Esercizi sul Teorema di Tellegen

Esercizi sul Teorema di Tellegen

Esercizi sul Teorema di Tellegen

Versione italiana

Esercizi sul Teorema di Tellegen

Concetti Chiave

Il Teorema di Tellegen è un principio fondamentale nell’analisi dei circuiti elettrici e afferma che, in un circuito elettrico qualsiasi, la somma dei potenziali elettrici (tensioni) moltiplicati per le correnti in ogni ramo è zero. In formula, si esprime come:

\sum_{k=1}^{n} V_k I_k = 0 $\sum_{k=1}^{n} V_k I_k = 0$

dove:

• V_k$V_k$ è la tensione nel ramo k$k$,
• I_k$I_k$ è la corrente nel ramo k$k$,
• n$n$ è il numero totale di rami nel circuito.

Applicazioni del Teorema di Tellegen

1. Analisi di Circuiti: Può essere utilizzato per analizzare circuiti complessi, semplificando il calcolo delle correnti e delle tensioni.
2. Verifica di Circuiti: Può essere usato per verificare la correttezza dei risultati ottenuti con altri metodi, come le leggi di Kirchhoff.

Esercizi

Esercizio 1: Applicazione del Teorema di Tellegen

Considera un circuito con i seguenti componenti:

• Un resistore R_1 = 10 \, \Omega$R_1 = 10 \, \Omega$ con una corrente I_1 = 2 \, A$I_1 = 2 \, A$ che scorre attraverso di esso.
• Un resistore R_2 = 20 \, \Omega$R_2 = 20 \, \Omega$ con una corrente I_2 = 1 \, A$I_2 = 1 \, A$ che scorre attraverso di esso.
• Una sorgente di tensione V = 12 \, V$V = 12 \, V$ che alimenta il circuito.

Calcola la somma \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$ e verifica il Teorema di Tellegen.

Esercizio 2: Circuito con più rami

Considera un circuito con tre rami:

• Ramo 1: V_1 = 5 \, V$V_1 = 5 \, V$, I_1 = 1 \, A$I_1 = 1 \, A$
• Ramo 2: V_2 = 10 \, V$V_2 = 10 \, V$, I_2 = 0.5 \, A$I_2 = 0.5 \, A$
• Ramo 3: V_3 = -8 \, V$V_3 = -8 \, V$, I_3 = 1 \, A$I_3 = 1 \, A$

Verifica se il Teorema di Tellegen è soddisfatto per questo circuito.

Soluzioni

Soluzione Esercizio 1

Calcoliamo \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$:

1. Per il resistore R_1$R_1$:

   • Tensione V_1 = I_1 \cdot R_1 = 2 \, A \cdot 10 \, \Omega = 20 \, V$V_1 = I_1 \cdot R_1 = 2 \, A \cdot 10 \, \Omega = 20 \, V$
   • Contributo al teorema: V_1 I_1 = 20 \, V \cdot 2 \, A = 40 \, W$V_1 I_1 = 20 \, V \cdot 2 \, A = 40 \, W$

2. Per il resistore R_2$R_2$:

   • Tensione V_2 = I_2 \cdot R_2 = 1 \, A \cdot 20 \, \Omega = 20 \, V$V_2 = I_2 \cdot R_2 = 1 \, A \cdot 20 \, \Omega = 20 \, V$
   • Contributo al teorema: V_2 I_2 = 20 \, V \cdot 1 \, A = 20 \, W$V_2 I_2 = 20 \, V \cdot 1 \, A = 20 \, W$

3. Per la sorgente di tensione:

   • Contributo al teorema: V \cdot I = 12 \, V \cdot (-2 \, A) = -24 \, W$V \cdot I = 12 \, V \cdot (-2 \, A) = -24 \, W$

Ora sommiamo i contributi:
\sum V_k I_k = 40 \, W + 20 \, W - 24 \, W = 36 \, W $\sum V_k I_k = 40 \, W + 20 \, W - 24 \, W = 36 \, W$

Poiché la somma non è zero, il circuito non soddisfa il Teorema di Tellegen, indicando che ci potrebbe essere un errore nei valori delle correnti o delle tensioni.

Soluzione Esercizio 2

Calcoliamo \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$:

1. Ramo 1:

   • Contributo: V_1 I_1 = 5 \, V \cdot 1 \, A = 5 \, W$V_1 I_1 = 5 \, V \cdot 1 \, A = 5 \, W$

2. Ramo 2:

   • Contributo: V_2 I_2 = 10 \, V \cdot 0.5 \, A = 5 \, W$V_2 I_2 = 10 \, V \cdot 0.5 \, A = 5 \, W$

3. Ramo 3:

   • Contributo: V_3 I_3 = -8 \, V \cdot 1 \, A = -8 \, W$V_3 I_3 = -8 \, V \cdot 1 \, A = -8 \, W$

Ora sommiamo i contributi:
\sum V_k I_k = 5 \, W + 5 \, W - 8 \, W = 2 \, W $\sum V_k I_k = 5 \, W + 5 \, W - 8 \, W = 2 \, W$

Poiché la somma non è zero, il Teorema di Tellegen non è soddisfatto. Questo potrebbe indicare che ci sono errori nei valori delle tensioni o delle correnti, oppure che il circuito non è in equilibrio.

English version

Tellegen’s Theorem Exercises

Key Concepts

Tellegen’s Theorem is a fundamental principle in the analysis of electrical circuits and states that, in any electrical circuit, the sum of the electric potentials (voltages) multiplied by the currents in each branch is zero. In formula, it is expressed as:

\sum_{k=1}^{n} V_k I_k = 0 $\sum_{k=1}^{n} V_k I_k = 0$

where:

• V_k$V_k$ is the voltage in branch k$k$,
• I_k$I_k$ is the current in branch k$k$,
• n$n$ is the total number of branches in the circuit.

Applications of Tellegen’s Theorem

1. Circuit Analysis: It can be used to analyze complex circuits, simplifying the calculation of currents and voltages.
2. Circuit Verification: It can be used to verify the correctness of the results obtained with other methods, such as Kirchhoff’s laws.

Exercises

Exercise 1: Application of Tellegen’s Theorem

Consider a circuit with the following components:

• A resistor R_1 = 10 \, \Omega$R_1 = 10 \, \Omega$ with a current I_1 = 2 \, A$I_1 = 2 \, A$ flowing through it.
• A resistor R_2 = 20 \, \Omega$R_2 = 20 \, \Omega$ with a current I_2 = 1 \, A$I_2 = 1 \, A$ flowing through it.
• A voltage source V = 12 \, V$V = 12 \, V$ that powers the circuit.

Calculate the sum \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$ and verify Tellegen’s Theorem.

Exercise 2: Circuit with multiple branches

Consider a circuit with three branches:

• Branch 1: V_1 = 5 \, V$V_1 = 5 \, V$, I_1 = 1 \, A$I_1 = 1 \, A$
• Branch 2: V_2 = 10 \, V$V_2 = 10 \, V$, I_2 = 0.5 \, A$I_2 = 0.5 \, A$
• Branch 3: V_3 = -8 \, V$V_3 = -8 \, V$, I_3 = 1 \, A$I_3 = 1 \, A$

Check whether Tellegen’s Theorem is satisfied for this circuit.

Solutions

Solution Exercise 1

Let’s calculate \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$:

1. For the resistor R_1$R_1$:

• Voltage V_1 = I_1 \cdot R_1 = 2 \, A \cdot 10 \, \Omega = 20 \, V$V_1 = I_1 \cdot R_1 = 2 \, A \cdot 10 \, \Omega = 20 \, V$
• Contribution to the theorem: V_1 I_1 = 20 \, V \cdot 2 \, A = 40 \, W$V_1 I_1 = 20 \, V \cdot 2 \, A = 40 \, W$

2. For the resistor R_2$R_2$:

• Voltage V_2 = I_2 \cdot R_2 = 1 \, A \cdot 20 \, \Omega = 20 \, V$V_2 = I_2 \cdot R_2 = 1 \, A \cdot 20 \, \Omega = 20 \, V$
• Contribution to the theorem: V_2 I_2 = 20 \, V \cdot 1 \, A = 20 \, W$V_2 I_2 = 20 \, V \cdot 1 \, A = 20 \, W$

3. For the voltage source:

• Contribution to the theorem: V \cdot I = 12 \, V \cdot (-2 \, A) = -24 \, W$V \cdot I = 12 \, V \cdot (-2 \, A) = -24 \, W$

Now add the contributions:
\sum V_k I_k = 40 \, W + 20 \, W - 24 \, W = 36 \, W $\sum V_k I_k = 40 \, W + 20 \, W - 24 \, W = 36 \, W$

Since the sum is not zero, the circuit does not satisfy Tellegen’s Theorem, indicating that there may be an error in the values ​​of the currents or voltages.

Solution Exercise 2

Let’s calculate \sum V_k I_k$\sum V_k I_k$:

1. Branch 1:

• Contribution: V_1 I_1 = 5 \, V \cdot 1 \, A = 5 \, W$V_1 I_1 = 5 \, V \cdot 1 \, A = 5 \, W$

2. Branch 2:

• Contribution: V_2 I_2 = 10 \, V \cdot 0.5 \, A = 5 \, W$V_2 I_2 = 10 \, V \cdot 0.5 \, A = 5 \, W$

3. Branch 3:

• Contribution: V_3 I_3 = -8 \, V \cdot 1 \, A = -8 \, W$V_3 I_3 = -8 \, V \cdot 1 \, A = -8 \, W$

Now let’s add the contributions:
\sum V_k I_k = 5 \, W + 5 \, W - 8 \, W = 2 \, W $\sum V_k I_k = 5 \, W + 5 \, W - 8 \, W = 2 \, W$

Since the sum is not zero, Tellegen’s Theorem is not satisfied. This could indicate that there are errors in the voltage or current values, or that the circuit is not in balance.