Esercizi sull'Analisi di un Segnale

Esercizi sull'Analisi di un Segnale

Esercizi sull'Analisi di un Segnale

Versione italiana

Esercizi sull’Analisi di un Segnale

Concetti Chiave

L’analisi di un segnale è un processo fondamentale in ingegneria e scienze applicate, che consente di comprendere le caratteristiche e il comportamento di un segnale nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza. Alcuni concetti chiave includono:

1. Segnale

Un segnale è una funzione che trasmette informazioni. Può essere continuo o discreto e può rappresentare grandezze fisiche come tensione, corrente, temperatura, ecc.

2. Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è uno strumento matematico che consente di analizzare un segnale nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier di un segnale continuo x(t)$x(t)$ è data da:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

dove:

• X(f)$X(f)$ è la rappresentazione del segnale nel dominio della frequenza,
• f$f$ è la frequenza,
• j$j$ è l’unità immaginaria.

3. Spettro di Frequenza

Lo spettro di frequenza di un segnale rappresenta la distribuzione della potenza o dell’ampiezza del segnale in funzione della frequenza. Può essere ottenuto dalla trasformata di Fourier.

4. Analisi Spettrale

L’analisi spettrale è il processo di esaminare lo spettro di frequenza di un segnale per identificare le sue componenti frequenziali.

Esercizi

Esercizio 1: Trasformata di Fourier di un Segnale Semplice

Calcola la trasformata di Fourier del segnale x(t) = e^{-at} u(t)$x(t) = e^{-at} u(t)$, dove u(t)$u(t)$ è la funzione unità di Heaviside e a > 0$a > 0$.

Soluzione:

La trasformata di Fourier è data da:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

Semplificando:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt$

L’integrale converge per a > 0$a > 0$:

X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Quindi, la trasformata di Fourier del segnale è:

X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Esercizio 2: Spettro di Frequenza di un Segnale Periodico

Considera un segnale periodico x(t)$x(t)$ con periodo T$T$ definito come:

x(t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) $x(t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

Calcola le componenti spettrali del segnale.

Soluzione:

La trasformata di Fourier di un segnale sinusoidale è data da:

X(f) = \frac{A}{2j} \left[ \delta\left(f - \frac{1}{T}\right) - \delta\left(f + \frac{1}{T}\right) \right] $X(f) = \frac{A}{2j} \left[ \delta\left(f - \frac{1}{T}\right) - \delta\left(f + \frac{1}{T}\right) \right]$

Dove \delta(f)$\delta(f)$ è la funzione delta di Dirac. Le componenti spettrali del segnale sono quindi:

• Una componente a f = \frac{1}{T}$f = \frac{1}{T}$ con ampiezza \frac{A}{2}$\frac{A}{2}$
• Una componente a f = -\frac{1}{T}$f = -\frac{1}{T}$ con ampiezza -\frac{A}{2}$-\frac{A}{2}$

Esercizio 3: Analisi Spettrale di un Segnale Composito

Considera un segnale composito definito come:

x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t) $x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t)$

dove f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$ e f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$.

Il segnale composito è dato da:

x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t) $x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t)$

dove f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$ e f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$.

Per calcolare le componenti spettrali, possiamo utilizzare le trasformate di Fourier delle funzioni sinusoidali.

1. Trasformata di Fourier di 2 \cos(2\pi f_1 t)$2 \cos(2\pi f_1 t)$:

La trasformata di Fourier di una cosenoide è data da:

X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - f_1) + \delta(f + f_1) \right] $X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - f_1) + \delta(f + f_1) \right]$

Sostituendo f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$:

X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] $X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right]$

2. Trasformata di Fourier di 3 \sin(2\pi f_2 t)$3 \sin(2\pi f_2 t)$:

La trasformata di Fourier di una sinusoide è data da:

X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - f_2) - \delta(f + f_2) \right] $X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - f_2) - \delta(f + f_2) \right]$

Sostituendo f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$:

X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right] $X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right]$

3. Componente Spettrale Totale:

La trasformata di Fourier totale del segnale composito è quindi la somma delle due trasformate:

X(f) = X_1(f) + X_2(f) $X(f) = X_1(f) + X_2(f)$

Sostituendo i risultati:

X(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] + \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right] $X(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] + \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right]$

Risultati Finali

Le componenti spettrali del segnale composito x(t)$x(t)$ sono:

• Una componente a f = 1 \, \text{Hz}$f = 1 \, \text{Hz}$ con ampiezza \pi$\pi$
• Una componente a f = -1 \, \text{Hz}$f = -1 \, \text{Hz}$ con ampiezza \pi$\pi$
• Una componente a f = 2 \, \text{Hz}$f = 2 \, \text{Hz}$ con ampiezza \frac{3}{2j}$\frac{3}{2j}$
• Una componente a f = -2 \, \text{Hz}$f = -2 \, \text{Hz}$ con ampiezza -\frac{3}{2j}$-\frac{3}{2j}$

English version

Signal Analysis Exercises

Key Concepts

Signal analysis is a fundamental process in engineering and applied sciences, which allows us to understand the characteristics and behavior of a signal in the time domain and the frequency domain. Some key concepts include:

1. Signal

A signal is a function that conveys information. It can be continuous or discrete and can represent physical quantities such as voltage, current, temperature, etc.

2. Fourier Transform

The Fourier transform is a mathematical tool that allows us to analyze a signal in the frequency domain. The Fourier transform of a continuous signal x(t)$x(t)$ is given by:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

where:

• X(f)$X(f)$ is the frequency domain representation of the signal,
• f$f$ is the frequency,
• j$j$ is the imaginary unit.

3. Frequency Spectrum

The frequency spectrum of a signal represents the distribution of the power or amplitude of the signal as a function of frequency. It can be obtained from the Fourier transform.

4. Spectral Analysis

Spectral analysis is the process of examining the frequency spectrum of a signal to identify its frequency components.

Exercises

Exercise 1: Fourier Transform of a Simple Signal

Calculate the Fourier transform of the signal x(t) = e^{-at} u(t)$x(t) = e^{-at} u(t)$, where u(t)$u(t)$ is the Heaviside unit function and a > 0$a > 0$.

Solution:

The Fourier transform is given by:

X(f) = \int_0}

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 15: X(f) = \int_0}̲

Simplifying:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt$

The integral converges for a > 0$a > 0$:

X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

So, the Fourier transform of the signal is:

X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Exercise 2: Frequency Spectrum of a Periodic Signal

Consider a periodic signal x(t)$x(t)$ with period T$T$ defined as:

x(t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) $x(t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

Calculate the spectral components of the signal.

Solution:

The Fourier transform of a sinusoidal signal is given by:

X(f) = \frac{A}{2j} \left[ \delta\left(f - \frac{1}{T}\right) - \delta\left(f + \frac{1}{T}\right) \right] $X(f) = \frac{A}{2j} \left[ \delta\left(f - \frac{1}{T}\right) - \delta\left(f + \frac{1}{T}\right) \right]$

Where \delta(f)$\delta(f)$ is the Dirac delta function. The spectral components of the signal are then:

• A component at f = \frac{1}{T}$f = \frac{1}{T}$ with amplitude \frac{A}{2}$\frac{A}{2}$
• A component at f = -\frac{1}{T}$f = -\frac{1}{T}$ with amplitude -\frac{A}{2}$-\frac{A}{2}$

Exercise 3: Spectral Analysis of a Composite Signal

Consider a composite signal defined as:

x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t) $x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t)$

where f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$ and f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$.

The composite signal is given by:

x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t) $x(t) = 2 \cos(2\pi f_1 t) + 3 \sin(2\pi f_2 t)$

where f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$ and f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$.

To calculate the spectral components, we can use the Fourier transforms of the sinusoidal functions.

1. Fourier transform of 2 \cos(2\pi f_1 t)$2 \cos(2\pi f_1 t)$:

The Fourier transform of a cosine is given by:

X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - f_1) + \delta(f + f_1) \right] $X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - f_1) + \delta(f + f_1) \right]$

Substituting f_1 = 1 \, \text{Hz}$f_1 = 1 \, \text{Hz}$:

X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] $X_1(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right]$

2. Fourier transform of 3 \sin(2\pi f_2 t)$3 \sin(2\pi f_2 t)$:

The Fourier transform of a sinusoid is given by:

X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - f_2) - \delta(f + f_2) \right] $X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - f_2) - \delta(f + f_2) \right]$

Substituting f_2 = 2 \, \text{Hz}$f_2 = 2 \, \text{Hz}$:

X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right] $X_2(f) = \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right]$

3. Total Spectral Component:

The total Fourier transform of the composite signal is therefore the sum of the two transforms:

X(f) = X_1(f) + X_2(f) $X(f) = X_1(f) + X_2(f)$

Substituting the results:

X(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] + \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right] $X(f) = \pi \left[ \delta(f - 1) + \delta(f + 1) \right] + \frac{3}{2j} \left[ \delta(f - 2) - \delta(f + 2) \right]$

Final Results

The spectral components of the composite signal x(t)$x(t)$ are:

• A component at f = 1 \, \text{Hz}$f = 1 \, \text{Hz}$ with amplitude \pi$\pi$
• A component at f = -1 \, \text{Hz}$f = -1 \, \text{Hz}$ with amplitude \pi$\pi$
• A component at f = 2 \, \text{Hz}$f = 2 \, \text{Hz}$ with amplitude \frac{3}{2j}$\frac{3}{2j}$
• A component at f = -2 \, \text{Hz}$f = -2 \, \text{Hz}$ with amplitude -\frac{3}{2j}$-\frac{3}{2j}$