Esercizi sulle successioni di variabili aleatorie

Esercizi sulle successioni di variabili aleatorie

+Esercizi sulle successioni di variabili aleatorie

Versione italiana

Esercizi sulle successioni di variabili aleatorie

Teoria delle Successioni di Variabili Aleatorie

Le successioni di variabili aleatorie sono sequenze di variabili casuali, spesso utilizzate per modellare fenomeni aleatori nel tempo o in spazi multidimensionali. Queste successioni possono essere finite o infinite e vengono studiate per comprendere le loro proprietà statistiche, come la convergenza, la distribuzione e il comportamento limite.

Tipi di Convergenza

1. Convergenza in Distribuzione: Una successione di variabili aleatorie X_n$X_n$ converge in distribuzione a una variabile aleatoria X$X$ se la funzione di distribuzione cumulativa di X_n$X_n$ converge a quella di X$X$ in ogni punto in cui la funzione di distribuzione di X$X$ è continua.

2. Convergenza in Probabilità: Una successione di variabili aleatorie X_n$X_n$ converge in probabilità a una variabile aleatoria X$X$ se, per ogni \epsilon > 0$\epsilon > 0$, la probabilità che la distanza tra X_n$X_n$ e X$X$ sia maggiore di \epsilon$\epsilon$ tende a zero quando n tende all’infinito.

3. Convergenza Quasi Sicura: Una successione di variabili aleatorie converge quasi sicuramente a una variabile aleatoria se la probabilità che la successione converga a quella variabile è uguale a 1.

Esempio

Se consideriamo una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (iid) con media \mu$\mu$ e varianza \sigma^2$\sigma^2$. Secondo il teorema del limite centrale, la media campionaria delle variabili aleatorie converge in distribuzione a una normale con media \mu$\mu$ e varianza \frac{\sigma^2}{n}$\frac{\sigma^2}{n}$.

Esercizi sulle Successioni di Variabili Aleatorie

Esercizio 1: Convergenza in Distribuzione

Considera la successione di variabili aleatorie definita da:

X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z

$$X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z$$

dove Z è una variabile aleatoria uniforme nell’intervallo [0, 1]. Calcola il limite della successione quando n tende all’infinito.

Svolgimento:

1. Calcola il limite della successione:
   Quando n tende all’infinito, abbiamo:

   X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) Z.

   $$X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) Z.$$

   Quindi, il limite della successione è:

   \lim_{n \to \infty} X_n = 1 \cdot Z = Z.

   $$\lim_{n \to \infty} X_n = 1 \cdot Z = Z.$$

2. Distribuzione del limite:
   Poiché Z è uniforme nell’intervallo [0, 1], anche il limite ha la stessa distribuzione.

Risultato:

La successione converge in distribuzione alla variabile aleatoria Z, che è uniforme nell’intervallo [0, 1].

Esercizio 2: Convergenza in Probabilità

Considera la successione di variabili aleatorie definita da:

Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n} 

$$Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}$$

dove X è una variabile aleatoria che segue una distribuzione normale con media 0 e varianza 1. Calcola il limite della successione quando n tende all’infinito.

Svolgimento:

1. Calcola il limite della successione:
   Quando n tende all’infinito, abbiamo:

   Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}.

   $$Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}.$$

   Quindi, il limite della successione è:

   \lim_{n \to \infty} Y_n = 0 + 0 = 0.

   $$\lim_{n \to \infty} Y_n = 0 + 0 = 0.$$

2. Convergenza in probabilità:
   Per dimostrare che Y_n$Y_n$ converge in probabilità a 0, consideriamo:

   P(|Y_n - 0| > \epsilon) = P\left(\left|\frac{1}{n} + \frac{X}{n}\right| > \epsilon\right).

   $$P(|Y_n - 0| > \epsilon) = P\left(\left|\frac{1}{n} + \frac{X}{n}\right| > \epsilon\right).$$

   Poiché sia X/n$X/n$ che 1/n$1/n$ tendono a zero quando n$n$ tende all’infinito, possiamo concludere che:

   P(|Y_n| > \epsilon) \to 0.

   $$P(|Y_n| > \epsilon) \to 0.$$

Risultato:

La successione converge in probabilità a 0.

Esercizio 3: Convergenza Quasi Sicura

Considera la successione di variabili aleatorie definita da:

Z_n = \frac{X_n}{n}

$$Z_n = \frac{X_n}{n}$$

dove X_n$X_n$ sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con media μ e varianza σ². Dimostra che Z_n$Z_n$ converge quasi sicuramente a 0 quando n tende all’infinito.

Svolgimento:

Utilizziamo il teorema di Borel-Cantelli:

1. Calcola la somma delle probabilità:

   Sappiamo che:

   E[Z_n] = E\left[\frac{X_n}{n}\right] = \frac{E[X_n]}{n} = \frac{\mu}{n}.

   $$E[Z_n] = E\left[\frac{X_n}{n}\right] = \frac{E[X_n]}{n} = \frac{\mu}{n}.$$

2. Varianza:

   La varianza sarà:

   Var(Z_n) = Var\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{Var(X_n)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n^2}.

   $$Var(Z_n) = Var\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{Var(X_n)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n^2}.$$

3. Convergenza quasi sicura:

   Applicando il teorema di Borel-Cantelli, possiamo dire che se la somma delle probabilità converge (che è vera poiché E[Z_n]$E[Z_n]$ tende a zero), allora Z_n$Z_n$ converge quasi sicuramente a zero.

Risultato:

La successione Z_n$Z_n$ converge quasi sicuramente a 0.

English version

Random Variables Sequences Exercises

Theory of Random Variable Sequences

Sequences of random variables are sequences of random variables, often used to model random phenomena in time or in multidimensional spaces. These sequences can be finite or infinite and are studied to understand their statistical properties, such as convergence, distribution, and limit behavior.

Types of Convergence

1. Distribution Convergence: A sequence of random variables X_n$X_n$ converges in distribution to a random variable X$X$ if the cumulative distribution function of X_n$X_n$ converges to that of X$X$ at every point where the distribution function of X$X$ is continuous.

2. Convergence in Probability: A sequence of random variables X_n$X_n$ converges in probability to a random variable X$X$ if, for every \epsilon > 0$\epsilon > 0$, the probability that the distance between X_n$X_n$ and X$X$ is greater than \epsilon$\epsilon$ tends to zero as n tends to infinity.

3. Almost Sure Convergence: A sequence of random variables almost certainly converges to a random variable if the probability that the sequence converges to that variable is equal to 1.

Example

If we consider a sequence of independent and identically distributed (iid) random variables with mean \mu$\mu$ and variance \sigma^2$\sigma^2$. According to the central limit theorem, the sample mean of the random variables converges in distribution to a normal one with mean \mu$\mu$ and variance \frac{\sigma^2}{n}$\frac{\sigma^2}{n}$.

Exercises on Sequences of Random Variables

Exercise 1: Convergence in Distribution

Consider the sequence of random variables defined by:

X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z

$$X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z$$

where Z is a uniform random variable in the interval [0, 1]. Compute the limit of the sequence as n tends to infinity.

Procedure:

1. Calculate the limit of the sequence:

When n tends to infinity, we have:

X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) Z.

$$X_n = \frac{n}{n+1} \cdot Z = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) Z.$$

Therefore, the limit of the sequence is:

\lim_{n \to \infty} X_n = 1 \cdot Z = Z.

$$\lim_{n \to \infty} X_n = 1 \cdot Z = Z.$$

2. Distribution of the limit:
   Since Z is uniform in the interval [0, 1], the limit also has the same distribution.

Result:

The sequence converges in distribution to the random variable Z, which is uniform in the interval [0, 1].

Exercise 2: Convergence in Probability

Consider the sequence of random variables defined by:

Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}

$$Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}$$

where X is a random variable that follows a normal distribution with mean 0 and variance 1. Compute the limit of the sequence when n tends to infinity.

Procedure:

1. Compute the limit of the sequence:
   When n tends to infinity, we have:

Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}.

$$Y_n = \frac{1}{n} + \frac{X}{n}.$$

So, the limit of the sequence is:

\lim_{n \to \infty} Y_n = 0 + 0 = 0.

$$\lim_{n \to \infty} Y_n = 0 + 0 = 0.$$

2. Convergence in probability:
   To show that Y_n$Y_n$ converges in probability to 0, consider:

P(|Y_n - 0| > \epsilon) = P\left(\left|\frac{1}{n} + \frac{X}{n}\right| > \epsilon\right).

$$P(|Y_n - 0| > \epsilon) = P\left(\left|\frac{1}{n} + \frac{X}{n}\right| > \epsilon\right).$$

Since both X/n$X/n$ and 1/n$1/n$ tend to zero as n$n$ tends to infinity, we can conclude that:

P(|Y_n| > \epsilon) \to 0.

$$P(|Y_n| > \epsilon) \to 0.$$

Result:

The sequence converges in probability to 0.

Exercise 3: Almost Sure Convergence

Consider the sequence of random variables defined by:

Z_n = \frac{X_n}{n}

$$Z_n = \frac{X_n}{n}$$

where X_n$X_n$ are independent and identically distributed random variables with mean μ and variance σ². Show that Z_n$Z_n$ converges almost surely to 0 as n tends to infinity.

Procedure:

We use the Borel-Cantelli theorem:

1. Calculate the sum of the probabilities:

We know that:

E[Z_n] = E\left[\frac{X_n}{n}\right] = \frac{E[X_n]}{n} = \frac{\mu}{n}.

$$E[Z_n] = E\left[\frac{X_n}{n}\right] = \frac{E[X_n]}{n} = \frac{\mu}{n}.$$

2. Variance:

The variance will be:

Var(Z_n) = Var\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{Var(X_n)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n^2}.

$$Var(Z_n) = Var\left(\frac{X_n}{n}\right) = \frac{Var(X_n)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n^2}.$$

3. Almost Sure Convergence:

Applying the Borel-Cantelli theorem, we can say that if the sum of the probabilities converges (which is true since E[Z_n]$E[Z_n]$ tends to zero), then Z_n$Z_n$ almost surely converges to zero.

Result:

The sequence Z_n$Z_n$ almost surely converges to 0.