Frequenze e tipologie di frequenze
Immaginiamo di avere un insieme di dati (un campione) già organizzati in una tabella di frequenze. Prendiamo come esempio i voti (in decimi) ottenuti da 20 studenti in un compito:
[6, 7, 8, 6, 5, 7, 9, 6, 8, 7, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 6, 7, 8, 7]
Per analizzarli, li organizziamo in una tabella, contando quante volte appare ogni voto (frequenza assoluta).
Tipologie di frequenze
1. Frequenza Assoluta (\(f_i\))
- Definizione: Il numero di volte in cui un determinato valore (o una categoria) si presenta nel collettivo osservato. È un conteggio semplice.
- Spiegazione: Risponde alla domanda: “Quante unità statistiche presentano questa specifica modalità?”.
- Proprietà: La somma di tutte le frequenze assolute è uguale al numero totale di osservazioni (\(n\)). \[ \sum_{i=1}^{k} f_i = n \] dove \(k\) è il numero di modalità distinte.
Esempio:
| Voto (\(x_i\)) | Frequenza Assoluta (\(f_i\)) |
|---|---|
| 5 | 2 |
| 6 | 5 |
| 7 | 6 |
| 8 | 4 |
| 9 | 2 |
| 10 | 1 |
| Totale | 20 |
2. Frequenza Relativa (\(fr_i\))
- Definizione: Il rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità e il numero totale di osservazioni. Misura la proporzione del totale rappresentata da quella modalità.
- Spiegazione: È molto utile per confrontare distribuzioni con un numero totale di osservazioni diverso (ad esempio, i voti di una classe da 20 studenti con quelli di una da 30).
- Proprietà: La somma di tutte le frequenze relative è uguale a 1. \[ \sum_{i=1}^{k} fr_i = 1 \]
- Formula: \[ fr_i = \frac{f_i}{n} \]
Esempio:
| \(x_i\) | \(f_i\) | Frequenza Relativa (\(fr_i\)) |
|---|---|---|
| 5 | 2 | \(2/20 = 0.10\) |
| 6 | 5 | \(5/20 = 0.25\) |
| 7 | 6 | \(6/20 = 0.30\) |
| 8 | 4 | \(4/20 = 0.20\) |
| 9 | 2 | \(2/20 = 0.10\) |
| 10 | 1 | \(1/20 = 0.05\) |
| Tot | 20 | 1.00 |
3. Frequenza Percentuale (\(f\%_i\))
- Definizione: La frequenza relativa moltiplicata per 100. Indica la percentuale di unità statistiche che presentano una data modalità.
- Spiegazione: È la più intuitiva e comune perché esprime il concetto di “su cento”. Esempio: “Il 25% degli studenti ha preso 6”.
- Proprietà: La somma di tutte le frequenze percentuali è uguale a 100. \[ \sum_{i=1}^{k} f\%_i = 100 \]
- Formula: \[ f\%_i = fr_i \times 100 = \left( \frac{f_i}{n} \right) \times 100 \]
Esempio:
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(fr_i\) | Frequenza Percentuale (\(f\%_i\)) |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 0.10 | \(10\%\) |
| 6 | 5 | 0.25 | \(25\%\) |
| 7 | 6 | 0.30 | \(30\%\) |
| 8 | 4 | 0.20 | \(20\%\) |
| 9 | 2 | 0.10 | \(10\%\) |
| 10 | 1 | 0.05 | \(5\%\) |
| Tot | 20 | 1.00 | 100% |
4. Frequenza Cumulata (\(F_i\))
- Definizione: La somma della frequenza (assoluta, relativa o percentuale) di una data modalità con le frequenze di tutte le modalità che la precedono. Ha senso calcolarla solo per variabili ordinali o quantitative.
- Spiegazione: Risponde alla domanda: “Quante unità statistiche presentano una modalità minore o uguale a questa?”.
- Utilizzo: È fondamentale per calcolare la mediana e altri percentili.
- Formula (Assoluta Cumulata): \[ F_i = f_1 + f_2 + \cdots + f_i \] La frequenza cumulata dell’ultima modalità è sempre uguale a \(n\). \[ F_k = n \]
Esempio (Frequenza Assoluta Cumulata):
| \(x_i\) | \(f_i\) | Frequenza Assoluta Cumulata (\(F_i\)) |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 2 |
| 6 | 5 | \(2+5=7\) |
| 7 | 6 | \(7+6=13\) |
| 8 | 4 | \(13+4=17\) |
| 9 | 2 | \(17+2=19\) |
| 10 | 1 | \(19+1=20\) |
| Tot | 20 |
Interpretazione:
- \(F_i = 13\) per il voto 7 significa che 13 studenti hanno preso un voto ≤ 7.
- \(F_i = 17\) per il voto 8 significa che 17 studenti hanno preso un voto ≤ 8.
Si possono calcolare analogamente anche la frequenza relativa cumulata (\(Fr_i\)) e la frequenza percentuale cumulata (\(F\%_i\)), che rispondono alla domanda “Quale frazione/percentuale delle unità ha un valore minore o uguale a questo?”.
Frequenza (versione semplificata)
Frequenza Assoluta
La frequenza assoluta indica il numero totale di volte che un determinato valore o categoria appare in un insieme di dati. Ad esempio, se in un campione di 100 persone, 30 sono donne, la frequenza assoluta delle donne è 30.
Frequenza Relativa
La frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta di un valore e il numero totale di osservazioni. Si calcola come:
\[ \text{Frequenza Relativa} = \frac{\text{Frequenza Assoluta}}{\text{Numero Totale di Osservazioni}} \]
Continuando con l’esempio precedente, se ci sono 100 persone e 30 sono donne, la frequenza relativa delle donne è:
\[ \text{Frequenza Relativa} = \frac{30}{100} = 0.3 \]
Frequenza Percentuale
La frequenza percentuale è la frequenza relativa espressa in percentuale. Si ottiene moltiplicando la frequenza relativa per 100. Nell’esempio, la frequenza percentuale delle donne sarebbe:
\[ \text{Frequenza Percentuale} = 0.3 \times 100 = 30\% \]
Frequenza Cumulata
La frequenza cumulata è la somma delle frequenze assolute di un valore e di tutti i valori precedenti. Indica quante osservazioni sono inferiori o uguali a un certo valore. Ad esempio, se abbiamo le seguenti frequenze assolute per le categorie di età:
- 0-20 anni: 10
- 21-40 anni: 20
- 41-60 anni: 15
La frequenza cumulata per la categoria 21-40 anni sarebbe:
\[ \text{Frequenza Cumulata} = 10 + 20 = 30 \]
E per la categoria 41-60 anni:
\[ \text{Frequenza Cumulata} = 10 + 20 + 15 = 45 \]
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