Esercizi sulle basi canoniche

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Versione italiana

Esercizi sulle basi canoniche

Teoria delle Basi Canoniche

In algebra lineare, una base canonica è un insieme di vettori che può generare uno spazio vettoriale. In particolare, nel caso di uno spazio vettoriale di dimensione n$n$ su un campo \mathbb{K}$\mathbb{K}$, la base canonica è costituita dai vettori unitari:

e_1 = (1, 0, 0, \ldots, 0)

$$e_1 = (1, 0, 0, \ldots, 0)$$

e_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0)

$$e_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0)$$

\vdots

$$\vdots$$

e_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)

$$e_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)$$

Questi vettori hanno la proprietà che ogni vettore nello spazio può essere scritto come una combinazione lineare di questi vettori. Ad esempio, un vettore v = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$v = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ può essere rappresentato come:

v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n

$$v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n$$

Esercizi

Esercizio 1: Rappresentazione di Vettori

Dati i seguenti vettori nello spazio \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$:

1. v_1 = (3, -2, 5)$v_1 = (3, -2, 5)$
2. v_2 = (0, 4, -1)$v_2 = (0, 4, -1)$

Scrivi ciascun vettore come combinazione lineare dei vettori della base canonica.

Soluzione

Per il vettore v_1$v_1$:

v_1 = 3 e_1 - 2 e_2 + 5 e_3

$$v_1 = 3 e_1 - 2 e_2 + 5 e_3$$

Per il vettore v_2$v_2$:

v_2 = 0 e_1 + 4 e_2 - 1 e_3

$$v_2 = 0 e_1 + 4 e_2 - 1 e_3$$

Esercizio 2: Determinazione della Combinazione Lineare

Verifica se il vettore w = (1, -3, 2)$w = (1, -3, 2)$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori u_1 = (2, -1, 3)$u_1 = (2, -1, 3)$, u_2 = (0, 4, -1)$u_2 = (0, 4, -1)$, e u_3 = (1, 0, -1)$u_3 = (1, 0, -1)$.

Soluzione

Per trovare se w$w$ è una combinazione lineare di u_1$u_1$, u_2$u_2$, e u_3$u_3$, risolviamo il sistema:

x(2,-1,3) + y(0,4,-1) + z(1,0,-1) = (1,-3,2)

$$x(2,-1,3) + y(0,4,-1) + z(1,0,-1) = (1,-3,2)$$

Questo porta al seguente sistema di equazioni:

• 2x + z = 1 

  $$2x + z = 1$$

• -x + 4y = -3 

  $$-x + 4y = -3$$

• 3x - y - z = 2 

  $$3x - y - z = 2$$

Risolvi il sistema per trovare i valori di x$x$, y$y$, e z$z$.

Esercizio 3: Trasformazione in Base Canonica

Data la matrice:

A = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 3 & 4\\
5 & -6 & 7
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4\\ 5 & -6 & 7 \end{pmatrix}$$

Trova le coordinate dei vettori colonna di A$A$ rispetto alla base canonica.

Soluzione

Le colonne della matrice sono già espresse rispetto alla base canonica. Quindi le coordinate sono semplicemente i valori delle colonne:

• Prima colonna: (1, 0, 5)$(1, 0, 5)$
• Seconda colonna: (2, 3, -6)$(2, 3, -6)$
• Terza colonna: (-1, 4, 7)$(-1, 4, 7)$

English version

Canonical Bases Exercises

Canonical Bases Theory

In linear algebra, a canonical basis is a set of vectors that can generate a vector space. In particular, in the case of a vector space of dimension n$n$ over a field \mathbb{K}$\mathbb{K}$, the canonical basis is constituted by the unit vectors:

e_1 = (1, 0, 0, \ldots, 0)

$$e_1 = (1, 0, 0, \ldots, 0)$$

e_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0)

$$e_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0)$$

\vdots

$$\vdots$$

e_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)

$$e_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)$$

These vectors have the property that every vector in the space can be written as a linear combination of these vectors. For example, a vector v = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$v = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ can be represented as:

v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n

$$v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n$$

Exercises

Exercise 1: Representation of Vectors

Given the following vectors in the space \mathbb{R}^3$\mathbb{R}^3$:

1. v_1 = (3, -2, 5)$v_1 = (3, -2, 5)$
2. v_2 = (0, 4, -1)$v_2 = (0, 4, -1)$

Write each vector as a linear combination of the canonical basis vectors.

Solution

For the vector v_1$v_1$:

v_1 = 3 e_1 - 2 e_2 + 5 e_3

$$v_1 = 3 e_1 - 2 e_2 + 5 e_3$$

For the vector v_2$v_2$:

v_2 = 0 e_1 + 4 e_2 - 1 e_3

$$v_2 = 0 e_1 + 4 e_2 - 1 e_3$$

Exercise 2: Determining the Linear Combination

Check whether the vector w = (1, -3, 2)$w = (1, -3, 2)$ can be written as a linear combination of the vectors u_1 = (2, -1, 3)$u_1 = (2, -1, 3)$, u_2 = (0, 4, -1)$u_2 = (0, 4, -1)$, and u_3 = (1, 0, -1)$u_3 = (1, 0, -1)$.

Solution

To find if w$w$ is a linear combination of u_1$u_1$, u_2$u_2$, and u_3$u_3$, we solve the system:

x(2,-1,3) + y(0,4,-1) + z(1,0,-1) = (1,-3,2)

$$x(2,-1,3) + y(0,4,-1) + z(1,0,-1) = (1,-3,2)$$

This leads to the following system of equations:

• 2x + z = 1 

  $$2x + z = 1$$

• -x + 4y = -3 

  $$-x + 4y = -3$$

• 3x - y - z = 2 

  $$3x - y - z = 2$$

Solve the system to find the values ​​of x$x$, y$y$, and z$z$.

Exercise 3: Transformation in Canonical Basis

Given the matrix:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
0 & 3 & 4\\
5 & -6 & 7
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4\\ 5 & -6 & 7 \end{pmatrix}$$

Find the coordinates of the column vectors of A$A$ with respect to the canonical basis.

Solution

The columns of the matrix are already expressed with respect to the canonical basis. So the coordinates are simply the values ​​of the columns:

• First column: (1, 0, 5)$(1, 0, 5)$
• Second column: (2, 3, -6)$(2, 3, -6)$
• Third column: (-1, 4, 7)$(-1, 4, 7)$