Medie

Medie

Ecco una panoramica completa delle tipologie di medie, suddivise in medie algebriche (o analitiche) e medie di posizione (o lasche), con relative spiegazioni e formule formattate in modo chiaro.

Medie algebriche

Queste medie si calcolano utilizzando tutti i valori del dataset attraverso operazioni algebriche.

1. Media Aritmetica (Semplice)

Spiegazione: È la media più comune. Si calcola sommando tutti i valori e dividendo il risultato per il numero totale di valori. Formula: \[ M = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \]

2. Media Geometrica

Spiegazione: Utile per calcolare tassi di crescita medi, percentuali o proporzioni. È sempre minore o uguale alla media aritmetica. Formula: \[ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \] Caso particolare (per dati tabulati): \[ G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i^{f_i} \right)^{1/N} \quad \text{dove } N = \sum f_i \]

3. Media Armonica

Spiegazione: Utilizzata per medie di rapporti e velocità medie. È sempre minore o uguale alla media geometrica. Formula: \[ H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

4. Media Quadratica

Spiegazione: Usata quando i valori rappresentano grandezze che si misurano al quadrato (es. segnali elettrici, deviazioni). Formula: \[ Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2} \]

Relazione fondamentale tra le medie algebriche (per valori positivi): \[ H \leq G \leq M \leq Q \]

5. Media pesata/ponderata

La media pesata (o ponderata) è una media in cui ai diversi valori da mediare viene assegnata un’importanza relativa diversa, espressa attraverso dei pesi.

A differenza della media aritmetica semplice (dove tutti i valori hanno lo stesso peso), la media pesata riconosce che alcuni valori sono più significativi o rilevanti di altri nel calcolo.

Formula generale: \[ M_p = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Dove:

• \(x_1, x_2, ..., x_n\) sono i valori da mediare
• \(w_1, w_2, ..., w_n\) sono i pesi associati a ciascun valore
• \(M_p\) è la media pesata

Come si calcola

1. Moltiplica ogni valore (\(x_i\)) per il suo peso corrispondente (\(w_i\))
2. Somma tutti i prodotti ottenuti
3. Somma tutti i pesi
4. Dividi la somma dei prodotti per la somma dei pesi

Esempio numerico: Calcolo della media pesata di due esami, dove il voto dello scritto (voto: 24, peso: 2) conta il doppio dell’orale (voto: 28, peso: 1).

\[ M_p = \frac{(24 \times 2) + (28 \times 1)}{2 + 1} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3} \approx 25.33 \]

Tabella riassuntiva e confronto

Caratteristica	Media Aritmetica Semplice	Media Pesata
Formula	\(M = \frac{\sum x_i}{n}\)	\(M_p = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
Pesi	Tutti i valori hanno peso implicito \(w_i = 1\)	I pesi \(w_i\) sono espliciti e possono essere diversi
Utilizzo	Quando tutti i dati hanno la stessa importanza	Quando alcuni dati sono più importanti di altri

Medie di posizione/lasche

Queste medie si basano sulla posizione che un valore occupa all’interno di un dataset ordinato.

1. Mediana

La mediana è una media di posizione (o misura di tendenza centrale) che divide un insieme di dati ordinati in due parti uguali.

• Il 50% delle osservazioni ha un valore minore o uguale alla mediana.
• Il 50% delle osservazioni ha un valore maggiore o uguale alla mediana.

A differenza della media aritmetica, la mediana non è influenzata da valori anomali (outlier) ed è quindi particolarmente utile per descrivere distribuzioni asimmetriche.

Come si calcola la mediana

Il calcolo varia a seconda se il numero di dati \(n\) è dispari o pari.

1. Numero di dati DISPARI (\(n\) dispari)

La mediana è il valore che occupa la posizione centrale nella serie ordinata.

Procedimento:

1. Ordinare i dati in ordine crescente (o decrescente).
2. Trovare la posizione centrale: \(pos = \frac{n + 1}{2}\)
3. La mediana \(Me\) è il valore che si trova in quella posizione.

Formula: \[ Me = x_{\left( \frac{n+1}{2} \right)} \]

Esempio: Calcolare la mediana dei valori: \(5, 1, 7, 3, 9\)

1. Ordina i dati: \(1, 3, 5, 7, 9\) (\(n=5\))
2. Posizione mediana: \(\frac{5+1}{2} = 3\)
3. Mediana: \(Me = x_3 = 5\)

2. Numero di dati PARI (\(n\) pari)

La mediana è la media aritmetica dei due valori centrali.

Procedimento:

1. Ordinare i dati in ordine crescente.
2. Trovare le due posizioni centrali: \(pos_1 = \frac{n}{2}\) e \(pos_2 = \frac{n}{2} + 1\)
3. La mediana \(Me\) è la media dei valori in queste due posizioni.

Formula: \[ Me = \frac{ x_{\left( \frac{n}{2} \right)} + x_{\left( \frac{n}{2} + 1 \right)} }{2} \]

Esempio: Calcolare la mediana dei valori: \(2, 4, 6, 8\)

1. Dati già ordinati: \(2, 4, 6, 8\) (\(n=4\))
2. Posizioni centrali: \(\frac{4}{2} = 2\) e \(\frac{4}{2}+1 = 3\)
3. Mediana: \(Me = \frac{x_2 + x_3}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\)

CONFRONTO MEDIA vs MEDIANA

Caratteristica	Media Aritmetica	Mediana
Sensibilità agli outlier	ALTA (viene influenzata)	BASSA (resistente)
Tipo di dati	Solo dati quantitativi	Quantitativi e ordinali
Utilizzo preferibile	Distribuzioni simmetriche	Distribuzioni asimmetriche (skewate)
Proprietà	Minimizza la somma degli scarti al quadrato	Minimizza la somma degli scarti assoluti

2. Moda (o Valore Modale)

Spiegazione: Il valore che compare con la frequenza più alta nella distribuzione.

Proprietà:

• Unimodale: una moda
• Bimodale: due mode
• Plurimodale: più di due mode
• Amodale: nessuna moda

3. Quantili

Spiegazione: Valori che dividono la distribuzione ordinata in parti uguali.

Quartili (dividono in 4 parti):

• Primo quartile (\(Q_1\)): sotto cui cade il 25% dei dati
• Secondo quartile (\(Q_2\)): coincide con la mediana (50%)
• Terzo quartile (\(Q_3\)): sotto cui cade il 75% dei dati

Formula generale per il k-esimo percentile: \[ P_k = x_{\left( \frac{k \cdot n}{100} \right)} \] (dove la posizione può essere interpolata se non è intera)

Tabella riassuntiva

Tipo Media	Categoria	Formula	Utilizzo Principale
Aritmetica	Algebrica	\(M = \frac{1}{n}\sum x_i\)	Dato generale, omogeneo
Geometrica	Algebrica	\(G = \sqrt[n]{\prod x_i}\)	Tassi di crescita, proporzioni
Armonica	Algebrica	\(H = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}}\)	Velocità medie, rapporti
Quadratica	Algebrica	\(Q = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2}\)	Segnali, deviazioni
Mediana	Posizione	\(Me = \text{valore centrale}\)	Distribuzioni skewate
Moda	Posizione	\(Mo = \text{valore più frequente}\)	Dati categoriali, picchi
Quartili	Posizione	\(Q_1, Q_2, Q_3\)	Analisi della dispersione

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