Esercizi sulla legge di Fick

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Versione italiana

Esercizi sulla legge di Fick

Teoria della Legge di Fick

La legge di Fick descrive il fenomeno della diffusione, ovvero il movimento di particelle da aree di alta concentrazione a aree di bassa concentrazione. Essa si compone di due leggi principali:

  1. Prima Legge di Fick: Stabilisce che il flusso di materia (J) attraverso una superficie è proporzionale al gradiente di concentrazione (\frac{dc}{dx}dcdx\frac{dc}{dx}). La formula è espressa come:

    J = -D \frac{dc}{dx}
    J=−DdcdxJ = -D \frac{dc}{dx}

    dove DDD è il coefficiente di diffusione, che misura la facilità con cui una sostanza si diffonde.

  2. Seconda Legge di Fick: Descrive come la concentrazione cambia nel tempo in un dato punto. È espressa come:

    \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}
    ∂C∂t=D∂2C∂x2\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}

    dove CCC è la concentrazione della sostanza.

Queste leggi sono fondamentali in fisica e chimica, specialmente nello studio dei processi di trasporto e diffusione nei materiali.

Esercizi sulla Legge di Fick

Esercizio 1: Calcolo del Flusso

Un campione di gas ha una concentrazione di C_1 = 0.5 \, \text{mol/m}^3C1=0.5 mol/m3C_1 = 0.5 \, \text{mol/m}^3 su un lato e C_2 = 0.1 \, \text{mol/m}^3C2=0.1 mol/m3C_2 = 0.1 \, \text{mol/m}^3 sull’altro lato, con un coefficiente di diffusione D = 1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}D=1.5×10−5 m2/sD = 1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}. Calcola il flusso di materia attraverso una superficie di area A = 1 \, \text{m}^2A=1 m2A = 1 \, \text{m}^2.

Soluzione:
Utilizzando la prima legge di Fick:

J = -D \frac{C_2 - C_1}{L}
J=−DC2−C1LJ = -D \frac{C_2 - C_1}{L}

dove LLL è lo spessore della regione in cui avviene la diffusione. Se supponiamo L = 0.1\, mL=0.1 mL = 0.1\, m:

J = -1.5 \times 10^{-5} \frac{0.1 - 0.5}{0.1} = 6.0 \times 10^{-5} \, \text{mol/(m}^2\text{s)}
J=−1.5×10−50.1−0.50.1=6.0×10−5 mol/(m2s)J = -1.5 \times 10^{-5} \frac{0.1 - 0.5}{0.1} = 6.0 \times 10^{-5} \, \text{mol/(m}^2\text{s)}

Esercizio 2: Diffusione in un Solido

Un solido ha uno spessore L = 0.02\, mL=0.02 mL = 0.02\, m e un coefficiente di diffusione D = 2.0 \times 10^{-9}\, m^2/sD=2.0×10−9 m2/sD = 2.0 \times 10^{-9}\, m^2/s. Se la concentrazione su un lato è C_1 = 0\, mol/m^3C1=0 mol/m3C_1 = 0\, mol/m^3 e sull’altro lato C_2 = 100\, mol/m^3C2=100 mol/m3C_2 = 100\, mol/m^3, calcola il flusso di materia attraverso il solido.

Soluzione:
Utilizzando la prima legge:

J = -D \frac{C_2 - C_1}{L}
J=−DC2−C1LJ = -D \frac{C_2 - C_1}{L}

Sostituendo i valori:

J = -2.0 \times 10^{-9} \frac{100 - 0}{0.02} = -1.0 \times 10^{-6}\, mol/(m^2 s)
J=−2.0×10−9100−00.02=−1.0×10−6 mol/(m2s)J = -2.0 \times 10^{-9} \frac{100 - 0}{0.02} = -1.0 \times 10^{-6}\, mol/(m^2 s)

English version

Fick’s Law Exercises

Fick’s Law Theory

Fick’s Law describes the phenomenon of diffusion, or the movement of particles from areas of high concentration to areas of low concentration. It is composed of two main laws:

  1. Fick’s First Law: It states that the flow of matter (J) through a surface is proportional to the concentration gradient (\frac{dc}{dx}dcdx\frac{dc}{dx}). The formula is expressed as:
J = -D \frac{dc}{dx}
J=−DdcdxJ = -D \frac{dc}{dx}

where DDD is the diffusion coefficient, which measures how easily a substance diffuses.

  1. Fick’s Second Law: It describes how the concentration changes over time at a given point. It is expressed as:
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}
∂C∂t=D∂2C∂x2\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}

where CCC is the concentration of the substance.

These laws are fundamental in physics and chemistry, especially in the study of transport and diffusion processes in materials.

Exercises on Fick’s Law

Exercise 1: Calculating the Flow

A sample of gas has a concentration of C_1 = 0.5 \, \text{mol/m}^3C1=0.5 mol/m3C_1 = 0.5 \, \text{mol/m}^3 on one side and C_2 = 0.1 \, \text{mol/m}^3C2=0.1 mol/m3C_2 = 0.1 \, \text{mol/m}^3 on the other side, with a diffusion coefficient D = 1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}D=1.5×10−5 m2/sD = 1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}. Calculate the flow of matter through a surface of area A = 1 \, \text{m}^2A=1 m2A = 1 \, \text{m}^2.

Solution:
Using Fick’s first law:

J = -D \frac{C_2 - C_1}{L}
J=−DC2−C1LJ = -D \frac{C_2 - C_1}{L}

where LLL is the thickness of the region where diffusion occurs. If we assume L = 0.1\, mL=0.1 mL = 0.1\, m:

J = -1.5 \times 10^{-5} \frac{0.1 - 0.5}{0.1} = 6.0 \times 10^{-5} \, \text{mol/(m}^2\text{s)}
J=−1.5×10−50.1−0.50.1=6.0×10−5 mol/(m2s)J = -1.5 \times 10^{-5} \frac{0.1 - 0.5}{0.1} = 6.0 \times 10^{-5} \, \text{mol/(m}^2\text{s)}

Exercise 2: Diffusion in a Solid

A solid has a thickness L = 0.02\, mL=0.02 mL = 0.02\, m and a diffusion coefficient D = 2.0 \times 10^{-9}\, m^2/sD=2.0×10−9 m2/sD = 2.0 \times 10^{-9}\, m^2/s. If the concentration on one side is C_1 = 0\, mol/m^3C1=0 mol/m3C_1 = 0\, mol/m^3 and on the other side C_2 = 100\, mol/m^3C2=100 mol/m3C_2 = 100\, mol/m^3, calculate the flow of matter through the solid.

Solution:
Using the first law:

J = -D \frac{C_2 - C_1}{L}
J=−DC2−C1LJ = -D \frac{C_2 - C_1}{L}

Substituting the values:

J = -2.0 \times 10^{-9} \frac{100 - 0}{0.02} = -1.0 \times 10^{-6}\, mol/(m^2 s)
J=−2.0×10−9100−00.02=−1.0×10−6 mol/(m2s)J = -2.0 \times 10^{-9} \frac{100 - 0}{0.02} = -1.0 \times 10^{-6}\, mol/(m^2 s)

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