Esercizi sul fascio di rette

Esercizi sul fascio di rette

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Versione italiana

Esercizi sul fascio di rette

Esercizio 1: Fascio di rette passante per un punto

Dati

Trova l’equazione del fascio di rette che passa per il punto P(2, 3)$P(2, 3)$ e ha una pendenza m$m$ variabile.

Soluzione

1. Forma dell’equazione della retta:
   L’equazione di una retta in forma punto-pendenza è:

   y - y_0 = m(x - x_0)

   $$y - y_0 = m(x - x_0)$$

   Dove (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ è il punto attraverso il quale passa la retta. Sostituendo i valori:

   y - 3 = m(x - 2)

   $$y - 3 = m(x - 2)$$

2. Riscrivere in forma esplicita:
   Semplificando otteniamo:

   y = mx - 2m + 3

   $$y = mx - 2m + 3$$

   Questa è l’equazione del fascio di rette passanti per il punto P(2, 3)$P(2, 3)$.

Esercizio 2: Fascio di rette parallele

Dati

Trova l’equazione del fascio di rette parallele alla retta y = 3x + 2$y = 3x + 2$.

Soluzione

1. Identificare la pendenza:
   La pendenza della retta data è m = 3$m = 3$.

2. Forma dell’equazione del fascio:
   Le rette parallele avranno la stessa pendenza, quindi l’equazione generale del fascio sarà:

   y - y_0 = 3(x - x_0)

   $$y - y_0 = 3(x - x_0)$$

   dove (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ è un punto qualsiasi sulla retta.

3. Riscrivere in forma esplicita:
   Semplificando otteniamo:

   y = 3x + b

   $$y = 3x + b$$

   dove b può essere qualsiasi valore reale. Questa rappresenta un fascio di rette parallele a quella data.

Esercizio 3: Fascio di rette a partire da due punti

Dati

Trova l’equazione del fascio di rette che passa per i punti A(1, 2)$A(1, 2)$ e B(4, 6)$B(4, 6)$.

Soluzione

1. Calcolare la pendenza:
   La pendenza della retta che passa per i punti A e B è data da:

   m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}

   $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$$

2. Equazione della retta:
   Usando il punto A nella forma punto-pendenza:

   y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)

   $$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$$

3. Riscrivere in forma esplicita:
   Semplificando otteniamo:

   y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}

   $$y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$$

4. Fascio di rette:
   Il fascio di rette passanti per i punti A e B può essere rappresentato come:

   (y - 2)(4 - 2) = (x - 1)(6 - 2)

   $$(y - 2)(4 - 2) = (x - 1)(6 - 2)$$

   Che si semplifica a una forma implicita delle rette passanti per A e B.

Esercizio 4: Intersezione di un fascio di rette con una curva

Dati

Considera il fascio di rette definito da y = mx + c$y = mx + c$ e l’iperbole data da \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$. Trova le condizioni affinché le rette del fascio intersechino l’iperbole.

Soluzione

1. Sostituire l’equazione della retta nell’iperbole:
   Sostituiamo y = mx + c$y = mx + c$ nell’equazione dell’iperbole:

   \frac{x^2}{4} - \frac{(mx + c)^2}{9} = 1

   $$\frac{x^2}{4} - \frac{(mx + c)^2}{9} = 1$$

2. Espandere e semplificare:
   Espandendo otteniamo:

   \frac{x^2}{4} - \frac{m^2x^2 + 2mcx + c^2}{9} = 1

   $$\frac{x^2}{4} - \frac{m^2x^2 + 2mcx + c^2}{9} = 1$$

3. Moltiplicare per il minimo comune multiplo (36) per eliminare i denominatori.

4. Calcolare il discriminante:
   L’equazione risultante sarà quadratica in x, quindi calcoliamo il discriminante per determinare le condizioni affinché ci siano intersezioni reali.

Risultato

Se il discriminante è maggiore o uguale a zero, allora ci sono intersezioni tra il fascio di rette e l’iperbole.

English version

Exercises on the bundle of lines

Exercise 1: Bundle of lines passing through a point

Data

Find the equation of the bundle of lines that passes through the point P(2, 3)$P(2, 3)$ and has a variable slope m$m$.

Solution

1. Form of the equation of the line:
   The equation of a line in point-slope form is:

y - y_0 = m(x - x_0)

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

Where (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ is the point through which the line passes. Substituting the values:

y - 3 = m(x - 2)

$$y - 3 = m(x - 2)$$

2. Rewrite in explicit form:
   Simplifying we get:

y = mx - 2m + 3

$$y = mx - 2m + 3$$

This is the equation of the bundle of lines passing through the point P(2, 3)$P(2, 3)$.

Exercise 2: Bundle of parallel lines

Data

Find the equation of the bundle of lines parallel to the line y = 3x + 2$y = 3x + 2$.

Solution

1. Identify the slope:
   The slope of the given line is m = 3$m = 3$.

2. Form of the equation of the bundle:
   The parallel lines will have the same slope, so the general equation of the bundle will be:

y - y_0 = 3(x - x_0)

$$y - y_0 = 3(x - x_0)$$

where (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ is any point on the line.

3. Rewrite in explicit form:
   Simplifying we get:

y = 3x + b

$$y = 3x + b$$

where b can be any real value. This represents a bundle of lines parallel to the given one.

Exercise 3: Bundle of lines starting from two points

Data

Find the equation of the bundle of lines that passes through the points A(1, 2)$A(1, 2)$ and B(4, 6)$B(4, 6)$.

Solution

1. Calculate the slope:
   The slope of the line that passes through the points A and B is given by:

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}

$$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$$

2. Equation of the line:
   Using the point A in the point-slope form:

y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)

$$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$$

3. Rewrite in explicit form:
   Simplifying we obtain:

y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}

$$y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$$

4. Bundle of lines:
   The bundle of lines passing through the points A and B can be represented as:

(y - 2)(4 - 2) = (x - 1)(6 - 2)

$$(y - 2)(4 - 2) = (x - 1)(6 - 2)$$

Which simplifies to an implicit form of the lines passing through A and B.

Exercise 4: Intersection of a bundle of lines with a curve

Data

Consider the bundle of lines defined by y = mx + c$y = mx + c$ and the hyperbola given by \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$. Find the conditions for the lines of the bundle to intersect the hyperbola.

Solution

1. Substitute the equation of the line into the hyperbola:
   We substitute y = mx + c$y = mx + c$ into the equation of the hyperbola:

\frac{x^2}{4} - \frac{(mx + c)^2}{9} = 1

$$\frac{x^2}{4} - \frac{(mx + c)^2}{9} = 1$$

2. Expand and simplify:
   Expanding we get:

\frac{x^2}{4} - \frac{m^2x^2 + 2mcx + c^2}{9} = 1

$$\frac{x^2}{4} - \frac{m^2x^2 + 2mcx + c^2}{9} = 1$$

3. Multiply by the least common multiple (36) to eliminate the denominators.

4. Calculate the discriminant:
   The resulting equation will be quadratic in x, so we calculate the discriminant to determine the conditions for there to be real intersections.

Result

If the discriminant is greater than or equal to zero, then there are intersections between the bundle of lines and the hyperbola.