di uscita → Migliora la capacità di pilotare carichi.
Aumento dell’impedenza di ingresso → Riduce il carico sull’ingresso del sistema.
Linearizzazione di un Amplificatore con Retroazione
Contesto
Un amplificatore ideale ha una caratteristica di trasferimento lineare, ma in pratica, gli amplificatori reali possono presentare non linearità.
La retroazione negativa è una tecnica utilizzata per ridurre queste non linearità e migliorare le prestazioni dell’amplificatore.
Caratteristica di Trasferimento Non Lineare
Definizione
La caratteristica di trasferimento di un amplificatore non lineare può essere rappresentata come:
dove
è la tensione differenziale di ingresso (
).
Effetto della Retroazione
Con la retroazione negativa, la tensione di ingresso
è data da:
dove
è il fattore di retroazione.
Linearizzazione mediante Retroazione
Pendenza della Caratteristica di Trasferimento
La pendenza della caratteristica di trasferimento (guadagno differenziale) è data dalla derivata della funzione di trasferimento:
Con la retroazione, la pendenza diventa:
dove
è il guadagno ad anello aperto.
Effetto della Retroazione sulla Linearità
La retroazione negativa riduce la dipendenza del guadagno dalla tensione di ingresso, rendendo la caratteristica di trasferimento più lineare.
Questo migliora la linearità dell’amplificatore e riduce la distorsione.
Vantaggi della Linearizzazione
Migliore Linearità: La retroazione negativa riduce le non linearità, migliorando la fedeltà del segnale.
Riduzione della Distorsione: Le distorsioni armoniche e intermodulazione sono ridotte.
Stabilità: La retroazione migliora la stabilità del circuito, riducendo la sensibilità alle variazioni dei parametri del componente.
Riassunto
Concetto | Descrizione | Formula |
Caratteristica Non Lineare |
|
|
Pendenza della Caratteristica |
| Dipende dal guadagno |
Effetto della Retroazione | Migliora la linearità e riduce la distorsione |
|
Retroazione Positiva
Nella retroazione positiva, una frazione del segnale di uscita viene riportata all’ingresso con la stessa fase, aumentando l’ampiezza del segnale.
Effetti della Retroazione Positiva
Aumento del guadagno → L’amplificatore può arrivare rapidamente alla saturazione.
Possibilità di oscillazioni → Se il guadagno è abbastanza alto, il sistema può diventare instabile e generare un’uscita autonoma (oscillazioni).
Utilizzata nei circuiti di trigger e oscillatori → È il principio alla base dei comparatori, multivibratori e oscillatori a reazione.
Tipi di Retroazione Negativa
La retroazione negativa può essere classificata in base alla modalità con cui il segnale viene prelevato e reiniettato:
Tipo di retroazione | Segnale prelevato da | Segnale reiniettato a | Effetto principale |
Serie-Voltaggio | Uscita in tensione | Ingresso in tensione | Aumenta impedenza ingresso |
Serie-Corrente | Uscita in corrente | Ingresso in tensione | Aumenta impedenza ingresso |
Parallelo-Voltaggio | Uscita in tensione | Ingresso in corrente | Diminuisce impedenza uscita |
Parallelo-Corrente | Uscita in corrente | Ingresso in corrente | Diminuisce impedenza uscita |
Amplificatori Ideali
Un amplificatore ideale è un dispositivo ipotetico con caratteristiche perfette che servono come riferimento per il progetto e l’analisi degli amplificatori reali. Le proprietà di un amplificatore ideale sono:
Impedenza d’ingresso infinita → Non assorbe corrente dall’ingresso.
Impedenza d’uscita nulla → Può fornire corrente senza caduta di tensione interna.
Guadagno infinito → Può amplificare anche segnali infinitesimi.
Banda passante infinita → Nessuna limitazione in frequenza.
Reiezione perfetta del modo comune → Nessun segnale comune ai due ingressi viene amplificato.
In pratica, i dispositivi reali si avvicinano a queste caratteristiche, ma presentano sempre limiti dovuti ai componenti fisici.
Caratteristiche Ingresso-Uscita
Le curve ingresso-uscita di un amplificatore operazionale reale mostrano i seguenti comportamenti:
Regione lineare: Per tensioni d’ingresso moderate, l’uscita è proporzionale all’ingresso differenziale secondo il guadagno
.Saturazione: Se l’uscita raggiunge i limiti dell’alimentazione (
e ), si stabilizza su questi valori.Regione di cutoff: Se l’amplificatore non è alimentato correttamente o è polarizzato male, l’uscita può restare bloccata a un livello fisso.
Nell’amplificatore ideale, si assume che:
La regione lineare sia infinita.
Il guadagno sia infinito.
Non ci siano limiti di alimentazione.
Cortocircuito Virtuale
Nel caso di un amplificatore operazionale ideale in configurazione a retroazione negativa, si verifica il cortocircuito virtuale:
Poiché il guadagno
è infinito, per ottenere un’uscita finita è necessario che la tensione differenziale sia praticamente nulla:
Questo significa che i due ingressi si trovano a potenziale quasi uguale, anche se non sono fisicamente connessi (da qui il termine “virtuale”).
Questa proprietà è alla base del funzionamento di molte configurazioni di amplificatori operazionali, come l’amplificatore invertente e non invertente.
Quando un amplificatore operazionale è utilizzato con retroazione negativa, possiamo applicare due regole fondamentali:
Cortocircuito Virtuale
Se l’operazionale ha un guadagno infinito e c’è retroazione negativa, la tensione differenziale tra gli ingressi è praticamente nulla:
Corrente Nulla agli Ingressi
Grazie alla impedenza di ingresso infinita, la corrente in entrambi gli ingressi è nulla:
Queste regole semplificano l’analisi dei circuiti basati su operazionali.
Gli amplificatori operazionali (op-amp) sono componenti fondamentali nell’elettronica analogica, utilizzati per una vasta gamma di applicazioni, tra cui amplificazione, filtraggio, somma di segnali e molto altro. Le configurazioni più comuni degli amplificatori operazionali sono:
Amplificatore Invertente
Amplificatore Non Invertente
Amplificatore Differenziale
Amplificatore Invertente
Configurazione Circuitale
L’ingresso del segnale (
) è collegato all’ingresso invertente (
) dell’op-amp attraverso un resistore 
.Un resistore
è collegato tra l’uscita () e l’ingresso invertente.L’ingresso non invertente (
) è collegato a massa.
Funzione di Trasferimento
La funzione di trasferimento è data da:
Dove: - 
è il guadagno dell’amplificatore. - Il segno negativo indica che l’uscita è invertita rispetto all’ingresso.
Resistenza di Ingresso
La resistenza di ingresso (
) è determinata dal resistore , che è collegato tra l’ingresso del segnale e l’ingresso invertente dell’op-amp.La resistenza di ingresso è quindi:
Poiché
è direttamente collegato all’ingresso, la resistenza di ingresso è relativamente bassa (tipicamente nell’ordine dei k).Questo può essere un problema se la sorgente del segnale ha un’impedenza di uscita alta, poiché potrebbe causare un carico eccessivo sulla sorgente.
Caratteristiche
Guadagno: Regolabile tramite
e .Impedenza di ingresso:
(non molto alta).Fase: Invertita (
).
Applicazioni
Amplificazione di segnali con inversione di fase.
Somma di segnali (sommatore invertente).
Amplificatore Non Invertente
Configurazione Circuitale
L’ingresso del segnale (
) è collegato all’ingresso non invertente () dell’op-amp.Un resistore
è collegato tra l’ingresso invertente () e massa.Un resistore
è collegato tra l’uscita () e l’ingresso invertente.
Funzione di Trasferimento
La funzione di trasferimento è data da:
Dove: - 
è il guadagno dell’amplificatore. - L’uscita è in fase con l’ingresso.
Resistenza di Ingresso
La resistenza di ingresso (
) è molto alta, poiché l’ingresso del segnale è collegato direttamente all’ingresso non invertente dell’op-amp, che ha un’impedenza di ingresso estremamente elevata (idealmente infinita).In pratica, la resistenza di ingresso è determinata dall’impedenza di ingresso dell’op-amp stesso, che può essere dell’ordine di M
o superiore.Questa configurazione è ideale per interfacciarsi con sorgenti ad alta impedenza, poiché non carica significativamente la sorgente.
Caratteristiche
Guadagno: Sempre maggiore o uguale a 1.
Impedenza di ingresso: Molto alta (ideale per interfacciare con sorgenti ad alta impedenza).
Fase: Non invertita (
).
Applicazioni
Amplificazione di segnali senza inversione di fase.
Buffer (inseguitore di tensione, quando
).
Amplificatore Differenziale
Configurazione Circuitale
Due ingressi:
è collegato all’ingresso non invertente () attraverso un resistore .
è collegato all’ingresso invertente () attraverso un resistore 
.Un resistore
è collegato tra l’uscita () e l’ingresso invertente.Un resistore
è collegato tra l’ingresso non invertente e massa.
Funzione di Trasferimento
La funzione di trasferimento è data da:
Se 
e 
, la formula si semplifica a:
Resistenze di Ingresso
L’amplificatore differenziale ha due resistenze di ingresso:
Resistenza di ingresso per
(ingresso non invertente):
Resistenza di ingresso per
(ingresso invertente):
Se
e , le resistenze di ingresso per e sono bilanciate.La resistenza di ingresso per
è generalmente più alta rispetto a quella per , a causa della presenza di .
Caratteristiche
Guadagno: Regolabile tramite
e .Reiezione di modo comune (CMRR): Elevata, grazie alla configurazione simmetrica.
Fase: Dipende dalla differenza tra
e .
Confronto tra le Configurazioni
Caratteristica | Invertente | Non Invertente | Differenziale |
Guadagno |
|
|
|
Impedenza di ingresso |
| Molto alta | Dipende da |
Fase | Invertita ( | Non invertita ( | Dipende dalla differenza |
Applicazioni | Amplificazione con inversione, somma | Amplificazione senza inversione | Amplificazione differenziale |
Riassunto
Amplificatore Invertente: Amplifica e inverte il segnale di ingresso.
Amplificatore Non Invertente: Amplifica il segnale di ingresso senza invertirlo.
Amplificatore Differenziale: Amplifica la differenza tra due segnali di ingresso.
Inseguitore di Tensione (Buffer)
Configurazione Circuitale
L’ingresso del segnale (
) è collegato direttamente all’ingresso non invertente () dell’op-amp.L’uscita (
) è collegata direttamente all’ingresso invertente (), creando una retroazione negativa al 100%.
Schema del Circuito
Funzionamento
L’inseguitore di tensione sfrutta il cortocircuito virtuale tra i due ingressi dell’op-amp:
La tensione all’ingresso invertente (
) è uguale alla tensione all’ingresso non invertente ().Quindi,
.
Guadagno di Tensione
- L’uscita è esattamente uguale all’ingresso, senza amplificazione.
Resistenza di Ingresso
- L’impedenza di ingresso è molto alta, idealmente infinita, grazie alla configurazione non invertente.
Resistenza di Uscita
- L’impedenza di uscita è molto bassa, idealmente zero, grazie alla retroazione negativa.
Applicazioni
Separatore (Buffer):
L’inseguitore di tensione è spesso utilizzato come buffer per isolare due stadi di un circuito.
Il primo stadio (blocco 1) vede un carico con impedenza molto alta, quindi non viene caricato.
Il secondo stadio (blocco 2) vede una sorgente con impedenza molto bassa, quindi riceve il segnale senza attenuazione.
Adattamento di Impedenza:
Utilizzato per adattare l’impedenza tra due stadi di un circuito, evitando perdite di segnale.
Isolamento:
Protegge il segnale di ingresso da carichi che potrebbero alterarlo.
Vantaggi
Alta impedenza di ingresso: Non carica la sorgente del segnale.
Bassa impedenza di uscita: Può pilotare carichi senza attenuazione.
Semplicità: Richiede solo un op-amp e nessun componente aggiuntivo.
Riassunto
L’inseguitore di tensione è un circuito con guadagno unitario (
).Ha un’impedenza di ingresso molto alta e un’impedenza di uscita molto bassa.
È utilizzato come buffer per isolare stadi di circuito, adattare impedenze e proteggere segnali.
Amplificatore Differenziale con 3 Operazionali
Configurazione
Questo circuito è composto da:
Due operazionali nel primo stadio (configurazione non invertente) per amplificare i segnali di ingresso.
Un operazionale nel secondo stadio (configurazione differenziale) per amplificare la differenza tra i segnali.
Funzionamento
Primo Stadio:
La tensione differenziale in ingresso (
) genera una corrente nella resistenza 
.Questa corrente circola anche nelle resistenze
, generando una tensione di uscita proporzionale alla differenza di ingresso.La tensione di uscita del primo stadio è:
Secondo Stadio:
Il secondo stadio è un amplificatore differenziale con guadagno:
La tensione di uscita finale è:
Reiezione di Modo Comune (CMRR)
Segnale di Modo Comune (
):Se viene applicato un segnale di modo comune, la tensione su
è nulla.Non circola corrente in
o , quindi il segnale di modo comune viene trasferito direttamente al secondo stadio.Il guadagno di modo comune è lo stesso del secondo stadio.
Segnale Differenziale:
Il segnale differenziale viene amplificato sia nel primo che nel secondo stadio.
Il guadagno differenziale totale è maggiore rispetto a un amplificatore differenziale a singolo operazionale.
CMRR Migliorato:
Il CMRR (rapporto di reiezione di modo comune) è maggiore rispetto a un amplificatore differenziale a singolo operazionale.
Vantaggi
Resistenza di Ingresso Molto Alta:
Idealmente infinita, grazie alla configurazione non invertente del primo stadio.
Guadagno Regolabile:
Il guadagno può essere modificato agendo sulla resistenza
.
Elevata Precisione:
Ideale per applicazioni di strumentazione, dove è richiesta alta precisione e basso rumore.
CMRR Migliorato:
Maggiore capacità di reiettare segnali di modo comune rispetto a un amplificatore differenziale a singolo operazionale.
Confronto con Amplificatore Differenziale a Singolo Operazionale
Caratteristica | Amplificatore a 3 Operazionali | Amplificatore a Singolo Operazionale |
Resistenza di Ingresso | Molto alta (idealmente infinita) | Dipende da |
Guadagno Differenziale | Maggiore | Minore |
CMRR | Maggiore | Minore |
Complessità Circuitale | Più complesso | Più semplice |
Applicazioni
Strumentazione: Misura di segnali deboli in presenza di rumore (ad esempio, sensori biomedicali, termocoppie, estensimetri).
Comunicazioni: Amplificazione di segnali differenziali in sistemi di trasmissione.
Controllo: Isolamento e amplificazione di segnali di feedback in sistemi di controllo.
Riassunto
L’amplificatore differenziale con 3 operazionali (amplificatore per strumentazione) offre:
Alta impedenza di ingresso.
Guadagno differenziale maggiore.
Migliore reiezione di modo comune (CMRR).
Guadagno regolabile agendo su una sola resistenza (
).
Segnali Bilanciati e Sbilanciati
Definizioni
Segnale Sbilanciato (Single-Ended):
È rappresentato dalla tensione di un nodo rispetto al nodo di massa.
Utilizza un solo conduttore per il segnale e uno per la massa.
Esempio: Cavi RCA, jack TS.
Segnale Bilanciato (Differenziale):
È rappresentato dalla tensione tra due nodi, nessuno dei quali è necessariamente collegato a massa.
Utilizza due conduttori per il segnale (uno positivo e uno negativo) e uno per la massa.
Esempio: Cavi XLR, jack TRS.
Vantaggi e Svantaggi
Segnali Sbilanciati:
Vantaggi: Circuiti più semplici e meno costosi.
Svantaggi: Maggiore suscettibilità ai disturbi e limitata distanza di trasmissione.
Segnali Bilanciati:
Vantaggi: Maggiore immunità ai disturbi, migliori prestazioni in termini di linearità, adatti per lunghe distanze.
Svantaggi: Circuiti più complessi e costosi.
Segnali Bilanciati e Sbilanciati in Presenza di Disturbi
Segnale Sbilanciato
In presenza di un disturbo, la tensione all’ingresso del blocco B è:
dove
è il disturbo.
Segnale Bilanciato
In presenza di un disturbo, la tensione all’ingresso del blocco B è:
Se
, il disturbo viene cancellato:
Conversioni tra Segnali Bilanciati e Sbilanciati
Da Bilanciato a Sbilanciato
Un amplificatore differenziale può convertire un segnale bilanciato in uno sbilanciato.
Esempio: Un op-amp in configurazione differenziale.
Da Sbilanciato a Bilanciato
La conversione può essere eseguita utilizzando amplificatori operazionali.
Esempio: Un circuito con due op-amp per generare segnali positivi e negativi.
Convertitori Corrente-Tensione
Amplificatore a Transresistenza
Converte una corrente in una tensione.
La tensione di uscita è:
La corrente di ingresso
non dipende dalla resistenza di sorgente 
grazie al cortocircuito virtuale.
Convertitori Tensione-Corrente
Amplificatore a Trasconduttanza
Converte una tensione in una corrente.
Il carico deve essere flottante (non collegato a massa).
La corrente di carico
è:
Convertitore con Carico Riferito a Massa
Se il carico ha un terminale a massa, si può utilizzare un circuito specifico.
La corrente di carico
può essere resa indipendente da 
con una scelta opportuna delle resistenze.
Riassunto
Segnali sbilanciati: Semplici, economici, ma suscettibili ai disturbi.
Segnali bilanciati: Complessi, costosi, ma immuni ai disturbi e adatti per lunghe distanze.
Conversioni: È possibile convertire tra segnali bilanciati e sbilanciati utilizzando amplificatori operazionali.
Convertitori: I convertitori corrente-tensione e tensione-corrente sono utili per adattare segnali tra diversi tipi di circuiti.
Amplificatori operazionali non ideali
Il comportamento degli amplificatori operazionali reali può discostarsi dal modello ideale per diversi motivi, come:
guadagno finito
saturazione
resistenza di ingresso finita
resistenza di uscita non nulla
massima corrente in uscita limitata
errori in continua (tensione di offset, correnti di polarizzazione)
Effetto del Guadagno ad Anello Aperto Finito
Amplificatore Non Invertente
Guadagno Ideale: In condizioni ideali (guadagno ad anello aperto
infinito), il guadagno di tensione 
è:
Guadagno Reale: Con un guadagno ad anello aperto
finito, il guadagno di tensione è:
Condizione per Guadagno Praticamente Infinito: Se
, il guadagno reale si approssima a quello ideale:
Errore Relativo: L’errore relativo commesso utilizzando il guadagno ideale è:
Amplificatore Invertente
Guadagno Ideale: In condizioni ideali, il guadagno di tensione
è:
Guadagno Reale: Con un guadagno ad anello aperto
finito, il guadagno di tensione è:
Condizione per Guadagno Praticamente Infinito: Se
, il guadagno reale si approssima a quello ideale:
Errore Relativo: L’errore relativo commesso utilizzando il guadagno ideale è:
Spiegazione dei Concetti
Guadagno ad Anello Aperto Finito
Il guadagno ad anello aperto
di un amplificatore operazionale non è infinito, ma ha un valore finito.Questo valore finito influisce sul guadagno complessivo del circuito, introducendo un errore rispetto al guadagno ideale.
Effetto sul Guadagno
Amplificatore Non Invertente: Il guadagno reale è leggermente inferiore a quello ideale a causa del guadagno finito.
Amplificatore Invertente: Anche in questo caso, il guadagno reale è leggermente inferiore a quello ideale.
Condizione per Approssimazione Ideale
Se il guadagno ad anello aperto
è molto maggiore di 
, l’errore introdotto è trascurabile e il guadagno reale si avvicina a quello ideale.
Errore Relativo
L’errore relativo è una misura di quanto il guadagno reale si discosta da quello ideale.
È inversamente proporzionale al guadagno ad anello aperto
: maggiore è , minore è l’errore.
Riassunto
Guadagno Ideale: Assume
infinito.Guadagno Reale: Tiene conto del valore finito di
.Condizione per Approssimazione Ideale:
.Errore Relativo: Misura la differenza tra guadagno reale e ideale.
Saturazione negli Amplificatori Operazionali
Comportamento Lineare e Saturazione
Comportamento Lineare: In condizioni ideali, un amplificatore operazionale (op-amp) ha un comportamento lineare, dove l’uscita
è proporzionale alla differenza di tensione tra i due ingressi ().Saturazione: Tuttavia, l’uscita non può superare un certo valore massimo, chiamato tensione di saturazione (
). Quando l’uscita raggiunge o 
, l’op-amp entra in saturazione e il comportamento non è più lineare.
Regioni di Funzionamento
1. Regione Lineare
Condizione:
Comportamento: L’op-amp funziona in modo lineare, e l’uscita è data da:
dove
è il guadagno ad anello aperto.Circuito Equivalente: L’op-amp è rappresentato come un generatore di tensione controllato da
.
2. Regione di Saturazione Positiva
Condizione:
e 
Comportamento: L’uscita è fissata al valore massimo positivo
.Circuito Equivalente: L’op-amp è rappresentato come un generatore di tensione costante
.
3. Regione di Saturazione Negativa
Condizione:
e 
Comportamento: L’uscita è fissata al valore massimo negativo
.Circuito Equivalente: L’op-amp è rappresentato come un generatore di tensione costante
.
Amplificatore Non Invertente e Regioni di Funzionamento
Regione Lineare
Uscita: L’uscita è data da:
Condizioni per la Regione Lineare:
Queste condizioni assicurano che l’uscita rimanga all’interno della regione lineare (
).
Regione di Saturazione Positiva
Condizione: Se
supera il limite superiore, l’uscita si satura a .
Regione di Saturazione Negativa
Condizione: Se
scende sotto il limite inferiore, l’uscita si satura a .
Riassunto delle Regioni di Funzionamento
Regione | Condizione | Uscita |
Lineare |
|
|
Saturazione Positiva |
|
|
Saturazione Negativa |
|
|
Implicazioni Pratiche
Progettazione: Quando si progetta un circuito con op-amp, è importante assicurarsi che l’uscita rimanga nella regione lineare per evitare distorsioni.
Limitazioni: La saturazione limita l’ampiezza del segnale di uscita, quindi è necessario considerare i valori di
nella scelta delle tensioni di alimentazione.
Amplificatore Non Invertente: Caratteristica Ingresso-Uscita
La caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore non invertente descrive come la tensione di uscita varia in funzione della tensione di ingresso . Questa caratteristica può essere divisa in tre regioni principali: regione lineare, saturazione positiva e saturazione negativa.
Regioni di Funzionamento
1. Regione Lineare
Condizione:
Comportamento: L’uscita è proporzionale all’ingresso, con un guadagno determinato dalle resistenze
e :
Limiti della Regione Lineare:
Queste condizioni assicurano che l’uscita rimanga all’interno della regione lineare.
2. Saturazione Positiva
Condizione:
Comportamento: Quando la tensione di ingresso
supera il limite superiore della regione lineare, l’uscita si satura al valore massimo positivo .Esempio: Se
e il guadagno è 11, l’uscita si satura a 15 V quando supera circa 1.36 V.
3. Saturazione Negativa
Condizione:
Comportamento: Quando la tensione di ingresso
scende sotto il limite inferiore della regione lineare, l’uscita si satura al valore massimo negativo .Esempio: Se
e il guadagno è 11, l’uscita si satura a -15 V quando scende sotto circa -1.36 V.
Grafico della Caratteristica Ingresso-Uscita
Il grafico della caratteristica ingresso-uscita mostra: - Una retta nella regione lineare, con pendenza pari al guadagno . - Due linee orizzontali nelle regioni di saturazione, a e .
Riassunto delle Regioni di Funzionamento
Regione | Condizione | Uscita |
Lineare |
|
|
Saturazione Positiva |
|
|
Saturazione Negativa |
|
|
Implicazioni Pratiche
Progettazione: È importante progettare il circuito in modo che l’uscita rimanga nella regione lineare per evitare distorsioni.
Limitazioni: La saturazione limita l’ampiezza del segnale di uscita, quindi è necessario considerare i valori di
nella scelta delle tensioni di alimentazione.
Amplificatore Invertente: Regioni di Funzionamento
Un amplificatore invertente è un circuito in cui il segnale di ingresso è applicato all’ingresso invertente () dell’op-amp, mentre l’ingresso non invertente () è collegato a massa. Il comportamento dell’amplificatore invertente può essere suddiviso in tre regioni di funzionamento, simili a quelle dell’amplificatore non invertente:
1. Regione Lineare
Condizione:
- L’uscita rimane all’interno dei limiti di saturazione ().
Comportamento:
L’op-amp funziona in modo lineare, e l’uscita è data da:
Dove:
- è la resistenza di ingresso.
- è la resistenza di retroazione.
Il segno negativo indica che l’uscita è invertita rispetto all’ingresso.
Condizioni per la Regione Lineare:
Per evitare la saturazione, il segnale di ingresso
deve rispettare i seguenti limiti:
2. Regione di Saturazione Positiva
Condizione:
- L’uscita raggiunge il valore massimo positivo .
Comportamento:
L’op-amp non è più in grado di amplificare linearmente, e l’uscita si blocca a
.Questo accade quando il segnale di ingresso
supera il limite superiore:
3. Regione di Saturazione Negativa
Condizione:
- L’uscita raggiunge il valore massimo negativo .
Comportamento:
L’op-amp non è più in grado di amplificare linearmente, e l’uscita si blocca a
.Questo accade quando il segnale di ingresso
scende sotto il limite inferiore:
Riassunto delle Regioni di Funzionamento
Regione | Condizione | Uscita |
Lineare |
|
|
Saturazione Positiva |
|
|
Saturazione Negativa |
|
|
Implicazioni Pratiche
Progettazione: Per evitare la saturazione, è necessario limitare l’ampiezza del segnale di ingresso
in base ai valori di , e .Distorsione: Se l’uscita entra in saturazione, il segnale di uscita sarà distorto e non più proporzionale all’ingresso.
Comparatori con Isteresi
Definizione
Un comparatore con isteresi (o trigger di Schmitt) è un circuito che utilizza due tensioni di soglia diverse per commutare l’uscita tra
e .L’isteresi introduce una “finestra” di tensione in cui il comparatore non cambia stato, migliorando l’immunità ai rumori.
Funzionamento
Soglia Positiva (
): Quando , l’uscita passa a se supera:
Soglia Negativa (
): Quando 
, l’uscita passa a se scende sotto:
Applicazioni
Debouncing: Eliminazione dei rimbalzi nei segnali digitali.
Immunità ai Rumori: Riduzione delle commutazioni indesiderate causate da rumori.
Resistenza di Ingresso negli Amplificatori Operazionali
Resistenza di Ingresso Differenziale (
)
Definizione: Resistenza misurata tra i due ingressi (invertente e non invertente).
Valore Tipico: Circa 1 M
.
Resistenza di Ingresso di Modo Comune (
)
Definizione: Resistenza misurata tra gli ingressi collegati insieme e la massa.
Valore Tipico: Circa 100 M
.
Implicazioni
Alta Impedenza di Ingresso: Gli op-amp ideali hanno impedenza di ingresso infinita, ma quelli reali hanno valori finiti che possono influenzare il comportamento del circuito.
Resistenza di Ingresso di un Amplificatore Non Invertente
Configurazione
L’impedenza di ingresso di un amplificatore non invertente è molto alta, idealmente infinita, grazie alla configurazione non invertente.
In pratica, è influenzata dalla resistenza di ingresso differenziale
e dalla retroazione.
Circuito Equivalente
Il circuito può essere ridisegnato per tenere conto delle resistenze di ingresso finite.
Resistenza di Uscita negli Amplificatori Operazionali
Resistenza di Uscita (
)
Definizione: Resistenza vista dall’uscita dell’op-amp.
Valore Tipico: Molto bassa, idealmente zero, ma in pratica è influenzata dalla retroazione.
Calcolo della Resistenza di Uscita
Per un amplificatore non invertente:
dove:
è la resistenza di uscita dell’op-amp senza retroazione.- è il guadagno ad anello aperto.
è il fattore di retroazione.Implicazioni: La retroazione riduce ulteriormente la resistenza di uscita, rendendola molto bassa.
Riassunto
Concetto | Descrizione | Formula/Valore Tipico |
Comparatore con Isteresi | Due soglie di commutazione per immunità ai rumori |
|
Resistenza di Ingresso Differenziale | Resistenza tra i due ingressi |
|
Resistenza di Ingresso di Modo Comune | Resistenza tra ingressi e massa |
|
Resistenza di Uscita | Resistenza vista dall’uscita |
|
Implicazioni Pratiche
Comparatori con Isteresi: Utili per applicazioni in cui è necessaria immunità ai rumori e debouncing.
Resistenze di Ingresso: Influenzano l’interazione dell’op-amp con la sorgente del segnale.
Resistenza di Uscita: Una resistenza di uscita bassa è ideale per pilotare carichi senza attenuazione.
Tensione di Offset
Definizione
Tensione di Offset (
): È una tensione indesiderata che appare all’uscita di un amplificatore operazionale quando le tensioni di ingresso sono nulle.Causa: È dovuta a piccole asimmetrie nello stadio di ingresso dell’op-amp, che possono essere causate da imperfezioni nel processo di fabbricazione.
Effetto
Anche con ingressi a zero, l’uscita non è zero ma è influenzata dalla tensione di offset:
dove
è il guadagno dell’amplificatore.
Caratteristica Ingresso-Uscita
La tensione di offset causa una traslazione della caratteristica ingresso-uscita, che non è più simmetrica rispetto all’origine.
Compensazione della Tensione di Offset
Metodi di Compensazione
Generatore di Tensione Esterno:
Un generatore di tensione
con polarità opposta può essere collegato a uno degli ingressi per annullare l’effetto della tensione di offset interna.
Potenziometro di Compensazione:
Molti op-amp hanno terminali aggiuntivi per la compensazione della tensione di offset.
Un potenziometro collegato tra questi terminali e l’alimentazione negativa permette di regolare la tensione di offset.
Spostando il cursore del potenziometro, si introduce uno “sbilanciamento” che compensa l’asimmetria dello stadio di ingresso.
Circuito di Compensazione
Il circuito di compensazione può essere rappresentato come un generatore di tensione
collegato a uno degli ingressi.La tensione di uscita compensata è:
Implicazioni Pratiche
Effetto sulla Prestazione
La tensione di offset può causare errori significativi in applicazioni che richiedono alta precisione, come strumentazione e misurazioni.
È particolarmente critica in circuiti con alto guadagno, dove anche una piccola tensione di offset può essere amplificata.
Compensazione
La compensazione della tensione di offset è essenziale per migliorare la precisione e la linearità del circuito.
I moderni op-amp spesso includono circuiti integrati per la compensazione automatica della tensione di offset.
Riassunto
Concetto | Descrizione | Formula/Valore Tipico |
Tensione di Offset ( | Tensione indesiderata all’uscita con ingressi a zero |
|
Effetto sull’Uscita |
| Dipende dal guadagno |
Compensazione | Utilizzo di potenziometri o generatori esterni |
|
Correnti di Polarizzazione
Definizione
Correnti di Polarizzazione (
e 
): Sono correnti continue che devono essere fornite ai terminali di ingresso di un amplificatore operazionale per farlo funzionare correttamente.Rappresentazione: Possono essere rappresentate come due generatori di corrente collegati tra gli ingressi e la massa.
Corrente di Offset (
)
Definizione: È la differenza tra le due correnti di polarizzazione:
Valori Tipici:
Per op-amp con transistor bipolari:
, 
.
Effetto delle Correnti di Polarizzazione
Tensione di Uscita
Le correnti di polarizzazione possono causare una tensione di uscita indesiderata:
Se
, la tensione di uscita può essere azzerata ponendo:
Riduzione dell’Effetto
Inserendo una resistenza
in serie all’ingresso non invertente, l’effetto delle correnti di polarizzazione sull’uscita può essere ridotto.La tensione di uscita residua è:
Questo valore è tipicamente molto piccolo, riducendo la tensione di uscita indesiderata di circa un ordine di grandezza.
Implicazioni Pratiche
Progettazione del Circuito
Resistenza di Compensazione (
): Per minimizzare l’effetto delle correnti di polarizzazione, dovrebbe essere uguale al parallelo di e :
Applicazioni
Precisione: In applicazioni che richiedono alta precisione, come strumentazione e misurazioni, è essenziale compensare le correnti di polarizzazione.
Rumore: Le correnti di polarizzazione possono introdurre rumore e offset, che devono essere minimizzati per ottenere prestazioni ottimali.
Riassunto
Concetto | Descrizione | Formula/Valore Tipico |
Correnti di Polarizzazione ( | Correnti continue necessarie per il funzionamento dell’op-amp |
|
Corrente di Offset ( | Differenza tra le correnti di polarizzazione |
|
Resistenza di Compensazione ( | Resistenza per ridurre l’effetto delle correnti di polarizzazione |
|
Slew-rate
In un amplificatore operazionale reale la velocità di variazione della tensione di uscita non può superare un valore limite detto slew-rate (velocità di risposta):
I valori tipici sono dell’ordine dei 
.
Questa limitazione è dovuta a fenomeni non lineari (saturazione dello stadio di ingresso dell’amplificatore operazionale) e non è in relazione con la larghezza di banda finita dell’amplificatore operazionale.
Funzione di trasferimento
La funzione di trasferimento rappresenta il rapporto tra l’uscita (
(t)) e l’ingresso (
(t)) di un sistema. È espressa come:
Passaggio al dominio complesso: applicando la trasformata di Laplace, la funzione di trasferimento diventa:
dove 
è l’operatore Laplaciano.
Le funzioni di trasferimento (f.d.t.) dei circuiti lineari tempo invarianti sono funzioni razionali (cioè rapporti tra due polinomi) a coefficienti reali della variabile 
Per evitare di trattare esplicitamente quantità immaginarie, si introduce una variabile 
detta frequenza complessa:
I valori di s per cui si annulla il polinomio N(s) sono detti zeri della f.d.t.
I valori di s per cui si annulla il polinomio D(s) sono detti poli della f.d.t.
Si indicano con:
e 
i numeri di zeri e di poli nulli della f.d.t.
e 
i numeri di zeri 
e di poli 
reali diversi da zero della f.d.t.
i numeri di coppie di zeri 
e di poli complessi coniugati della f.d.t.
La frequenza complessa, dopo una serie di passaggi, può essere scritta come l’equazione sopra moltiplicato per K, dove K è la costante di guadagno:
Diagramma di Bode
Il diagramma di Bode è una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema lineare tempo-invariante (LTI), spesso usata per analizzare la funzione di trasferimento dei filtri elettronici. Si compone di due grafici:
Diagramma del modulo (o guadagno) → rappresenta il modulo della funzione di trasferimento
in dB rispetto alla frequenza logaritmica.
Diagramma della fase → rappresenta l’argomento della funzione di trasferimento
rispetto alla frequenza logaritmica.
Disegnare i diagrammi di Bode
Per disegnare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di una funzione di trasferimento 
, si seguono questi passaggi:
1. Scrivere la funzione di trasferimento
Si parte dalla funzione di trasferimento nel dominio di Laplace:
e si sostituisce , ottenendo la risposta in frequenza 
.
2. Diagramma del modulo (guadagno in dB)
Si calcola il modulo della funzione di trasferimento e si esprime in decibel (dB):
Si analizzano i poli e zeri della funzione di trasferimento, poiché determinano l’andamento della curva.
Si approssima il diagramma con tratti lineari a pendenza costante:
Uno zero introduce una pendenza di
dB/decade.Un polo introduce una pendenza di
dB/decade.La pendenza totale è la somma degli effetti di tutti i poli e zeri.
3. Diagramma della fase
Si calcola la fase della funzione di trasferimento:
Un termine zero introduce una variazione di fase di
.Un termine polo introduce una variazione di fase di
.Le variazioni di fase iniziano circa un decennio prima della frequenza critica e terminano un decennio dopo.
4. Disegno del diagramma di Bode
Si usa una scala logaritmica per l’asse delle frequenze.
Si riportano le variazioni di modulo e fase usando tratti approssimati.
Si sommano gli effetti di più poli e zeri per ottenere il diagramma finale.
Risposta in Frequenza
La risposta in frequenza di un sistema o di un filtro descrive come il sistema risponde a segnali sinusoidali di diversa frequenza.
Si ottiene valutando la funzione di trasferimento 
in frequenza:
La risposta in frequenza si analizza considerando due grandezze principali:
Modulo (o Guadagno in dB)
Indica quanto il segnale viene amplificato o attenuato in funzione della frequenza.
Si esprime in decibel (dB):
Ad esempio, un guadagno di 0 dB significa che il segnale passa senza modifiche, mentre -20 dB/decade indica un’attenuazione di un fattore 10 ogni 10× in frequenza.
Fase
Indica lo sfasamento tra ingresso e uscita in funzione della frequenza.
Si esprime in gradi (
) o radianti:
La fase può variare tra 0° e -90° (passa basso), 0° e +90° (passa alto), o avere comportamenti più complessi (passa banda, elimina banda).
Risposta in Frequenza e il Fattore 
Il fattore rappresenta il guadagno statico di un sistema o di un filtro. Esso influenza la risposta in frequenza, determinando il livello massimo del modulo della funzione di trasferimento .
In generale, la funzione di trasferimento di un sistema lineare è espressa come:
dove:
- è il guadagno del sistema (costante moltiplicativa);
e 
sono rispettivamente il numeratore e il denominatore della funzione di trasferimento;- rappresenta la variabile complessa in frequenza ().
Effetto di sulla Risposta in Frequenza
L’ampiezza della risposta in frequenza è data da:
Quindi:
Se
→ Il filtro amplifica la risposta in frequenza.Se
→ Il filtro attenua la risposta in frequenza.Se
→ Il filtro ha una risposta in frequenza che dipende solo dal rapporto tra e .
Nel diagramma di Bode, il guadagno in dB è influenzato da secondo la relazione:
Significato:
Se
, il grafico del modulo si sposta verso l’alto di 20 dB.Se
, il grafico si abbassa di 20 dB.
Conclusione
- è un fattore di guadagno che scala verticalmente la risposta in frequenza.
Un valore più alto di
sposta verso l’alto il diagramma di Bode (guadagno maggiore).Un valore più basso di
abbassa il diagramma di Bode (attenuazione maggiore).Nei filtri attivi con OpAmp,
può essere controllato da resistenze e configurazioni del circuito.
Funzioni elementari
Le funzioni elementari sono i mattoni fondamentali utilizzati per costruire e analizzare le funzioni di trasferimento nei sistemi dinamici, specialmente nell’ambito dei diagrammi di Bode. Queste funzioni rappresentano comportamenti specifici di un sistema (come guadagno costante, zeri, poli, ecc.) e possono essere combinate per descrivere sistemi più complessi.
Ecco una panoramica delle principali funzioni elementari:
Fattore Costante (Guadagno Costante)
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione: Rappresenta un guadagno costante in tutto il range di frequenze. Non introduce sfasamento se
, mentre introduce uno sfasamento di se 
.
Zero nell’Origine
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione: Introduce un aumento del modulo con una pendenza di +20 dB/decade e uno sfasamento costante di
.
Polo nell’Origine
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione: Introduce una diminuzione del modulo con una pendenza di -20 dB/decade e uno sfasamento costante di
.
Zero Reale
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione:
A basse frequenze (
), il modulo è circa 0 dB e la fase è .Ad alte frequenze (
), il modulo aumenta con una pendenza di +20 dB/decade e la fase tende a .
Polo Reale
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione:
A basse frequenze (
), il modulo è circa 0 dB e la fase è .Ad alte frequenze (
), il modulo diminuisce con una pendenza di -20 dB/decade e la fase tende a .
Zeri Complessi Coniugati
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione:
A basse frequenze (
), il modulo è circa 0 dB e la fase è .Ad alte frequenze (
), il modulo aumenta con una pendenza di +40 dB/decade e la fase tende a .Per
, si osserva un picco di risonanza attorno a 
.
Poli Complessi Coniugati
Funzione di Trasferimento:
Modulo (Ampiezza):
Fase:
Descrizione:
A basse frequenze (
), il modulo è circa 0 dB e la fase è .Ad alte frequenze (
), il modulo diminuisce con una pendenza di -40 dB/decade e la fase tende a 
.Per
, si osserva un picco di risonanza attorno a .
Riassunto delle Funzioni Elementari
Funzione | Modulo (Ampiezza) | Fase |
Fattore Costante ( |
|
|
Zero nell’Origine |
|
|
Polo nell’Origine |
|
|
Zero Reale |
|
|
Polo Reale |
|
|
Zeri Complessi Coniugati |
|
|
Poli Complessi Coniugati |
|
|
Importanza delle Funzioni Elementari
Queste funzioni sono utilizzate per scomporre una funzione di trasferimento complessa in componenti più semplici.
Ogni componente contribuisce al modulo e alla fase totale del sistema, che possono essere rappresentati nei diagrammi di Bode.
La combinazione di queste funzioni permette di analizzare e progettare sistemi dinamici, filtri e controllori.
Frequenza di Polo (
):
Definizione: La frequenza di polo è la frequenza alla quale il denominatore della funzione di trasferimento
si annulla. I poli determinano le frequenze alle quali il guadagno del filtro diminuisce significativamente.Effetto sul Filtro:
Un polo introduce un roll-off (decadimento) di -20 dB/decade nel diagramma di Bode del modulo.
La fase diminuisce di -90° per ogni polo.
Frequenza di Zero (
):
Definizione: La frequenza di zero è la frequenza alla quale il numeratore della funzione di trasferimento
si annulla. Gli zeri determinano le frequenze alle quali il guadagno del filtro aumenta o si annulla.Effetto sul Filtro:
Uno zero introduce un aumento di +20 dB/decade nel diagramma di Bode del modulo.
La fase aumenta di +90° per ogni zero.
Diagramma di Bode e Frequenze di Polo/Zero
Modulo:
Ogni polo introduce un decadimento di -20 dB/decade.
Ogni zero introduce un aumento di +20 dB/decade.
Fase:
Ogni polo introduce uno sfasamento di -90°.
Ogni zero introduce uno sfasamento di +90°.
Filtro
Un filtro è un sistema che modifica un segnale in base alla sua frequenza, attenuando o amplificando determinate componenti.
Tipologie di filtri
Le tipologie di filtro sono:
passa-basso: per eliminare componenti ad alta frequenza (per es. potenziali muscolari nell’EEG)
passa-alto: per eliminare componenti a bassa frequenza (per es. lenti spostamenti della linea base del segnale EEG o ECG dovuti a modifiche della resistenza di contatto degli elettrodi)
passa-banda: è una combinazione dei 2 filtri precedenti. Può anche essere usato per estrarre particolari componenti da un segnale
elimina-banda: per eliminare singole componenti a frequenza nota
Guadagno di un filtro
Il guadagno di un filtro è un parametro fondamentale che descrive come il filtro modifica l’ampiezza del segnale di ingresso nella banda passante (la regione di frequenze in cui il filtro lascia passare il segnale). Il guadagno può essere espresso in termini di rapporto tra l’ampiezza del segnale di uscita e l’ampiezza del segnale di ingresso o in decibel (dB).
Guadagno in Tensione (
):
dove:
- è l’ampiezza del segnale di uscita.
- è l’ampiezza del segnale di ingresso.
Guadagno in Decibel (dB):
Conclusione
Il guadagno di un filtro descrive come il filtro modifica l’ampiezza del segnale di ingresso nella banda passante. Può essere espresso come rapporto tra l’uscita e l’ingresso o in decibel. Il guadagno varia a seconda della frequenza e del tipo di filtro (passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda).
Filtri attivi
Un filtro passivo è un filtro composto solo da componenti passivi.
I filtri attivi fanno uso anche di componenti attivi.
A differenza dei filtri passivi possono avere guadagno > 1
Possono avere fattori di merito elevati (e quindi risposte di tipo risonante) anche senza impiegare induttori.
La loro funzione di trasferimento non dipende dall’impedenza di carico.
Nel caso di collegamento in cascata la funzione di trasferimento complessiva si ottiene come prodotto di quelle dei singoli stadi.
Possono essere utilizzate solo frequenze relativamente basse a causa della limitazione di banda degli amplificatori operazionali.
Filtri passa basso
I filtri passa-basso sono circuiti elettronici che permettono il passaggio di segnali con frequenze inferiori a una certa frequenza di taglio/polo (
), attenuando invece i segnali con frequenze superiori. Esistono due configurazioni principali per realizzare filtri passa-basso utilizzando amplificatori operazionali: invertente e non invertente. Ecco una spiegazione dettagliata di entrambe le configurazioni:
Filtro Passa-Basso Non Invertente
Configurazione Circuitale
Un filtro passa-basso non invertente è realizzato utilizzando un amplificatore operazionale in configurazione non invertente.
Il circuito include:
Un resistore
in serie con un condensatore sul ramo di retroazione.Un resistore
collegato tra l’ingresso non invertente e massa.
Funzione di Trasferimento:
Guadagno (
):
dove
.Fase (
):
Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):Non ha zeri (
non esiste).Guadagno in Banda Passante:
(0 dB).Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo è circa 1 (0 dB).Per
: Il modulo è 
(-3 dB).Per
: Il modulo decresce a -20 dB/decade.Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa 0°.Per
: La fase è -45°.Per
: La fase tende a -90°.
Filtro Passa-Basso Non Invertente del Primo Ordine a Guadagno Unitario
Configurazione Circuitale
Questo filtro utilizza un amplificatore operazionale in configurazione inseguitore di tensione (guadagno unitario).
Il circuito è composto da:
Un resistore
in serie con un condensatore .L’ingresso non invertente dell’operazionale è collegato al nodo tra
e .L’uscita è collegata all’ingresso invertente (retroazione negativa).
Funzione di Trasferimento
La funzione di trasferimento è data da:
Dove:
è il guadagno in continua (guadagno unitario).
è la pulsazione di taglio.La frequenza di taglio è
.
Comportamento
A basse frequenze (
), il guadagno è (0 dB).Alla frequenza di taglio (
), il guadagno si riduce di -3 dB.Ad alte frequenze (
), il guadagno diminuisce con una pendenza di -20 dB/decade.
Vantaggi
Semplicità: Utilizza pochi componenti (solo
e ).Guadagno unitario: Ideale per applicazioni in cui non è necessaria amplificazione.
Impedenza di ingresso alta: Grazie alla configurazione inseguitore di tensione.
Filtro Passa-Basso Non Invertente del Primo Ordine con Guadagno Regolabile
Configurazione Circuitale
Questo filtro utilizza un amplificatore operazionale in configurazione non invertente con guadagno maggiore di 1.
Il circuito è composto da:
Un resistore
in serie con un condensatore .Un resistore
collegato tra l’uscita e l’ingresso invertente.L’ingresso non invertente è collegato al nodo tra
e .
Funzione di Trasferimento
La funzione di trasferimento è data da:
Dove: - 
è il guadagno in continua. - è la pulsazione di taglio. - La frequenza di taglio è 
.
Comportamento
A basse frequenze (
), il guadagno è .Alla frequenza di taglio (
), il guadagno si riduce di -3 dB rispetto a 
.Ad alte frequenze (
), il guadagno diminuisce con una pendenza di -20 dB/decade.
Vantaggi
Guadagno regolabile: Il guadagno può essere modificato variando
e .Flessibilità: Adatto a applicazioni in cui è necessario un guadagno maggiore di 1.
Confronto tra le Due Configurazioni
Caratteristica | Filtro a Guadagno Unitario | Filtro con Guadagno Regolabile |
Guadagno in continua |
|
|
Frequenza di taglio |
|
|
Complessità circuitale | Più semplice (solo | Più complessa (aggiunta di |
Impedenza di ingresso | Molto alta | Dipende da |
Applicazioni | Filtraggio senza amplificazione | Filtraggio con amplificazione |
Riassunto
Il filtro passa-basso non invertente a guadagno unitario è semplice e ideale per applicazioni in cui non è necessaria amplificazione.
Il filtro passa-basso non invertente con guadagno regolabile offre maggiore flessibilità, permettendo di regolare il guadagno in continua.
Entrambi i filtri hanno una frequenza di taglio determinata da
e , e una risposta in frequenza del primo ordine (-20 dB/decade).
Filtro Passa-Basso Invertente
Configurazione Circuitale
Un filtro passa-basso invertente è realizzato utilizzando un amplificatore operazionale in configurazione invertente.
Il circuito include:
Un resistore
collegato all’ingresso invertente.Un condensatore
in parallelo con un resistore sul ramo di retroazione.
Funzione di Trasferimento:
Guadagno (
):
Fase (
):
(il termine
è dovuto all’inversione del segnale).Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):Non ha zeri (
non esiste).Guadagno in Banda Passante:
.Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo è 
.Per
: Il modulo è 
.Per
: Il modulo decresce a -20 dB/decade.Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa 180° (a causa dell’inversione).Per
: La fase è 135°.Per
: La fase tende a 90°.
Confronto tra Filtri Passa-Basso Invertente e Non Invertente
Caratteristica | Filtro Non Invertente | Filtro Invertente |
Guadagno in continua |
|
|
Fase |
|
|
Impedenza di ingresso | Molto alta | Dipende da |
Frequenza di taglio |
|
|
Complessità circuitale | Leggermente più complessa | Più semplice |
Applicazioni
Filtri non invertenti sono preferiti quando è necessario un guadagno maggiore di 1 e un’alta impedenza di ingresso.
Filtri invertenti sono utilizzati quando è necessario un guadagno regolabile e/o uno sfasamento di
.
Filtri Passa-Alto
I filtri passa-alto sono circuiti elettronici che permettono il passaggio di segnali con frequenze superiori a una certa frequenza di taglio (), attenuando invece i segnali con frequenze inferiori. Come per i filtri passa-basso, esistono configurazioni invertenti e non invertenti per i filtri passa-alto, realizzate utilizzando amplificatori operazionali. Ecco una spiegazione dettagliata di entrambe le configurazioni:
Filtro Passa-Alto Non Invertente
Configurazione Circuitale
Un filtro passa-alto non invertente è realizzato utilizzando un amplificatore operazionale in configurazione non invertente.
Il circuito include:
Un condensatore
in serie con un resistore sul ramo di ingresso.Un resistore
collegato tra l’uscita e l’ingresso invertente.Un resistore
collegato tra l’ingresso invertente e massa.
Funzione di Trasferimento:
Frequenza di Polo (
):
Guadagno (
):
Fase (
):
Frequenza di Zero (
):
Hz (zero nell’origine).Guadagno in Banda Passante:
- (0 dB).
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo cresce a +20 dB/decade.Per
: Il modulo è (-3 dB).Per
: Il modulo è circa 1 (0 dB).Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa +90°.Per
: La fase è +45°.Per
: La fase è circa 0°.
Filtro Passa-Alto Invertente
Configurazione Circuitale
Un filtro passa-alto invertente è realizzato utilizzando un amplificatore operazionale in configurazione invertente.
Il circuito include:
Un condensatore
in serie con un resistore sul ramo di ingresso.Un resistore
collegato tra l’uscita e l’ingresso invertente.
Funzione di Trasferimento:
Guadagno (
):
Fase (
):
(il termine
è dovuto all’inversione del segnale).Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):- Hz (zero nell’origine).
Guadagno in Banda Passante:
- .
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo cresce a +20 dB/decade.Per
: Il modulo è .Per
: Il modulo è .Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa +90°.Per
: La fase è +135°.Per
: La fase è circa 180°.
Confronto tra Filtri Passa-Alto Invertente e Non Invertente
Caratteristica | Filtro Non Invertente | Filtro Invertente |
Guadagno in alta frequenza |
|
|
Fase |
|
|
Impedenza di ingresso | Molto alta | Dipende da |
Frequenza di taglio |
|
|
Complessità circuitale | Leggermente più complessa | Più semplice |
Applicazioni
Filtri non invertenti sono preferiti quando è necessario un guadagno maggiore di 1 e un’alta impedenza di ingresso.
Filtri invertenti sono utilizzati quando è necessario un guadagno regolabile e/o uno sfasamento di
.
Riassunto
I filtri passa-alto non invertenti sono ideali per applicazioni in cui è necessario un guadagno maggiore di 1 e un’alta impedenza di ingresso.
I filtri passa-alto invertenti sono più semplici e permettono di regolare il guadagno, ma introducono uno sfasamento di
.Entrambe le configurazioni sono ampiamente utilizzate nell’elettronica analogica per filtrare segnali e rimuovere componenti a bassa frequenza.
Filtro Passa-Banda
Configurazione Non Invertente
Funzione di Trasferimento:
Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):
(zero nell’origine).
Guadagno in Banda Passante:
- (0 dB).
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo cresce a +20 dB/decade.Per
: Il modulo è massimo (0 dB).Per
: Il modulo decresce a -20 dB/decade.Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa +90°.Per
: La fase è 0°.Per
: La fase è circa -90°.
Configurazione Invertente
Funzione di Trasferimento:
Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):
(zero nell’origine).
Guadagno in Banda Passante:
- .
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo cresce a +20 dB/decade.Per
: Il modulo è massimo ().Per
: Il modulo decresce a -20 dB/decade.Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa +90°.Per
: La fase è 180° (a causa dell’inversione).Per
: La fase è circa +90°.
Filtro Elimina-Banda (Notch)
Configurazione Non Invertente
Funzione di Trasferimento:
Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):
(zero alla frequenza di polo).
Guadagno in Banda Passante:
- (0 dB).
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo è circa 1 (0 dB).Per
: Il modulo è minimo (attenuazione massima).Per
: Il modulo è circa 1 (0 dB).Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa 0°.Per
: La fase è -90°.Per
: La fase è circa 0°.
Configurazione Invertente
Funzione di Trasferimento:
Frequenza di Polo (
):
Frequenza di Zero (
):
(zero alla frequenza di polo).
Guadagno in Banda Passante:
- .
Comportamento del Modulo:
Per
: Il modulo è circa .Per
: Il modulo è minimo (attenuazione massima).Per
: Il modulo è circa .Comportamento della Fase:
Per
: La fase è circa 180° (a causa dell’inversione).Per
: La fase è +90°.Per
: La fase è circa 180°.
Ricavare i Guadagni
Passa-Banda Non Invertente: Guadagno = 1.
Passa-Banda Invertente: Guadagno =
.Elimina-Banda Non Invertente: Guadagno = 1.
Elimina-Banda Invertente: Guadagno =
.
Conclusione
Frequenza di Polo (
): Determina dove il guadagno del filtro inizia a diminuire.Frequenza di Zero (
): Determina dove il guadagno del filtro inizia ad aumentare o si annulla.Diagramma di Bode: Mostra l’effetto di poli e zeri sul modulo e sulla fase del filtro.
Risposta in Frequenza di un Amplificatore Operazionale
Modello a un Polo
La risposta in frequenza di un amplificatore operazionale può essere approssimata con un modello a un polo:
dove:
è il guadagno ad anello aperto in continua.
è la pulsazione di taglio.
Banda di Guadagno Unitario
La frequenza di guadagno unitario
è la frequenza alla quale il guadagno è 1:
Per frequenze superiori a
, il guadagno diminuisce con una pendenza di -20 dB/decade.
Prodotto Guadagno-Larghezza di Banda (GBW)
Retroazione Negativa
In presenza di retroazione negativa, il guadagno ad anello chiuso
e la frequenza di taglio 
sono:
dove
è il fattore di retroazione.
Prodotto GBW
Il prodotto guadagno-larghezza di banda (GBW) rimane costante:
Amplificatore Invertente e Non Invertente
Fattore di Retroazione
Per entrambe le configurazioni (invertente e non invertente), il fattore di retroazione è:
Guadagno in Continua
Per
, il guadagno in continua ad anello chiuso è:
Larghezza di Banda
La larghezza di banda
è:
Riassunto
Concetto | Descrizione | Formula |
Filtro Passa-Banda | Combinazione di passa-alto e passa-basso |
|
Risposta in Frequenza | Modello a un polo |
|
Prodotto GBW | Costante con retroazione |
|
Guadagno in Continua |
|
|
Implicazioni Pratiche
Filtri Passa-Banda: Utilizzati in applicazioni audio e di comunicazione per selezionare una specifica gamma di frequenze.
Retroazione Negativa: Migliora la stabilità e la linearità degli amplificatori.
Prodotto GBW: È un parametro chiave per la progettazione di circuiti ad alta frequenza.
Filtri Attivi di Secondo Ordine
Definizione
I filtri attivi di secondo ordine utilizzano amplificatori operazionali insieme a resistenze e condensatori per realizzare funzioni di trasferimento con un ordine maggiore.
La caratteristica principale è un comportamento quadratico nel denominatore della funzione di trasferimento, che permette una maggiore flessibilità nel controllo delle caratteristiche del filtro.
Tipologie di Filtri
Passa-Basso (Low-Pass): Filtra le frequenze al di sopra di una certa frequenza di taglio.
Passa-Alto (High-Pass): Filtra le frequenze al di sotto di una certa frequenza di taglio.
Passa-Banda (Band-Pass): Filtra le frequenze al di fuori di una certa banda.
Elimina-Banda (Band-Stop o Notch): Filtra le frequenze all’interno di una certa banda.
Tutto-Passo (All-Pass): Modifica la fase del segnale senza attenuare le frequenze.
Caratteristiche dei Filtri
Risposta in Frequenza
Ordine del Filtro: Determina la pendenza (roll-off) della transizione tra la banda passante e la banda eliminata. Per un filtro di ordine
, la pendenza è 
.Fattore di Qualità (
): Misura la selettività del filtro. Un più alto indica una banda più stretta attorno alla frequenza di taglio .Frequenza di Taglio (
): Frequenza alla quale il segnale è attenuato di 
rispetto al guadagno massimo.Guadagno Statico (
): Determina il livello di amplificazione del filtro.
Comportamento in Fase
Influenza il ritardo di fase del segnale. Filtri come Bessel offrono una fase più lineare, ideale per applicazioni di temporizzazione e segnali a impulsi.
Tipologie Circuituali
Filtri di Sallen-Key (VCVS)
Utilizzano un singolo amplificatore operazionale per ogni stadio.
Vantaggi: Semplicità di implementazione, ideale per filtri con guadagno basso e frequenze moderate.
Funzione di Trasferimento:
dove
è il guadagno dell’amplificatore operazionale.
Filtri a Retroazioni Multiple (MFB)
Più flessibili rispetto ai filtri di Sallen-Key.
Vantaggi: Miglior comportamento per filtri passa-basso e passa-banda, ma richiedono più componenti passivi.
Funzione di Trasferimento:
Approssimazioni della Funzione di Trasferimento
Filtro Ideale vs. Filtro Pratico
Filtro Ideale: Transizione perfetta tra banda passante e banda eliminata, senza ondulazioni o ritardi di fase. Non realizzabile fisicamente.
Filtro Pratico: Approssima la risposta ideale utilizzando componenti reali (resistenze, condensatori, amplificatori operazionali).
Tipi di Risposta
Butterworth: Risposta piatta in banda passante, transizione lenta.
Chebyshev I: Ondulazioni in banda passante, transizione rapida.
Chebyshev II: Nessuna ondulazione in banda passante, transizione rapida.
Ellittico: Ondulazioni in banda eliminata, transizione molto rapida.
Bessel: Risposta in fase lineare, roll-off lento.
Esempi di Funzioni di Trasferimento
Filtro Passa-Basso di Butterworth
- Per , il modulo di 
vale 
().
Filtro Passa-Basso di Chebyshev
- 
è il polinomio di Chebyshev di grado . - Nella banda passante, il modulo ha massimi e minimi (ondulazioni).
Riassunto
Caratteristica | Descrizione | Esempi |
Ordine del Filtro | Determina la pendenza della transizione |
|
Fattore di Qualità ( | Misura la selettività del filtro | Più alto |
Topologie Circuituali | Sallen-Key, MFB | Sallen-Key: semplice, MFB: flessibile |
Approssimazioni | Butterworth, Chebyshev, Ellittico, Bessel | Butterworth: piatta, Chebyshev: rapida |
Implicazioni Pratiche
Progettazione: La scelta del tipo di filtro e della topologia dipende dalle specifiche applicazioni (es: audio, comunicazioni, strumentazione).
Selettività: Filtri con
alto sono ideali per applicazioni che richiedono una banda stretta.Linearità: Filtri come Bessel sono preferiti per applicazioni che richiedono una risposta in fase lineare.
Conversione Analogico-Digitale (A/D)
La conversione A/D è il processo di trasformazione di un segnale analogico (continuo nel tempo e in ampiezza) in un segnale digitale (discreto nel tempo e in ampiezza). Questo processo è essenziale per l’elaborazione digitale dei segnali e viene eseguito da un convertitore analogico-digitale (ADC).
Fasi della Conversione A/D
Campionamento (Sampling):
Definizione: Il segnale analogico viene misurato a intervalli regolari di tempo, producendo una sequenza di campioni discreti.
Teorema di Nyquist-Shannon: Per evitare l’aliasing (distorsione del segnale), la frequenza di campionamento
deve essere almeno il doppio della frequenza massima 
del segnale:
Filtro Anti-Aliasing: Prima del campionamento, un filtro passa-basso viene utilizzato per limitare la banda del segnale e prevenire l’aliasing.
Quantizzazione:
Definizione: I campioni discreti vengono approssimati a un insieme finito di livelli di ampiezza (livelli di quantizzazione).
Errore di Quantizzazione: La differenza tra il valore reale del campione e il livello quantizzato. Questo errore introduce una distorsione nel segnale.
Risoluzione in Bit: La risoluzione di un ADC è determinata dal numero di bit
. Un ADC a bit ha 
livelli di quantizzazione. Ad esempio:8 bit: 256 livelli.
16 bit: 65,536 livelli.
Codifica:
Definizione: Ogni livello quantizzato viene rappresentato da un codice binario (parola digitale).
Bit Meno Significativo (LSB) e Bit Più Significativo (MSB):
LSB: Il bit che rappresenta la più piccola variazione di ampiezza.
MSB: Il bit che rappresenta la più grande variazione di ampiezza.
Formula di Conversione: Il valore digitale
corrispondente alla parola binaria 
è:
Errori nella Conversione A/D
Errore di Quantizzazione:
Definizione: Differenza tra il valore reale del campione e il livello quantizzato.
Effetti: Introduce una distorsione nel segnale, che può essere ridotta aumentando la risoluzione (numero di bit).
Non Linearità Differenziale:
Definizione: Variazione nella larghezza dei gradini di quantizzazione.
Effetti: Può causare distorsioni non lineari nel segnale.
Non Linearità Integrale:
Definizione: Deviazione cumulativa della curva di trasferimento rispetto alla linea ideale.
Effetti: Riduce la precisione complessiva del convertitore.
Errore di Guadagno:
Definizione: Scostamento nella pendenza della curva di trasferimento.
Effetti: Introduce una distorsione lineare, che può essere corretta in fase di calibrazione.
Errore di Offset:
Definizione: Scostamento costante della curva di trasferimento rispetto alla posizione ideale.
Effetti: Introduce errori assoluti nella misura, specialmente per segnali vicini allo zero.
Struttura di un ADC
Un ADC è composto da: 1. Comparatore: Confronta il segnale analogico con una tensione di riferimento. 2. Circuiti di Logica: Generano il codice binario corrispondente al livello quantizzato. 3. Tensione di Riferimento: Definisce l’intervallo di ampiezza del segnale che può essere convertito.
Riassunto
Fase | Descrizione | Formula/Valore Tipico |
Campionamento | Misurazione del segnale a intervalli regolari |
|
Quantizzazione | Approssimazione a livelli discreti |
|
Codifica | Rappresentazione binaria dei livelli |
|
Errore di Quantizzazione | Differenza tra valore reale e quantizzato |
|
Implicazioni Pratiche
Risoluzione: Maggiore è il numero di bit, maggiore è la precisione della conversione.
Frequenza di Campionamento: Deve essere scelta in base alla banda del segnale per evitare aliasing.
Errori: Gli errori di non linearità, guadagno e offset devono essere minimizzati per garantire una conversione precisa.
Convertitore a Contatore-Rampa
Principio di Funzionamento
Struttura: Un ADC a contatore-rampa utilizza un contatore e un convertitore digitale-analogico (DAC).
Funzionamento:
Il contatore inizia a contare da zero.
Il DAC converte il valore del contatore in una tensione analogica
.Un comparatore confronta
con il segnale di ingresso 
.Quando
raggiunge , il contatore si ferma e il valore corrente rappresenta il codice digitale di uscita.
Tempo di Conversione
Il tempo di conversione
varia proporzionalmente al valore di :
dove
è il numero di bit e 
è la frequenza del clock.
Caratteristiche
Semplicità Circuitale: Facile da implementare.
Costo Ridotto: Economico rispetto ad altri tipi di ADC.
Lentezza: Il tempo di conversione è elevato per segnali di ampiezza massima.
Convertitore a Inseguimento
Principio di Funzionamento
Struttura: Simile al convertitore a contatore-rampa, ma utilizza un contatore up/down per inseguire il segnale di ingresso.
Funzionamento:
Il contatore incrementa o decrementa il suo valore per avvicinarsi a
.Il DAC converte il valore del contatore in
.Il comparatore determina se
è maggiore o minore di , guidando il contatore.
Perdita di Acquisizione
Se il segnale di ingresso varia troppo rapidamente, il contatore potrebbe non riuscire a inseguirlo, causando una perdita di acquisizione.
Frequenza Massima di Aggancio
La massima frequenza del segnale di ingresso
che può essere seguita è:
Convertitore ad Approssimazioni Successive (SAR)
Principio di Funzionamento
Struttura: Utilizza un registro ad approssimazioni successive (SAR) e un DAC.
Funzionamento:
Il SAR inizia con il bit più significativo (MSB) e approssima il valore di
in passi.Ad ogni passo, il comparatore determina se il valore corrente è maggiore o minore di
.Il processo si ripete fino al bit meno significativo (LSB).
Tempo di Conversione
Il tempo di conversione è:
dove
è il numero di bit.
Frequenza Massima del Segnale
La massima frequenza del segnale di ingresso
è limitata da:
Integratore
Principio di Funzionamento
Struttura: Un integratore è un circuito che produce un’uscita proporzionale all’integrale del segnale di ingresso.
Funzionamento:
dove
è la costante di tempo dell’integratore.
Risposta in Frequenza
La funzione di trasferimento è:
Il modulo della funzione di trasferimento è:
La fase è:
Riassunto
Tipo di Convertitore | Descrizione | Tempo di Conversione |
Contatore-Rampa | Utilizza un contatore e un DAC |
|
Inseguimento | Utilizza un contatore up/down | Dipende dalla velocità del segnale |
Approssimazioni Successive (SAR) | Utilizza un registro SAR e un DAC |
|
Integratore | Descrizione | Funzione di Trasferimento |
Integratore | Produce un’uscita proporzionale all’integrale del segnale di ingresso |
|
Implicazioni Pratiche
Scelta del Convertitore: Dipende dalla velocità, risoluzione e costo richiesti.
Integratore: Utilizzato in filtri, oscillatori e circuiti di controllo per la sua capacità di integrare segnali.
Convertitore A/D a Doppia Rampa
Principio di Funzionamento
Struttura: Utilizza un integratore e un contatore.
Funzionamento:
Fase di Integrazione: Il segnale di ingresso
viene integrato per un tempo fisso 
.Fase di Deintegrazione: Una tensione di riferimento
viene integrata in direzione opposta fino a quando l’uscita dell’integratore ritorna a zero.Il tempo
necessario per la deintegrazione è proporzionale al valore di .
Tempo di Conversione
Il tempo di conversione totale è:
dove
dipende dal valore di .
Vantaggi e Svantaggi
Vantaggi: Alta precisione, immunità al rumore.
Svantaggi: Tempo di conversione più lungo rispetto ad altri ADC.
Convertitore Flash
Principio di Funzionamento
Struttura: Utilizza una serie di comparatori e una rete di resistori per confrontare il segnale di ingresso con diversi livelli di riferimento.
Funzionamento:
Il segnale di ingresso
viene confrontato simultaneamente con 
livelli di riferimento.I comparatori determinano il livello più vicino a
.Un encoder converte l’uscita dei comparatori in un codice digitale.
Tempo di Conversione
Il tempo di conversione è molto breve, tipicamente nell’ordine dei nanosecondi.
Vantaggi e Svantaggi
Vantaggi: Velocità di conversione molto elevata.
Svantaggi: Complessità circuitale e costo elevato, soprattutto per ADC ad alta risoluzione.
Riassunto
Tipo di Convertitore | Descrizione | Tempo di Conversione | Vantaggi | Svantaggi |
Rampa | Utilizza un contatore e un DAC |
| Alta precisione, semplice | Lento |
Doppia Rampa | Utilizza un integratore e un contatore |
| Alta precisione, immunità al rumore | Tempo di conversione lungo |
Flash | Utilizza comparatori e una rete di resistori | Molto breve (nanosecondi) | Velocità elevata | Complessità e costo elevati |
Implicazioni Pratiche
Scelta del Convertitore: Dipende dalla velocità, risoluzione e costo richiesti.
Rampa: Ideale per applicazioni che richiedono alta precisione ma non velocità elevata.
Doppia Rampa: Utilizzato in strumentazione di precisione, come multimetri digitali.
Flash: Utilizzato in applicazioni ad alta velocità, come l’elaborazione di segnali video.
Convertitori Non Lineari e Compressione Logaritmica
Convertitori Non Lineari
Descrizione: Questi convertitori non seguono una relazione lineare tra l’ingresso e l’uscita. Sono utilizzati quando la risoluzione desiderata è una percentuale fissa dell’ampiezza del segnale.
Applicazioni: Utili in contesti dove il segnale varia su un ampio range dinamico, come nelle telecomunicazioni e nell’audio.
Compressione Logaritmica
Descrizione: Una tecnica utilizzata per comprimere il range dinamico di un segnale, migliorando la risoluzione per segnali di bassa ampiezza.
Vantaggi: Migliora la qualità del segnale in applicazioni come la trasmissione vocale, dove i segnali deboli devono essere distinti chiaramente.
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