Esercizi sulla legge di Keplero

Esercizi sulla legge di Keplero

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Versione italiana

Esercizi sulla legge di Keplero

Teoria delle Leggi di Keplero

Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole e sono fondamentali nella comprensione dell’astronomia e della meccanica celeste. Formulate dall’astronomo tedesco Johannes Kepler nel XVII secolo, queste leggi sono composte da tre principi principali:

1. Prima Legge di Keplero (Legge delle orbite): Ogni pianeta si muove lungo un’orbita ellittica, con il Sole in uno dei due fuochi dell’ellisse.

2. Seconda Legge di Keplero (Legge delle aree): Una linea immaginaria che collega un pianeta al Sole copre aree uguali in tempi uguali. Questo implica che i pianeti si muovono più rapidamente quando sono più vicini al Sole (perielio) e più lentamente quando sono più lontani (afelio).

3. Terza Legge di Keplero (Legge dei periodi): Il quadrato del periodo orbitale di un pianeta (T) è proporzionale al cubo della semilarghezza maggiore (a) della sua orbita:

   T^2 \propto a^3

   $$T^2 \propto a^3$$

   In forma matematica, per i pianeti del sistema solare:

   \frac{T^2}{a^3} = k

   $$\frac{T^2}{a^3} = k$$

   dove k$k$ è una costante che vale circa 1 per i pianeti del sistema solare, se T$T$ è in anni e a$a$ in unità astronomiche (AU).

Esercizi sulle Leggi di Keplero

Esercizio 1: Orbita Ellittica

Un pianeta ha un’orbita ellittica con una semilarghezza maggiore di a = 1.5 \, \text{AU}$a = 1.5 \, \text{AU}$ e una semilarghezza minore di b = 1.2 \, \text{AU}$b = 1.2 \, \text{AU}$. Calcola l’eccentricità dell’orbita.

Soluzione:
L’eccentricità (e$e$) si calcola con la formula:

e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}

$$e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}$$

Sostituendo i valori:

e = \sqrt{1 - \left(\frac{1.2}{1.5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6

$$e = \sqrt{1 - \left(\frac{1.2}{1.5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$$

Esercizio 2: Legge delle Aree

Un pianeta impiega 365 giorni per completare un’orbita attorno al Sole. Se la distanza media dal Sole è di 1 AU, calcola la velocità areale del pianeta.

Soluzione:
La velocità areale (A$A$) è data dalla formula:

A = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt}

$$A = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt}$$

Dove r$r$ è la distanza media dal Sole e d\theta/dt$d\theta/dt$ è la velocità angolare. Poiché il pianeta compie un’orbita completa in 365 giorni:

\frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{365} \, \text{rad/giorno}

$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{365} \, \text{rad/giorno}$$

Sostituendo:

A = \frac{1}{2} (1)^2 \cdot \frac{2\pi}{365} = \frac{\pi}{365} \approx 0.0086 \, \text{AU}^2/\text{giorno}

$$A = \frac{1}{2} (1)^2 \cdot \frac{2\pi}{365} = \frac{\pi}{365} \approx 0.0086 \, \text{AU}^2/\text{giorno}$$

Esercizio 3: Periodo Orbitale

Un asteroide ha una semilarghezza maggiore di a = 3\, AU$a = 3\, AU$. Calcola il suo periodo orbitale.

Soluzione:
Utilizzando la terza legge di Keplero:

T^2 = k a^3

$$T^2 = k a^3$$

Con k \approx 1$k \approx 1$ per il sistema solare:

T^2 = 3^3 = 27 

$$T^2 = 3^3 = 27$$

Quindi:

T = \sqrt{27} \approx 5.2\, anni

$$T = \sqrt{27} \approx 5.2\, anni$$

Esercizio Avanzato: Comparazione dei Periodi Orbitali

Confronta i periodi orbitali di due pianeti nel sistema solare, uno con una semilarghezza maggiore di a_1 = 1\, AU$a_1 = 1\, AU$ e l’altro con a_2 = 4\, AU$a_2 = 4\, AU$. Calcola il rapporto dei loro periodi orbitali.

Soluzione:
Utilizzando la terza legge di Keplero:

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$$

Sostituendo i valori:

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(1)^3}{(4)^3} = \frac{1}{64}

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(1)^3}{(4)^3} = \frac{1}{64}$$

Quindi:

\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$$

English version

Kepler’s Law Exercises

Kepler’s Laws Theory

Kepler’s Laws describe the motion of planets around the Sun and are fundamental to understanding astronomy and celestial mechanics. Formulated by German astronomer Johannes Kepler in the 17th century, these laws consist of three main principles:

1. Kepler’s First Law (Law of Orbits): Each planet moves in an elliptical orbit, with the Sun at one of the ellipse’s two foci.

2. Kepler’s Second Law (Law of Areas): An imaginary line connecting a planet to the Sun covers equal areas in equal times. This means that planets move faster when they are closer to the Sun (perihelion) and slower when they are farther away (aphelion).

3. Kepler’s Third Law (Law of Periods): The square of a planet’s orbital period (T) is proportional to the cube of the major semi-width (a) of its orbit:

T^2 \propto a^3

$$T^2 \propto a^3$$

In mathematical form, for the planets of the solar system:

\frac{T^2}{a^3} = k

$$\frac{T^2}{a^3} = k$$

where k$k$ is a constant that is approximately 1 for the planets of the solar system, if T$T$ is in years and a$a$ is in astronomical units (AU).

Exercises on Kepler’s Laws

Exercise 1: Elliptical Orbit

A planet has an elliptical orbit with a major semi-width of a = 1.5 \, \text{AU}$a = 1.5 \, \text{AU}$ and a minor semi-width of b = 1.2 \, \text{AU}$b = 1.2 \, \text{AU}$. Calculate the eccentricity of the orbit.

Solution:
The eccentricity (e$e$) is calculated with the formula:

e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}

$$e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}$$

Substituting the values:

e = \sqrt{1 - \left(\frac{1.2}{1.5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6

$$e = \sqrt{1 - \left(\frac{1.2}{1.5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$$

Exercise 2: Law of Areas

A planet takes 365 days to complete an orbit around the Sun. If the average distance from the Sun is 1 AU, calculate the areal velocity of the planet.

Solution:
The areal velocity (A$A$) is given by the formula:

A = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt}

$$A = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt}$$

Where r$r$ is the average distance from the Sun and d\theta/dt$d\theta/dt$ is the angular velocity. Since the planet completes a complete orbit in 365 days:

\frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{365} \, \text{rad/day}

$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{365} \, \text{rad/day}$$

Substituting:

A = \frac{1}{2} (1)^2 \cdot \frac{2\pi}{365} = \frac{\pi}{365} \approx 0.0086 \, \text{AU}^2/\text{day}

$$A = \frac{1}{2} (1)^2 \cdot \frac{2\pi}{365} = \frac{\pi}{365} \approx 0.0086 \, \text{AU}^2/\text{day}$$

Exercise 3: Orbital Period

An asteroid has a semi-width greater than a = 3\, AU$a = 3\, AU$. Calculate its orbital period.

Solution:
Using Kepler’s third law:

T^2 = k a^3

$$T^2 = k a^3$$

With k \approx 1$k \approx 1$ for the solar system:

T^2 = 3^3 = 27

$$T^2 = 3^3 = 27$$

So:

T = \sqrt{27} \approx 5.2\, years

$$T = \sqrt{27} \approx 5.2\, years$$

Advanced Exercise: Comparing Orbital Periods

Compare the orbital periods of two planets in the solar system, one with a half-width greater than a_1 = 1\, AU$a_1 = 1\, AU$ and the other with a_2 = 4\, AU$a_2 = 4\, AU$. Calculate the ratio of their orbital periods.

Solution:
Using Kepler’s third law:

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$$

Substituting the values:

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(1)^3}{(4)^3} = \frac{1}{64}

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(1)^3}{(4)^3} = \frac{1}{64}$$

So:

\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$$