Esercizi sulla Legge di Snell

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Versione italiana

Esercizi sulla Legge di Snell

Concetti Chiave

La legge di Snell descrive la rifrazione della luce quando passa da un mezzo a un altro con un diverso indice di rifrazione. La legge è espressa come:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

dove:

• n_1$n_1$ è l’indice di rifrazione del primo mezzo,
• n_2$n_2$ è l’indice di rifrazione del secondo mezzo,
• \theta_1$\theta_1$ è l’angolo di incidenza (l’angolo tra il raggio incidente e la normale alla superficie),
• \theta_2$\theta_2$ è l’angolo di rifrazione (l’angolo tra il raggio rifratto e la normale alla superficie).

Indici di Rifrazione

L’indice di rifrazione di un materiale è definito come:

n = \frac{c}{v} $n = \frac{c}{v}$

dove:

• c$c$ è la velocità della luce nel vuoto (circa 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$3 \times 10^8 \, \text{m/s}$),
• v$v$ è la velocità della luce nel materiale.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo dell’Angolo di Rifrazione

Un raggio di luce passa dall’aria (indice di rifrazione n_1 = 1.00$n_1 = 1.00$) all’acqua (indice di rifrazione n_2 = 1.33$n_2 = 1.33$) con un angolo di incidenza di 30^\circ$30^\circ$. Calcola l’angolo di rifrazione \theta_2$\theta_2$.

Soluzione:

Utilizziamo la legge di Snell:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Sostituendo i valori:

1.00 \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) $1.00 \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_2)$

Poiché \sin(30^\circ) = 0.5$\sin(30^\circ) = 0.5$:

1.00 \cdot 0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) $1.00 \cdot 0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2)$

Quindi:

0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376 $0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376$

Ora calcoliamo \theta_2$\theta_2$:

\theta_2 \approx \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ $\theta_2 \approx \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ$

Esercizio 2: Angolo di Incidenza Critico

Calcola l’angolo di incidenza critico quando la luce passa dall’acqua (indice di rifrazione n_1 = 1.33$n_1 = 1.33$) all’aria (indice di rifrazione n_2 = 1.00$n_2 = 1.00$).

Soluzione:

L’angolo di incidenza critico \theta_c$\theta_c$ si verifica quando \theta_2 = 90^\circ$\theta_2 = 90^\circ$. Utilizzando la legge di Snell:

n_1 \sin(\theta_c) = n_2 \sin(90^\circ) $n_1 \sin(\theta_c) = n_2 \sin(90^\circ)$

Sostituendo i valori:

1.33 \sin(\theta_c) = 1.00 \cdot 1 $1.33 \sin(\theta_c) = 1.00 \cdot 1$

Quindi:

\sin(\theta_c) = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.7519 $\sin(\theta_c) = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.7519$

Ora calcoliamo \theta_c$\theta_c$:

\theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.6^\circ $\theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.6^\circ$

Esercizio 3: Riflessione Totale Interna

Un raggio di luce passa dall’acqua (indice di rifrazione n_1 = 1.33$n_1 = 1.33$) all’aria (indice di rifrazione n_2 = 1.00$n_2 = 1.00$) con un angolo di incidenza di 60^\circ$60^\circ$. Determina se si verifica la riflessione totale interna.

Soluzione:

Calcoliamo l’angolo di rifrazione \theta_2$\theta_2$ utilizzando la legge di Snell:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Sostituendo i valori:

1.33 \sin(60^\circ) = 1.00 \sin(\theta_2) $1.33 \sin(60^\circ) = 1.00 \sin(\theta_2)$

Calcoliamo \sin(60^\circ)$\sin(60^\circ)$:

\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

Sostituendo:

1.33 \cdot 0.866 = 1.00 \sin(\theta_2) $1.33 \cdot 0.866 = 1.00 \sin(\theta_2)$

Calcoliamo il prodotto:

1.15258 = \sin(\theta_2) $1.15258 = \sin(\theta_2)$

Poiché \sin(\theta_2)$\sin(\theta_2)$ non può essere maggiore di 1, ciò indica che non esiste un angolo di rifrazione \theta_2$\theta_2$ valido. Pertanto, si verifica la riflessione totale interna.

English version

Snell’s Law Exercises

Key Concepts

Snell’s law describes the refraction of light when it passes from one medium to another with a different refractive index. The law is expressed as:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

where:

• n_1$n_1$ is the refractive index of the first medium,
• n_2$n_2$ is the refractive index of the second medium,
• \theta_1$\theta_1$ is the angle of incidence (the angle between the incident ray and the normal to the surface),
• \theta_2$\theta_2$ is the angle of refraction (the angle between the refracted ray and the normal to the surface).

Refractive Indices

The refractive index of a material is defined as:

n = \frac{c}{v} $n = \frac{c}{v}$

where:

• c$c$ is the speed of light in vacuum (about 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$3 \times 10^8 \, \text{m/s}$),
• v$v$ is the speed of light in the material.

Exercises

Exercise 1: Calculating the Angle of Refraction

A ray of light passes from air (refractive index n_1 = 1.00$n_1 = 1.00$) to water (refractive index n_2 = 1.33$n_2 = 1.33$) with an angle of incidence of 30^\circ$30^\circ$. Calculate the angle of refraction \theta_2$\theta_2$.

Solution:

We use Snell’s law:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Substituting the values:

1.00 \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) $1.00 \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_2)$

Since \sin(30^\circ) = 0.5$\sin(30^\circ) = 0.5$:

1.00 \cdot 0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) $1.00 \cdot 0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2)$

So:

0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376 $0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376$

Now let’s calculate \theta_2$\theta_2$:

\theta_2 \approx \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ $\theta_2 \approx \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ$

Exercise 2: Critical Angle of Incidence

Calculate the critical angle of incidence when light passes from water (refractive index n_1 = 1.33$n_1 = 1.33$) to air (refractive index n_2 = 1.00$n_2 = 1.00$).

Solution:

The critical angle of incidence \theta_c$\theta_c$ occurs when \theta_2 = 90^\circ$\theta_2 = 90^\circ$. Using Snell’s law:

n_1 \sin(\theta_c) = n_2 \sin(90^\circ) $n_1 \sin(\theta_c) = n_2 \sin(90^\circ)$

Substituting the values:

1.33 \sin(\theta_c) = 1.00 \cdot 1 $1.33 \sin(\theta_c) = 1.00 \cdot 1$

So:

\sin(\theta_c) = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.7519 $\sin(\theta_c) = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.7519$

Now let’s calculate \theta_c$\theta_c$:

\theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.6^\circ $\theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.6^\circ$

Exercise 3: Total Internal Reflection

A ray of light passes from water (refractive index n_1 = 1.33$n_1 = 1.33$) to air (refractive index n_2 = 1.00$n_2 = 1.00$) with an incidence angle of 60^\circ$60^\circ$. Determine whether total internal reflection occurs.

Solution:

Let’s calculate the angle of refraction \theta_2$\theta_2$ using Snell’s law:

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Substituting the values:

1.33 \sin(60^\circ) = 1.00 \sin(\theta_2) $1.33 \sin(60^\circ) = 1.00 \sin(\theta_2)$

Let’s calculate \sin(60^\circ)$\sin(60^\circ)$:

\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

Substituting:

1.33 \cdot 0.866 = 1.00 \sin(\theta_2) $1.33 \cdot 0.866 = 1.00 \sin(\theta_2)$

Let’s calculate the product:

1.15258 = \sin(\theta_2) $1.15258 = \sin(\theta_2)$

Since \sin(\theta_2)$\sin(\theta_2)$ cannot be greater than 1, this indicates that there is no valid \theta_2$\theta_2$ refraction angle. Therefore, total internal reflection occurs.