Esercizi sul moto armonico sottosmorzato

Esercizi sul moto armonico sottosmorzato

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Versione italiana

Esercizi sul moto armonico sottosmorzato

Teoria del Moto Armonico Sottosmorzato

Il moto armonico sottosmorzato è un tipo di oscillazione in cui un sistema oscillante presenta una forza di smorzamento che non è sufficiente a fermare completamente le oscillazioni. In questo caso, il sistema continua a oscillare attorno alla posizione di equilibrio, ma con ampiezza decrescente nel tempo. Le caratteristiche principali del moto armonico sottosmorzato includono:

1. Equazione del moto: L’equazione differenziale che descrive il moto armonico sottosmorzato è:

   m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0

   $$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

   dove:

   • m$m$ è la massa,
   • b$b$ è il coefficiente di smorzamento,
   • k$k$ è la costante elastica.

2. Soluzione dell’equazione: La soluzione generale per il moto armonico sottosmorzato può essere espressa come:

   x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t + \phi)

   $$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t + \phi)$$

   dove:

   • A$A$ è l’ampiezza iniziale,
   • \omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$\omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$ è la pulsazione smorzata,
   • \phi$\phi$ è la fase iniziale.

3. Condizione di sottosmorzamento: Si verifica quando il coefficiente di smorzamento soddisfa la condizione:

   b^2 < 4mk

   $$b^2 < 4mk$$

Esercizi sul Moto Armonico Sottosmorzato

Esercizio 1: Calcolo della Pulsazione Smorzata

Un oggetto di massa m = 2\, kg$m = 2\, kg$ è attaccato a una molla con costante elastica k = 50\, N/m$k = 50\, N/m$ e ha un coefficiente di smorzamento b = 1\, kg/s$b = 1\, kg/s$. Calcola la pulsazione smorzata \omega_d$\omega_d$.

Svolgimento:

1. Calcoliamo il termine \frac{b}{2m}$\frac{b}{2m}$:

   \frac{b}{2m} = \frac{1}{2 \cdot 2} = 0.25

   $$\frac{b}{2m} = \frac{1}{2 \cdot 2} = 0.25$$

2. Calcoliamo ora \omega_0$\omega_0$ (pulsazione naturale):

   \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\, rad/s

   $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\, rad/s$$

3. Calcoliamo quindi \omega_d$\omega_d$:

   \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} = \sqrt{5^2 - (0.25)^2} = \sqrt{25 - 0.0625} = \sqrt{24.9375} \approx 4.9938\, rad/s

   $$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} = \sqrt{5^2 - (0.25)^2} = \sqrt{25 - 0.0625} = \sqrt{24.9375} \approx 4.9938\, rad/s$$

Risultato:

La pulsazione smorzata è circa 4.994\, rad/s$4.994\, rad/s$.

Esercizio 2: Ampiezza dopo un Tempo Dato

Considera lo stesso sistema dell’esercizio precedente, con un’ampiezza iniziale di A = 0.3\, m$A = 0.3\, m$. Calcola la posizione dell’oggetto dopo t = 3\, s$t = 3\, s$.

Svolgimento:

1. Utilizziamo l’equazione del moto per il moto armonico sottosmorzato:

   x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t)

   $$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t)$$

2. Sostituiamo i valori noti:

   x(3) = 0.3 e^{-0.25(3)} \cos(4.9938(3))

   $$x(3) = 0.3 e^{-0.25(3)} \cos(4.9938(3))$$

3. Calcoliamo i termini:

   • Calcoliamo l’esponenziale:

     e^{-0.25(3)} = e^{-0.75} \approx 0.4724

     $$e^{-0.25(3)} = e^{-0.75} \approx 0.4724$$

   • Calcoliamo la parte coseno:

     cos(4.9938(3)) = cos(14.9814)

     $$cos(4.9938(3)) = cos(14.9814)$$

     Poiché il coseno ha un periodo di 2\pi$2\pi$, possiamo calcolare:

     cos(14.9814) ≈ cos(14.9814 - 4\pi) ≈ cos(14.9814 - 12.5664) ≈ cos(2.4149) ≈ -0.7697

     $$cos(14.9814) ≈ cos(14.9814 - 4\pi) ≈ cos(14.9814 - 12.5664) ≈ cos(2.4149) ≈ -0.7697$$

4. Ora sostituiamo questi valori nell’equazione:

   x(3) ≈ 0.3 (0.4724)(-0.7697) ≈ -0.1095\, m

   $$x(3) ≈ 0.3 (0.4724)(-0.7697) ≈ -0.1095\, m$$

Risultato:

La posizione dell’oggetto dopo t = 3\, s$t = 3\, s$ è circa -0.1095\, m$-0.1095\, m$.

Esercizio 3: Energia nel Moto Armonico Sottosmorzato

Un sistema massa-molla con massa di m = 1\, kg$m = 1\, kg$, costante elastica di k = 100\, N/m$k = 100\, N/m$ e coefficiente di smorzamento di b = 0.4\, kg/s$b = 0.4\, kg/s$ ha un’ampiezza iniziale di oscillazione di A = 0.5\, m$A = 0.5\, m$. Calcola l’energia totale del sistema all’inizio e dopo un tempo di oscillazione di t = 2\, s$t = 2\, s$.

Svolgimento:

1. Energia totale iniziale (senza smorzamento):

L’energia potenziale massima all’inizio è data da:

E_{potenziale} = \frac{1}{2} k A^2

$$E_{potenziale} = \frac{1}{2} k A^2$$

Sostituiamo i valori noti:

E_{potenziale} = \frac{1}{2}(100)(0.5^2) = \frac{1}{2}(100)(0.25) = 12.5\, J

$$E_{potenziale} = \frac{1}{2}(100)(0.5^2) = \frac{1}{2}(100)(0.25) = 12.5\, J$$

L’energia cinetica iniziale è zero poiché il sistema parte dalla massima estensione.

Quindi l’energia totale iniziale è:

E_{totale, iniziale} = E_{potenziale} + E_{cinetica} = 12.5 + 0 = 12.5\, J

$$E_{totale, iniziale} = E_{potenziale} + E_{cinetica} = 12.5 + 0 = 12.5\, J$$

Per calcolare l’energia totale dopo un tempo di oscillazione di t = 2s, dobbiamo considerare la diminuzione dell’ampiezza dovuta allo smorzamento:

Utilizzando l’equazione per l’ampiezza al tempo t = 2s:

A(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t}

$$A(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t}$$

Calcoliamo ora A(2):

A(2) = 0.5 e^{-\frac{0.4}{2\cdot1}(2)} ≈ 0.5 e^{-0.4} ≈ 0.5 (0.6703) ≈ 0.33515\, m

$$A(2) = 0.5 e^{-\frac{0.4}{2\cdot1}(2)} ≈ 0.5 e^{-0.4} ≈ 0.5 (0.6703) ≈ 0.33515\, m$$

Ora calcoliamo l’energia potenziale a questo nuovo valore dell’ampiezza:

E_{potenziale}(t=2s) = \frac{1}{2} k A(t)^2 

$$E_{potenziale}(t=2s) = \frac{1}{2} k A(t)^2$$

E_{potenziale}(t=2s) ≈ \frac{1}{2}(100)(0.33515^2) ≈ (50)(0.112) ≈ 5.6\, J

$$E_{potenziale}(t=2s) ≈ \frac{1}{2}(100)(0.33515^2) ≈ (50)(0.112) ≈ 5.6\, J$$

Risultato finale:

• L’energia totale iniziale è di 12,5 J.
• L’energia totale dopo t = 2s è circa 5,6 J.

English version

Underdamped Harmonic Motion Exercises

Theory of Underdamped Harmonic Motion

Underdamped harmonic motion is a type of oscillation in which an oscillating system has a damping force that is not sufficient to completely stop the oscillations. In this case, the system continues to oscillate about the equilibrium position, but with decreasing amplitude over time. The main characteristics of underdamped harmonic motion include:

1. Equation of Motion: The differential equation describing underdamped harmonic motion is:

m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

where:

• m$m$ is the mass,
• b$b$ is the damping coefficient,
• k$k$ is the spring constant.

2. Solution of the equation: The general solution for the underdamped harmonic motion can be expressed as:

x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t + \phi)

$$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t + \phi)$$

where:

• A$A$ is the initial amplitude,
• \omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$\omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$ is the damped pulsation,
• \phi$\phi$ is the initial phase.

3. Underdamping Condition: Occurs when the damping coefficient satisfies the condition:

b^2 < 4mk

$$b^2 < 4mk$$

Exercises on Underdamped Harmonic Motion

Exercise 1: Calculating the Damped Pulsation

An object of mass m = 2\, kg$m = 2\, kg$ is attached to a spring with spring constant k = 50\, N/m$k = 50\, N/m$ and has a damping coefficient b = 1\, kg/s$b = 1\, kg/s$. Calculate the damped pulsation \omega_d$\omega_d$.

Procedure:

1. Let’s calculate the term \frac{b}{2m}$\frac{b}{2m}$:

\frac{b}{2m} = \frac{1}{2 \cdot 2} = 0.25

$$\frac{b}{2m} = \frac{1}{2 \cdot 2} = 0.25$$

2. Let’s now calculate \omega_0$\omega_0$ (natural pulsation):

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\, rad/s

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\, rad/s$$

3. Let’s then calculate \omega_d$\omega_d$:

\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} = \sqrt{5^2 - (0.25)^2} = \sqrt{25 - 0.0625} = \sqrt{24.9375} \approx 4.9938\, rad/s

$$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} = \sqrt{5^2 - (0.25)^2} = \sqrt{25 - 0.0625} = \sqrt{24.9375} \approx 4.9938\, rad/s$$

Result:

The damped pulsation is approximately 4.994\, rad/s$4.994\, rad/s$.

Exercise 2: Amplitude after a Given Time

Consider the same system as in the previous exercise, with an initial amplitude of A = 0.3\, m$A = 0.3\, m$. Calculate the position of the object after t = 3\, s$t = 3\, s$.

Procedure:

1. We use the equation of motion for underdamped harmonic motion:

x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t)

$$x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega_d t)$$

2. We substitute the known values:

x(3) = 0.3 e^{-0.25(3)} \cos(4.9938(3))

$$x(3) = 0.3 e^{-0.25(3)} \cos(4.9938(3))$$

3. We calculate the terms:

• We calculate the exponential:

e^{-0.25(3)} = e^{-0.75} \approx 0.4724

$$e^{-0.25(3)} = e^{-0.75} \approx 0.4724$$

• We calculate the cosine part:

cos(4.9938(3)) = cos(14.9814)

$$cos(4.9938(3)) = cos(14.9814)$$

Since the cosine has a period of 2\pi$2\pi$, we can calculate:

cos(14.9814) ≈ cos(14.9814 - 4\pi) ≈ cos(14.9814 - 12.5664) ≈ cos(2.4149) ≈ -0.7697

$$cos(14.9814) ≈ cos(14.9814 - 4\pi) ≈ cos(14.9814 - 12.5664) ≈ cos(2.4149) ≈ -0.7697$$

4. Now we substitute these values ​​into the equation:

x(3) ≈ 0.3 (0.4724)(-0.7697) ≈ -0.1095\, m

$$x(3) ≈ 0.3 (0.4724)(-0.7697) ≈ -0.1095\, m$$

Result:

The position of the object after t = 3\, s$t = 3\, s$ is approximately -0.1095\, m$-0.1095\, m$.

Exercise 3: Energy in Underdamped Harmonic Motion

A mass-spring system with mass m = 1\, kg$m = 1\, kg$, spring constant k = 100\, N/m$k = 100\, N/m$, and damping coefficient b = 0.4\, kg/s$b = 0.4\, kg/s$ has an initial oscillation amplitude of A = 0.5\, m$A = 0.5\, m$. Calculate the total energy of the system at the beginning and after an oscillation time of t = 2\, s$t = 2\, s$.

Procedure:

1. Initial total energy (without damping):

The maximum potential energy at the beginning is given by:

E_{potential} = \frac{1}{2} k A^2

$$E_{potential} = \frac{1}{2} k A^2$$

Let’s substitute the known values:

E_{potential} = \frac{1}{2}(100)(0.5^2) = \frac{1}{2}(100)(0.25) = 12.5\, J

$$E_{potential} = \frac{1}{2}(100)(0.5^2) = \frac{1}{2}(100)(0.25) = 12.5\, J$$

The initial kinetic energy is zero since the system starts from the maximum extension.

So the initial total energy is:

E_{total, initial} = E_{potential} + E_{kinetic} = 12.5 + 0 = 12.5\, J

$$E_{total, initial} = E_{potential} + E_{kinetic} = 12.5 + 0 = 12.5\, J$$

To calculate the total energy after an oscillation time of t = 2s, we need to consider the decrease in amplitude due to damping:

Using the equation for the amplitude at time t = 2s:

A(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t}

$$A(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t}$$

Now let’s calculate A(2):

A(2) = 0.5 e^{-\frac{0.4}{2\cdot1}(2)} ≈ 0.5 e^{-0.4} ≈ 0.5 (0.6703) ≈ 0.33515\, m

$$A(2) = 0.5 e^{-\frac{0.4}{2\cdot1}(2)} ≈ 0.5 e^{-0.4} ≈ 0.5 (0.6703) ≈ 0.33515\, m$$

Now let’s calculate the potential energy at this new value of the amplitude:

E_{potential}(t=2s) = \frac{1}{2} k A(t)^2

$$E_{potential}(t=2s) = \frac{1}{2} k A(t)^2$$

E_{potential}(t=2s) ≈ \frac{1}{2}(100)(0.33515^2) ≈ (50)(0.112) ≈ 5.6\, J

$$E_{potential}(t=2s) ≈ \frac{1}{2}(100)(0.33515^2) ≈ (50)(0.112) ≈ 5.6\, J$$

Final result:

• The initial total energy is 12.5 J.
• The total energy after t = 2s is about 5.6 J.