Esercizi sulle serie di potenze

Esercizi sulle serie di potenze

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Versione italiana

Esercizi sulle serie di potenze

Teoria delle Serie di Potenze

Definizione

Una serie di potenze è un’espressione della forma:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$$

dove:

• a_n$a_n$ sono i coefficienti della serie.
• c$c$ è il centro della serie.
• x$x$ è la variabile.

La serie converge per alcuni valori di x$x$ e diverge per altri. L’insieme dei valori di x$x$ per cui la serie converge è chiamato intervallo di convergenza.

Raggio di Convergenza

Il raggio di convergenza R$R$ può essere determinato utilizzando il criterio del rapporto:

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$

oppure il criterio del rapporto:

R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$

Se |x - c| < R$|x - c| < R$, la serie converge; se |x - c| > R$|x - c| > R$, la serie diverge. Per |x - c| = R$|x - c| = R$, la convergenza deve essere verificata separatamente.

Esempi Comuni

• La serie geometrica:

\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)

$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)$$

• La serie di Taylor per una funzione f(x)$f(x)$ attorno a un punto c$c$:

f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + ... 

$$f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + ...$$

Esercizi sulle Serie di Potenze

Esercizio 1: Determinazione del Raggio di Convergenza

Determina il raggio di convergenza della serie:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$$

Soluzione:
Utilizziamo il criterio del rapporto:

a_n = \frac{x^n}{n^2}

$$a_n = \frac{x^n}{n^2}$$

Calcoliamo:

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^n}{n^2}}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}} \right| = 
\lim_{n \to \infty} |x| \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \right) 
= |x| 

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^n}{n^2}}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} |x| \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \right) = |x|$$

Il raggio di convergenza è quindi:

R = 1

$$R = 1$$

La serie converge per |x| < 1$|x| < 1$.

Esercizio 2: Convergenza della Serie

Verifica la convergenza della serie:

\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n$$

Soluzione:
Questa è una serie geometrica con ragione r = 2x$r = 2x$. La serie converge se:

|2x| < 1 

$$|2x| < 1$$

Quindi, la condizione per la convergenza è:

|x| < \frac{1}{2}

$$|x| < \frac{1}{2}$$

La serie converge per |x| < 0.5$|x| < 0.5$.

Esercizio 3: Serie di Potenze e Funzioni

Trova l’espressione della funzione associata alla seguente serie di potenze:

\sum_{n=0}^{\infty} x^n 

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

Soluzione:
Questa è una serie geometrica e converge per |x| < 1$|x| < 1$:

\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x} 

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}$$

per |x| < 1$|x| < 1$.

Esercizio 4: Espansione in Serie di Taylor

Trova la serie di Taylor della funzione f(x) = e^x$f(x) = e^x$ attorno a x = 0$x = 0$.

Soluzione:
La derivata n-esima di e^x$e^x$ è sempre e^x$e^x$. Quindi, calcoliamo i termini della serie:

• f(0) = e^0 = 1$f(0) = e^0 = 1$
• f'(0) = e^0 = 1$f'(0) = e^0 = 1$
• f''(0) = e^0 = 1$f''(0) = e^0 = 1$
• …

La formula della serie di Taylor è:

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + ... 
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... 
= e^x 

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + ... = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = e^x$$

La serie converge per ogni valore reale di x$x$.

Esercizio 5: Convergenza al Limite Estremo

Determina se la seguente serie converge o diverge al limite estremo:

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^{-p}, p > 0.

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^{-p}, p > 0.$$

Soluzione:
Questa è una serie alternata. Per applicare il criterio di Leibniz, dobbiamo verificare che i termini tendano a zero e che siano monotonicamente decrescenti.

I termini sono:

b_n = n^{-p}. 

$$b_n = n^{-p}.$$

Poiché b_n$b_n$ tende a zero quando n$n$ tende a infinito, e poiché b_n$b_n$ è monotonicamente decrescente per ogni p > 0$p > 0$, la serie converge.

English version

Power Series Exercises

Power Series Theory

Definition

A power series is an expression of the form:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$$

where:

• a_n$a_n$ are the coefficients of the series.
• c$c$ is the center of the series.
• x$x$ is the variable.

The series converges for some values ​​of x$x$ and diverges for others. The set of values ​​of x$x$ for which the series converges is called the interval of convergence.

Radius of Convergence

The radius of convergence R$R$ can be determined using the ratio criterion:

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$

or the ratio criterion:

R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$

If |x - c| < R$|x - c| < R$, the series converges; if |x - c| > R$|x - c| > R$, the series diverges. For |x - c| = R$|x - c| = R$, convergence must be checked separately.

Common Examples

• The geometric series:

\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)

$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)$$

• The Taylor series for a function f(x)$f(x)$ around a point c$c$:

f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + ...

$$f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + ...$$

Power Series Exercises

Exercise 1: Determining the Radius of Convergence

Determine the radius of convergence of the series:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$$

Solution:
We use the ratio criterion:

a_n = \frac{x^n}{n^2}

$$a_n = \frac{x^n}{n^2}$$

Let’s calculate:

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^n}{n^2}}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}} \right| =
\lim_{n \to \infty} |x| \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \right)
= |x|

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^n}{n^2}}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} |x| \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \right) = |x|$$

The radius of convergence is therefore:

R = 1

$$R = 1$$

The series converges for $|x| <$1.

Exercise 2: Convergence of the Series

Check the convergence of the series:

\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n$$

Solution:
This is a geometric series with ratio r = 2x$r = 2x$. The series converges if:

|2x| < 1

$$|2x| < 1$$

So, the condition for convergence is:

|x| < \frac{1}{2}

$$|x| < \frac{1}{2}$$

The series converges for |x| < 0.5$|x| < 0.5$.

Exercise 3: Power Series and Functions

Find the expression of the function associated with the following power series:

\sum_{n=0}^{\infty} x^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

Solution:
This is a geometric series and converges for |x| < 1$|x| < 1$:

\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}$$

for |x| < 1$|x| < 1$.

Exercise 4: Taylor Series Expansion

Find the Taylor series of the function f(x) = e^x$f(x) = e^x$ around x = 0$x = 0$.

Solution:
The n-th derivative of e^x$e^x$ is always e^x$e^x$. So, let’s calculate the terms of the series:

• f(0) = e^0 = 1$f(0) = e^0 = 1$
• f'(0) = e^0 = 1$f'(0) = e^0 = 1$
• f''(0) = e^0 = 1$f''(0) = e^0 = 1$
• …

The Taylor series formula is:

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + ...
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...
= e^x

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + ... = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = e^x$$

The series converges for every real value of x$x$.

Exercise 5: Convergence at the Extreme Limit

Determine whether the following series converges or diverges at the extreme limit:

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^{-p}, p > 0.

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^{-p}, p > 0.$$

Solution:
This is an alternating series. To apply the Leibniz criterion, we must verify that the terms tend to zero and that they are monotonically decreasing.

The terms are:

b_n = n^{-p}. 

$$b_n = n^{-p}.$$

Since b_n$b_n$ tends to zero as n$n$ tends to infinity, and since b_n$b_n$ is monotonically decreasing for all p > 0$p > 0$, the series converges.