Esercizi sull'Equazione di Navier-Stokes

Esercizi sull'Equazione di Navier-Stokes

Esercizi sull'Equazione di Navier-Stokes

Versione italiana

Esercizi sull’Equazione di Navier-Stokes

Concetti Chiave

1. Equazione di Navier-Stokes: Descrive il moto di un fluido viscoso. L’equazione in forma generale è:
   \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$
   dove:

   • \rho$\rho$ = densità del fluido (kg/m³)
   • \mathbf{u}$\mathbf{u}$ = vettore velocità del fluido (m/s)
   • p$p$ = pressione (Pa)
   • \mu$\mu$ = viscosità dinamica (Pa·s)
   • \mathbf{f}$\mathbf{f}$ = forze esterne per unità di volume (N/m³)

2. Termini dell’equazione:

   • Termine di inerzia: \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right)$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right)$
   • Termine di pressione: -\nabla p$-\nabla p$
   • Termine di viscosità: \mu \nabla^2 \mathbf{u}$\mu \nabla^2 \mathbf{u}$
   • Termine di forze esterne: \mathbf{f}$\mathbf{f}$

3. Condizioni al contorno: Le condizioni che devono essere soddisfatte ai confini del dominio del fluido, come la velocità e la pressione.

Esercizio 1: Applicazione dell’Equazione di Navier-Stokes in un Flusso Stazionario

Problema

Considera un fluido incomprimibile che scorre in un tubo orizzontale con un raggio costante. La velocità del fluido è uniforme e pari a u = 2 \, \text{m/s}$u = 2 \, \text{m/s}$. La viscosità del fluido è \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ e la densità è \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Determina se il flusso è laminare o turbolento.

Soluzione

1. Calcola il numero di Reynolds:
   Re = \frac{\rho u D}{\mu} $Re = \frac{\rho u D}{\mu}$
   dove D$D$ è il diametro del tubo. Supponiamo D = 0.1 \, \text{m}$D = 0.1 \, \text{m}$:
   Re = \frac{1000 \times 2 \times 0.1}{0.001} = 200000 $Re = \frac{1000 \times 2 \times 0.1}{0.001} = 200000$

2. Conclusione: Poiché Re > 4000$Re > 4000$, il flusso è turbolento.

Esercizio 2: Risoluzione dell’Equazione di Navier-Stokes per un Flusso Stazionario

Problema

Considera un fluido incomprimibile che scorre in un piano orizzontale. Supponi che la pressione sia costante e che il flusso sia stazionario. Scrivi l’equazione di Navier-Stokes per questo caso.

Soluzione

1. Equazione di Navier-Stokes per un flusso stazionario:
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}$

2. Condizioni: Se la pressione è costante, il termine -\nabla p$-\nabla p$ diventa zero, quindi l’equazione si semplifica a:
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = \mu \nabla^2 \mathbf{u} $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = \mu \nabla^2 \mathbf{u}$

Esercizio 3: Flusso in un Tubo con Viscosità Variabile

Problema

Un fluido scorre in un tubo con un raggio che varia linearmente da r_1 = 0.01 \, \text{m}$r_1 = 0.01 \, \text{m}$ a r_2 = 0.02 \, \text{m}$r_2 = 0.02 \, \text{m}$ su una lunghezza L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$. La viscosità del fluido è \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ e la densità è \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Determina la portata volumetrica Q$Q$ del fluido.

Soluzione

1. Calcola il raggio medio:
   r_{med} = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{0.01 + 0.02}{2} = 0.015 \, \text{m} $r_{med} = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{0.01 + 0.02}{2} = 0.015 \, \text{m}$

2. Calcola la portata volumetrica usando la legge di Poiseuille:
   La legge di Poiseuille per un tubo con raggio costante è:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L} $Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$
   Tuttavia, poiché il raggio varia, possiamo considerare un approccio semplificato per un tubo con raggio medio. Supponiamo che la differenza di pressione P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$.

3. Calcola Q$Q$:
   Q = \frac{\pi (0.015)^4 (1000)}{8 \times 0.001 \times 1} $Q = \frac{\pi (0.015)^4 (1000)}{8 \times 0.001 \times 1}$
   Q = \frac{\pi \times 5.0625 \times 10^{-8} \times 1000}{0.008} $Q = \frac{\pi \times 5.0625 \times 10^{-8} \times 1000}{0.008}$
   Q = \frac{1.588 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.985 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} $Q = \frac{1.588 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.985 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$

4. Conclusione: La portata volumetrica del fluido è di circa 1.985 \, \text{L/s}$1.985 \, \text{L/s}$.

English version

Navier-Stokes Equation Exercises

Key Concepts

1. Navier-Stokes Equation: Describes the motion of a viscous fluid. The equation in general form is:
   \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$
   Where:

• \rho$\rho$ = fluid density (kg/m³)
• \mathbf{u}$\mathbf{u}$ = fluid velocity vector (m/s)
• p$p$ = pressure (Pa)
• \mu$\mu$ = dynamic viscosity (Pa·s)
• \mathbf{f}$\mathbf{f}$ = external forces per unit volume (N/m³)

2. Terms of the equation:

• Inertia term: \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right)$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right)$
• Pressure term: -\nabla p$-\nabla p$
• Viscosity term: \mu \nabla^2 \mathbf{u}$\mu \nabla^2 \mathbf{u}$
• External forces term: \mathbf{f}$\mathbf{f}$

3. Boundary conditions: The conditions that must be satisfied at the boundaries of the fluid domain, such as velocity and pressure.

Exercise 1: Applying the Navier-Stokes Equation to Steady Flow

Problem

Consider an incompressible fluid flowing in a horizontal tube with a constant radius. The velocity of the fluid is uniform and equal to u = 2 \, \text{m/s}$u = 2 \, \text{m/s}$. The viscosity of the fluid is \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ and the density is \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Determine whether the flow is laminar or turbulent.

Solution

1. Calculate the Reynolds number:
   Re = \frac{\rho u D}{\mu} $Re = \frac{\rho u D}{\mu}$
   where D$D$ is the diameter of the pipe. Suppose D = 0.1 \, \text{m}$D = 0.1 \, \text{m}$:
   Re = \frac{1000 \times 2 \times 0.1}{0.001} = 200000 $Re = \frac{1000 \times 2 \times 0.1}{0.001} = 200000$

2. Conclusion: Since Re > 4000$Re > 4000$, the flow is turbulent.

Exercise 2: Solving the Navier-Stokes Equation for Steady Flow

Problem

Consider an incompressible fluid flowing in a horizontal plane. Suppose that the pressure is constant and the flow is steady. Write the Navier-Stokes equation for this case.

Solution

1. Navier-Stokes equation for steady flow:
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}$

2. Conditions: If the pressure is constant, the term -\nabla p$-\nabla p$ becomes zero, so the equation simplifies to:
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = \mu \nabla^2 \mathbf{u} $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = \mu \nabla^2 \mathbf{u}$

Exercise 3: Flow in a Pipe with Variable Viscosity

Problem

A fluid flows in a pipe with a radius that varies linearly from r_1 = 0.01 \, \text{m}$r_1 = 0.01 \, \text{m}$ to r_2 = 0.02 \, \text{m}$r_2 = 0.02 \, \text{m}$ over a length L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$. The viscosity of the fluid is \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ and the density is \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$. Determine the volumetric flow rate Q$Q$ of the fluid.

Solution

1. Calculate the mean radius:
   r_{med} = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{0.01 + 0.02}{2} = 0.015 \, \text{m} $r_{med} = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{0.01 + 0.02}{2} = 0.015 \, \text{m}$

2. Calculate the volumetric flow rate using Poiseuille’s law:
   Poiseuille’s law for a pipe with constant radius is:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L} $Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$
   However, since the radius varies, we can consider a simplified approach for a pipe with mean radius. Suppose that the pressure difference P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$.

3. Calculate Q$Q$:
   Q = \frac{\pi (0.015)^4 (1000)}{8 \times 0.001 \times 1} $Q = \frac{\pi (0.015)^4 (1000)}{8 \times 0.001 \times 1}$
   Q = \frac{\pi \times 5.0625 \times 10^{-8} \times 1000}{0.008} $Q = \frac{\pi \times 5.0625 \times 10^{-8} \times 1000}{0.008}$
   Q = \frac{1.588 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.985 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} $Q = \frac{1.588 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.985 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$

4. Conclusion: The volumetric flow rate of the fluid is approximately 1.985 \, \text{L/s}$1.985 \, \text{L/s}$.