Esercizi sulla Trasformata di Fourier

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Versione italiana

Esercizi sulla Trasformata di Fourier

Concetti Chiave

La trasformata di Fourier è uno strumento matematico fondamentale per analizzare segnali e funzioni nel dominio della frequenza. Essa consente di decomporre un segnale in una somma di sinusoidi di diverse frequenze. La trasformata di Fourier di una funzione continua x(t)$x(t)$ è definita come:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

dove:

• X(f)$X(f)$ è la rappresentazione del segnale nel dominio della frequenza,
• f$f$ è la frequenza,
• j$j$ è l’unità immaginaria.

Proprietà della Trasformata di Fourier

1. Linearità: Se x_1(t)$x_1(t)$ e x_2(t)$x_2(t)$ hanno le trasformate di Fourier X_1(f)$X_1(f)$ e X_2(f)$X_2(f)$, allora:
   a x_1(t) + b x_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} a X_1(f) + b X_2(f) $a x_1(t) + b x_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} a X_1(f) + b X_2(f)$

2. Traslazione nel Tempo: Se x(t)$x(t)$ ha la trasformata X(f)$X(f)$, allora:
   x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f) e^{-j 2 \pi f t_0} $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f) e^{-j 2 \pi f t_0}$

3. Modulazione: Se x(t)$x(t)$ ha la trasformata X(f)$X(f)$, allora:
   x(t) e^{j 2 \pi f_0 t} \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f - f_0) $x(t) e^{j 2 \pi f_0 t} \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f - f_0)$

Esercizi

Esercizio 1: Trasformata di Fourier di un Segnale Esponenziale

Calcola la trasformata di Fourier del segnale x(t) = e^{-at} u(t)$x(t) = e^{-at} u(t)$, dove u(t)$u(t)$ è la funzione unità di Heaviside e a > 0$a > 0$.

Soluzione:

La trasformata di Fourier è data da:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

Semplificando:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt$

L’integrale converge per a > 0$a > 0$:

X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Quindi, la trasformata di Fourier del segnale è:

X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Esercizio 2: Trasformata di Fourier di un Segnale Sinusoidale

Calcola la trasformata di Fourier del segnale x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$.

Soluzione:

Utilizzando la definizione della trasformata di Fourier:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(2\pi f_0 t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(2\pi f_0 t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

Utilizzando l’identità di Eulero, possiamo scrivere:

\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j 2 \pi f_0 t} + e^{-j 2 \pi f_0 t}}{2}

$$\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j 2 \pi f_0 t} + e^{-j 2 \pi f_0 t}}{2}$$

Quindi:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt \right)$$

Semplificando, otteniamo:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt \right)$$

Le due integrali sono funzioni delta di Dirac:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt = \delta(f - f_0)

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt = \delta(f - f_0)$$

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt = \delta(f + f_0)

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt = \delta(f + f_0)$$

Pertanto, possiamo scrivere:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)$$

Conclusione:

La trasformata di Fourier del segnale sinusoidale x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$ è:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)$$

Questo risultato indica che il segnale sinusoidale ha componenti di frequenza f_0$f_0$ e -f_0$-f_0$ nel dominio della frequenza, ciascuna con ampiezza \frac{A}{2}$\frac{A}{2}$.

Esercizio 3: Trasformata di Fourier di un Segnale Rettangolare

Calcola la trasformata di Fourier del segnale x(t) = u(t) - u(t - T)$x(t) = u(t) - u(t - T)$, dove u(t)$u(t)$ è la funzione unità di Heaviside e T > 0$T > 0$.

Soluzione:

Il segnale x(t)$x(t)$ rappresenta un impulso rettangolare di durata T$T$. Possiamo scrivere:

x(t) =  \begin{cases}  1 & \text{se } 0 \leq t < T \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}

$$x(t) = \begin{cases} 1 & \text{se } 0 \leq t < T \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$$

La trasformata di Fourier è data da:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt = \int_{0}^{T} e^{-j 2 \pi f t} \, dt

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt = \int_{0}^{T} e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

Calcoliamo l’integrale:

X(f) = \left[ -\frac{1}{j 2 \pi f} e^{-j 2 \pi f t} \right]_{0}^{T} = -\frac{1}{j 2 \pi f} \left( e^{-j 2 \pi f T} - 1 \right)

$$X(f) = \left[ -\frac{1}{j 2 \pi f} e^{-j 2 \pi f t} \right]_{0}^{T} = -\frac{1}{j 2 \pi f} \left( e^{-j 2 \pi f T} - 1 \right)$$

Semplificando, otteniamo:

X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \left( 1 - e^{-j 2 \pi f T} \right)

$$X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \left( 1 - e^{-j 2 \pi f T} \right)$$

Utilizzando l’identità 1 - e^{-j \theta} = 2j \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-j \frac{\theta}{2}}$1 - e^{-j \theta} = 2j \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-j \frac{\theta}{2}}$, possiamo scrivere:

X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \cdot 2j \sin\left(\pi f T\right) e^{-j \pi f T} = \frac{2 \sin\left(\pi f T\right)}{2 \pi f} e^{-j \pi f T}

$$X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \cdot 2j \sin\left(\pi f T\right) e^{-j \pi f T} = \frac{2 \sin\left(\pi f T\right)}{2 \pi f} e^{-j \pi f T}$$

Quindi, la trasformata di Fourier del segnale è:

X(f) = \frac{\sin\left(\pi f T\right)}{\pi f} e^{-j \pi f T}

$$X(f) = \frac{\sin\left(\pi f T\right)}{\pi f} e^{-j \pi f T}$$

English version

Exercises on Fourier Transform

Key Concepts

The Fourier transform is a fundamental mathematical tool for analyzing signals and functions in the frequency domain. It allows us to decompose a signal into a sum of sinusoids of different frequencies. The Fourier transform of a continuous function x(t)$x(t)$ is defined as:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

where:

• X(f)$X(f)$ is the representation of the signal in the frequency domain,
• f$f$ is the frequency,
• j$j$ is the imaginary unit.

Properties of the Fourier Transform

1. Linearity: If x_1(t)$x_1(t)$ and x_2(t)$x_2(t)$ have the Fourier transforms X_1(f)$X_1(f)$ and X_2(f)$X_2(f)$, then:
   a x_1(t) + b x_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} a X_1(f) + b X_2(f) $a x_1(t) + b x_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} a X_1(f) + b X_2(f)$

2. Time Translation: If x(t)$x(t)$ has the transform X(f)$X(f)$, then:
   x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f) e^{-j 2 \pi f t_0} $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f) e^{-j 2 \pi f t_0}$

3. Modulation: If x(t)$x(t)$ has the transform X(f)$X(f)$, then:
   x(t) e^{j 2 \pi f_0 t} \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f - f_0) $x(t) e^{j 2 \pi f_0 t} \xrightarrow{\mathcal{F}} X(f - f_0)$

Exercises

Exercise 1: Fourier Transform of an Exponential Signal

Calculate the Fourier transform of the signal x(t) = e^{-at} u(t)$x(t) = e^{-at} u(t)$, where u(t)$u(t)$ is the Heaviside unit function and a > 0$a > 0$.

Solution:

The Fourier transform is given by:

X(f) = \int_0}

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 15: X(f) = \int_0}̲

Simplifying:

X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt $X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \, dt$

The integral converges for a > 0$a > 0$:

X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \left[ -\frac{1}{a + j 2 \pi f} e^{-(a + j 2 \pi f)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

So, the Fourier transform of the signal is:

X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f} $X(f) = \frac{1}{a + j 2 \pi f}$

Exercise 2: Fourier Transform of a Sinusoidal Signal

Calculate the Fourier transform of the signal x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$.

Solution:

Using the definition of the Fourier transform:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(2\pi f_0 t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} A \cos(2\pi f_0 t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

Using Euler’s identity, we can write:

\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j 2 \pi f_0 t} + e^{-j 2 \pi f_0 t}}{2}

$$\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j 2 \pi f_0 t} + e^{-j 2 \pi f_0 t}}{2}$$

So:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi f_0 t} e^{-j 2 \pi f t} \, dt \right)$$

Simplifying, we get:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt \right)$$

The two integrals are Dirac delta functions:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt = \delta(f - f_0)

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{j 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt = \delta(f - f_0)$$

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt = \delta(f + f_0)

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2 \pi (f_0 + f) t} \, dt = \delta(f + f_0)$$

Therefore, we can write:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)$$

Conclusion:

The Fourier transform of the sinusoidal signal x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$ is:

X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)

$$X(f) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right)$$

This result indicates that the sinusoidal signal has frequency components f_0$f_0$ and -f_0$-f_0$ in the frequency domain, each with amplitude \frac{A}{2}$\frac{A}{2}$.

Exercise 3: Fourier Transform of a Rectangular Signal

Calculate the Fourier transform of the signal x(t) = u(t) - u(t - T)$x(t) = u(t) - u(t - T)$, where u(t)$u(t)$ is the Heaviside unit function and T > 0$T > 0$.

Solution:

The signal x(t)$x(t)$ represents a rectangular pulse of duration T$T$. We can write:

x(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq t < T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

$$x(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq t < T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

The Fourier transform is given by:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt = \int_{0}^{T} e^{-j 2 \pi f t} \, dt

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt = \int_{0}^{T} e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

Let’s calculate the integral:

X(f) = \left[ -\frac{1}{j 2 \pi f} e^{-j 2 \pi f t} \right]_{0}^{T} = -\frac{1}{j 2 \pi f} \left( e^{-j 2 \pi f T} - 1 \right)

$$X(f) = \left[ -\frac{1}{j 2 \pi f} e^{-j 2 \pi f t} \right]_{0}^{T} = -\frac{1}{j 2 \pi f} \left( e^{-j 2 \pi f T} - 1 \right)$$

Simplifying, we get:

X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \left( 1 - e^{-j 2 \pi f T} \right)

$$X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \left( 1 - e^{-j 2 \pi f T} \right)$$

Using the identity 1 - e^{-j \theta} = 2j \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-j \frac{\theta}{2}}$1 - e^{-j \theta} = 2j \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-j \frac{\theta}{2}}$, we can write:

X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \cdot 2j \sin\left(\pi f T\right) e^{-j \pi f T} = \frac{2 \sin\left(\pi f T\right)}{2 \pi f} e^{-j \pi f T}

$$X(f) = \frac{1}{j 2 \pi f} \cdot 2j \sin\left(\pi f T\right) e^{-j \pi f T} = \frac{2 \sin\left(\pi f T\right)}{2 \pi f} e^{-j \pi f T}$$

So, the Fourier transform of the signal is:

X(f) = \frac{\sin\left(\pi f T\right)}{\pi f} e^{-j \pi f T}

$$X(f) = \frac{\sin\left(\pi f T\right)}{\pi f} e^{-j \pi f T}$$