Esercizi sulla Legge di Ampère

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Versione italiana

Esercizi sulla Legge di Ampère

Concetti Chiave

La legge di Ampère descrive la relazione tra la corrente elettrica che scorre in un conduttore e il campo magnetico che essa genera. La forma integrale della legge di Ampère è data da:

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc} $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}$

dove:

• \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ è l’integrale lineare del campo magnetico \vec{B}$\vec{B}$ lungo un percorso chiuso,
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità del vuoto, approssimativamente 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$,
• I_{enc}$I_{enc}$ è la corrente totale che attraversa la superficie racchiusa dal percorso.

Applicazione della Legge di Ampère

La legge di Ampère è particolarmente utile per calcolare il campo magnetico in situazioni simmetriche, come:

1. Conduttore rettilineo infinito: Il campo magnetico a una distanza r$r$ dal conduttore è dato da:
   B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

2. Anello di corrente: Il campo magnetico al centro di un anello di corrente è dato da:
   B = \frac{\mu_0 I}{2R} $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
   dove R$R$ è il raggio dell’anello.

3. Solenoide: Il campo magnetico all’interno di un solenoide lungo è dato da:
   B = \mu_0 n I $B = \mu_0 n I$
   dove n$n$ è il numero di spire per unità di lunghezza.

Esercizi

Esercizio 1: Campo Magnetico di un Conduttore Rettilineo Infinito

Calcola il campo magnetico a una distanza di 0.05 \, m$0.05 \, m$ da un conduttore rettilineo infinito che trasporta una corrente di 10 \, A$10 \, A$.

Soluzione:

Utilizziamo la formula per il campo magnetico di un conduttore rettilineo infinito:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Sostituendo i valori:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 10 \, A}{2\pi \cdot 0.05 \, m} $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 10 \, A}{2\pi \cdot 0.05 \, m}$

Semplificando:

B = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 10}{0.1} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T $B = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 10}{0.1} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T$

Esercizio 2: Campo Magnetico al Centro di un Anello di Corrente

Calcola il campo magnetico al centro di un anello di corrente con raggio 0.1 \, m$0.1 \, m$ che trasporta una corrente di 5 \, A$5 \, A$.

Soluzione:

Utilizziamo la formula per il campo magnetico al centro di un anello di corrente:

B = \frac{\mu_0 I}{2R} $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

Sostituendo i valori:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 5 \, A}{2 \cdot 0.1 \, m} $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 5 \, A}{2 \cdot 0.1 \, m}$

Semplificando:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{0.2} = 10\pi \times 10^{-6} \, T \approx 3.14 \times 10^{-5} \, T $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{0.2} = 10\pi \times 10^{-6} \, T \approx 3.14 \times 10^{-5} \, T$

Esercizio 3: Campo Magnetico in un Solenoide

Calcola il campo magnetico all’interno di un solenoide lungo con 100$100$ spire per metro che trasporta una corrente di 2 \, A$2 \, A$.

Soluzione:

Utilizziamo la formula per il campo magnetico all’interno di un solenoide:

B = \mu_0 n I $B = \mu_0 n I$

dove n = 100 \, \text{sp} / m$n = 100 \, \text{sp} / m$ e I = 2 \, A$I = 2 \, A$.

Sostituendo i valori:

B = (4 \pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}) \cdot (100 \, \text{sp}/m) \cdot (2 \, A) $B = (4 \pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}) \cdot (100 \, \text{sp}/m) \cdot (2 \, A)$

Semplificando:

B = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot 2 $B = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot 2$

B = 8\pi \times 10^{-5} \, T \approx 2.51 \times 10^{-4} \, T $B = 8\pi \times 10^{-5} \, T \approx 2.51 \times 10^{-4} \, T$

English version

Ampère’s Law Exercises

Key Concepts

Ampère’s law describes the relationship between the electric current flowing in a conductor and the magnetic field it generates. The integral form of Ampère’s law is given by:

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc} $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}$

where:

• \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ is the linear integral of the magnetic field \vec{B}$\vec{B}$ along a closed path,
• \mu_0$\mu_0$ is the permeability of vacuum, approximately 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$,
• I_{enc}$I_{enc}$ is the total current flowing through the surface enclosed by the path.

Application of Ampère’s Law

Ampère’s law is particularly useful for calculating the magnetic field in symmetric situations, such as:

1. Infinite straight conductor: The magnetic field at a distance r$r$ from the conductor is given by:
   B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

2. Current loop: The magnetic field at the center of a current loop is given by:
   B = \frac{\mu_0 I}{2R} $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
   where R$R$ is the radius of the loop.

3. Solenoid: The magnetic field inside a long solenoid is given by:
   B = \mu_0 n I $B = \mu_0 n I$
   where n$n$ is the number of turns per unit length.

Exercises

Exercise 1: Magnetic Field of an Infinite Straight Conductor

Calculate the magnetic field at a distance of 0.05 \, m$0.05 \, m$ from an infinite straight conductor carrying a current of 10 \, A$10 \, A$.

Solution:

We use the formula for the magnetic field of an infinite straight conductor:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Substituting the values:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 10 \, A}{2\pi \cdot 0.05 \, m} $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 10 \, A}{2\pi \cdot 0.05 \, m}$

Simplifying:

B = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 10}{0.1} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T $B = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 10}{0.1} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T$

Exercise 2: Magnetic Field at the Center of a Current Loop

Calculate the magnetic field at the center of a current loop with radius 0.1 \, m$0.1 \, m$ that carries a current of 5 \, A$5 \, A$.

Solution:

We use the formula for the magnetic field at the center of a current loop:

B = \frac{\mu_0 I}{2R} $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

Substituting the values:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 5 \, A}{2 \cdot 0.1 \, m} $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A} \cdot 5 \, A}{2 \cdot 0.1 \, m}$

Simplifying:

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{0.2} = 10\pi \times 10^{-6} \, T \approx 3.14 \times 10^{-5} \, T $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{0.2} = 10\pi \times 10^{-6} \, T \approx 3.14 \times 10^{-5} \, T$

Exercise 3: Magnetic Field in a Solenoid

Calculate the magnetic field inside a long solenoid with 100$100$ turns per meter carrying a current of 2 \, A$2 \, A$.

Solution:

We use the formula for the magnetic field inside a solenoid:

B = \mu_0 n I $B = \mu_0 n I$

where n = 100 \, \text{sp} / m$n = 100 \, \text{sp} / m$ and I = 2 \, A$I = 2 \, A$.

Substituting the values:

B = (4 \pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}) \cdot (100 \, \text{sp}/m) \cdot (2 \, A) $B = (4 \pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}) \cdot (100 \, \text{sp}/m) \cdot (2 \, A)$

Simplifying:

B = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot 2 $B = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot 2$

B = 8\pi \times 10^{-5} \, T \approx 2.51 \times 10^{-4} \, T $B = 8\pi \times 10^{-5} \, T \approx 2.51 \times 10^{-4} \, T$