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Esercizi sulle Formule di Green
Le formule di Green sono strumenti fondamentali nell’analisi vettoriale e collegano l’integrale di una funzione su una regione del piano con l’integrale della sua derivata su un contorno di quella regione. Esistono due forme principali delle formule di Green: la forma per il campo scalare e la forma per il campo vettoriale.
Concetti Chiave
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Teorema di Green: Se C è un contorno chiuso e D è la regione delimitata da C, allora per un campo vettoriale \mathbf{F} = (P, Q) con P e Q continue su D e con derivate parziali continue, si ha:
\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA
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Interpretazione Geometrica: L’integrale a sinistra rappresenta il lavoro fatto da un campo vettoriale lungo il contorno C, mentre l’integrale a destra rappresenta il flusso del rotore del campo attraverso la regione D.
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Applicazioni: Le formule di Green sono utilizzate in fisica e ingegneria, ad esempio per calcolare il lavoro, il flusso e in problemi di elettromagnetismo.
Esercizi
Esercizio 1
Calcola l’integrale di linea:
\oint_C (x^2 \, dy + y^2 \, dx)
dove C è il contorno del quadrato con vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Soluzione:
Identifichiamo P = y^2 e Q = x^2. Calcoliamo le derivate parziali:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2y
Quindi, il rotore è:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2y
Ora calcoliamo l’integrale doppio su D:
\iint_D (2x - 2y) \, dA
Dove D è il quadrato con 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1:
\iint_D (2x - 2y) \, dA = \int_0^1 \int_0^1 (2x - 2y) \, dy \, dx
Calcoliamo l’integrale interno:
\int_0^1 (2x - 2y) \, dy = [2xy - y^2]_0^1 = 2x - 1
Ora calcoliamo l’integrale esterno:
\int_0^1 (2x - 1) \, dx = [x^2 - x]_0^1 = 1 - 1 = 0
Quindi:
\oint_C (x^2 \, dy + y^2 \, dx) = 0
Esercizio 2
Verifica il Teorema di Green per il campo vettoriale \mathbf{F} = (y, x) su un cerchio di raggio 1 centrato nell’origine.
Soluzione:
Identifichiamo P = y e Q = x. Calcoliamo le derivate parziali:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1
Quindi, il rotore è:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 1 = 0
Ora calcoliamo l’integrale doppio su D (il cerchio di raggio 1):
\iint_D 0 \, dA = 0
Quindi, secondo il Teorema di Green, abbiamo:
\oint_C (y \, dx + x \, dy) = 0
Questo è coerente con il fatto che il rotore del campo vettoriale è zero, il che implica che non c’è flusso attraverso il contorno C.
Esercizio 3
Calcola l’integrale di linea:
\oint_C (3x^2 \, dy + 2y^2 \, dx)
dove C è il contorno del triangolo con vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Soluzione:
Identifichiamo P = 2y^2 e Q = 3x^2. Calcoliamo le derivate parziali:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 4y
Quindi, il rotore è:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 6x - 4y
Ora calcoliamo l’integrale doppio su D (il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (1,1)):
\iint_D (6x - 4y) \, dA
Per calcolare l’integrale, possiamo usare i limiti di integrazione per il triangolo:
\iint_D (6x - 4y) \, dA = \int_0^1 \int_0^x (6x - 4y) \, dy \, dx
Calcoliamo l’integrale interno:
\int_0^x (6x - 4y) \, dy = [6xy - 2y^2]_0^x = 6x^2 - 2x^2 = 4x^2
Ora calcoliamo l’integrale esterno:
\int_0^1 4x^2 \, dx = \left[ \frac{4}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{4}{3}
Quindi, secondo il Teorema di Green, abbiamo:
\oint_C (3x^2 \, dy + 2y^2 \, dx) = \frac{4}{3}
English version
Green’s Formulas Exercises
Green’s formulas are fundamental tools in vector analysis and connect the integral of a function over a region of the plane with the integral of its derivative over a contour of that region. There are two main forms of Green’s formulas: the scalar field form and the vector field form.
Key Concepts
- Green’s Theorem: If C is a closed boundary and D is the region bounded by C, then for a vector field \mathbf{F} = (P, Q) with P and Q continuous on D and with continuous partial derivatives, we have:
\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA
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Geometric Interpretation: The integral on the left represents the work done by a vector field along the boundary C, while the integral on the right represents the flux of the field’s rotor through the region D.
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Applications: Green’s formulas are used in physics and engineering, for example to calculate work, flux and in problems of electromagnetism.
Exercises
Exercise 1
Calculate the line integral:
\oint_C (x^2 \, dy + y^2 \, dx)
where C is the boundary of the square with vertices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Solution:
Let P = y^2 and Q = x^2. Let’s calculate the partial derivatives:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2y
So, the curl is:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2y
Now let’s calculate the double integral on D:
\iint_D (2x - 2y) \, dA
Where D is the square with 0 \leq x \leq 1 and 0 \leq y \leq 1:
\iint_D (2x - 2y) \, dA = \int_0^1 \int_0^1 (2x - 2y) \, dy \, dx
Let’s calculate the internal integral:
\int_0^1 (2x - 2y) \, dy = [2xy - y^2]_0^1 = 2x - 1
Now let’s calculate the external integral:
\int_0^1 (2x - 1) \, dx = [x^2 - x]_0^1 = 1 - 1 = 0
So:
\oint_C (x^2 \, dy + y^2 \, dx) = 0
Exercise 2
Verify Green’s Theorem for the vector field \mathbf{F} = (y, x) on a circle of radius 1 centered at the origin.
Solution:
Let’s identify P = y and Q = x. Let’s compute the partial derivatives:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1
So, the curl is:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 1 = 0
Now let’s compute the double integral on D (the circle of radius 1):
\iint_D 0 \, dA = 0
So, by Green’s Theorem, we have:
\oint_C (y \, dx + x \, dy) = 0
This is consistent with the fact that the curl of the vector field is zero, which implies that there is no flux through the boundary C.
Exercise 3
Calculate the line integral:
\oint_C (3x^2 \, dy + 2y^2 \, dx)
where C is the contour of the triangle with vertices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Solution:
Let P = 2y^2 and Q = 3x^2. Let’s calculate the partial derivatives:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 4y
So, the curl is:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 6x - 4y
Now let’s calculate the double integral on D (the triangle with vertices (0,0), (1,0), (1,1)):
\iint_D (6x - 4y) \, dA
To calculate the integral, we can use the limits of integration for the triangle:
\iint_D (6x - 4y) \, dA = \int_0^1 \int_0^x (6x - 4y) \, dy \, dx
Let’s calculate the internal integral:
\int_0^x (6x - 4y) \, dy = [6xy - 2y^2]_0^x = 6x^2 - 2x^2 = 4x^2
Now let’s calculate the external integral:
\int_0^1 4x^2 \, dx = \left[ \frac{4}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{4}{3}
So, according to Green’s Theorem, we have:
\oint_C (3x^2 \, dy + 2y^2 \, dx) = \frac{4}{3}
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