Esercizi di analisi I

Esercizi di analisi I

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Versione italiana

Esercizi di analisi I

Teoria dell’Analisi I

L’Analisi I è un ramo della matematica che si occupa dello studio delle funzioni reali di una variabile reale. Essa include concetti fondamentali come limiti, continuità, derivazione e integrazione.

Concetti Fondamentali

1. Limite di una Funzione: Il limite di una funzione descrive il comportamento della funzione quando l’argomento si avvicina a un certo valore. Si scrive:

   \lim_{x \to a} f(x) = L

   $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

   significa che quando x$x$ si avvicina ad a$a$, f(x)$f(x)$ si avvicina a L$L$.

2. Continuità: Una funzione è continua in un punto se il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione stessa:

   f(a) = \lim_{x \to a} f(x)

   $$f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$$

3. Derivata: La derivata di una funzione misura la variazione istantanea della funzione rispetto alla variazione del suo argomento. Si definisce come:

   f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

   $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

4. Integrazione: L’integrazione è l’operazione inversa della derivazione e rappresenta l’area sotto la curva di una funzione. L’integrale definito di una funzione f$f$ da a$a$ a b$b$ è dato da:

   \int_a^b f(x) \, dx

   $$\int_a^b f(x) \, dx$$

Esercizi di Analisi I

Esercizio 1: Calcolo del Limite

Calcola il limite:

\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)

$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)$$

Soluzione:
Sostituiamo direttamente il valore di x = 2$x = 2$ nella funzione:

\lim_{x \to 2} (3(2)^2 - 5(2) + 1) = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3

$$\lim_{x \to 2} (3(2)^2 - 5(2) + 1) = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$

Quindi, il limite è 3.

Esercizio 2: Verifica della Continuità

Verifica se la funzione

f(x) = 
\begin{cases} 
x^2 & \text{se } x < 1 \\ 
2 & \text{se } x = 1 \\ 
3 - x & \text{se } x > 1 
\end{cases}

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x < 1 \\ 2 & \text{se } x = 1 \\ 3 - x & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

è continua in x = 1$x = 1$.

Soluzione:
Calcoliamo i limiti laterali e confrontiamoli con il valore della funzione in quel punto:

• Limite sinistro:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$$

• Limite destro:

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 3 - 1 = 2

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 3 - 1 = 2$$

• Valore della funzione:

f(1) = 2

$$f(1) = 2$$

Poiché il limite sinistro (1) non è uguale al limite destro (2), la funzione non è continua in x = 1$x = 1$.

Esercizio 3: Calcolo della Derivata

Calcola la derivata della funzione

f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 5. 

$$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 5.$$

Soluzione:
Utilizziamo la regola di derivazione per le potenze:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(5)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(5)$$

Calcoliamo ciascun termine:

• Derivata di x^3$x^3$: 3x^2$3x^2$
• Derivata di -4x^2$-4x^2$: -8x$-8x$
• Derivata di 6x$6x$: 6$6$
• Derivata di -5$-5$: 0$0$

Quindi, la derivata è:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 6.

$$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6.$$

Esercizio Avanzato: Calcolo dell’Integrale Definito

Calcola l’integrale definito:

\int_0^3 (2x + 1) \, dx.

$$\int_0^3 (2x + 1) \, dx.$$

Soluzione:
Calcoliamo prima l’integrale indefinito:

\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C.

$$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C.$$

Ora calcoliamo l’integrale definito da 0$0$ a 3$3$:

\int_0^3 (2x + 1) dx = [x^2 + x]_0^3.

$$\int_0^3 (2x + 1) dx = [x^2 + x]_0^3.$$

Calcoliamo i valori ai limiti superiori e inferiori:

• Al limite superiore (3$3$):

(3)^2 + (3) = 9 + 3 = 12.

$$(3)^2 + (3) = 9 + 3 = 12.$$

• Al limite inferiore (0$0$):

(0)^2 + (0) = 0.

$$(0)^2 + (0) = 0.$$

Quindi, l’integrale definito è:

12 - 0 = 12.

$$12 - 0 = 12.$$

L’integrale definito vale quindi 12.

English version

Analysis Exercises I

Theory of Analysis I

Analysis I is a branch of mathematics that deals with the study of real functions of a real variable. It includes fundamental concepts such as limits, continuity, derivation, and integration.

Fundamental Concepts

1. Limit of a Function: The limit of a function describes the behavior of the function when the argument approaches a certain value. It is written:

\lim_{x \to a} f(x) = L

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

means that when x$x$ approaches a$a$, f(x)$f(x)$ approaches L$L$.

2. Continuity: A function is continuous at a point if the limit of the function at that point is equal to the value of the function itself:

f(a) = \lim_{x \to a} f(x)

$$f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$$

3. Derivative: The derivative of a function measures the instantaneous change of the function with respect to the change of its argument. It is defined as:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

4. Integration: Integration is the inverse operation of differentiation and represents the area under the curve of a function. The definite integral of a function f$f$ from a$a$ to b$b$ is given by:

\int_a^b f(x) \, dx

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

Exercises in Analysis I

Exercise 1: Calculating the Limit

Calculate the limit:

\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)

$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)$$

Solution:
We directly substitute the value of x = 2$x = 2$ in the function:

\lim_{x \to 2} (3(2)^2 - 5(2) + 1) = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3

$$\lim_{x \to 2} (3(2)^2 - 5(2) + 1) = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$

Therefore, the limit is 3.

Exercise 2: Checking Continuity

Check whether the function

f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \text{if } x < 1 \\
2 & \text{if } x = 1 \\
3 - x & \text{if } x > 1
\end{cases}

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x < 1 \\ 2 & \text{if } x = 1 \\ 3 - x & \text{if } x > 1 \end{cases}$$

is continuous at x = 1$x = 1$.

Solution:
Let’s calculate the side limits and compare them with the value of the function at that point:

• Left limit:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$$

• Right limit:

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 3 - 1 = 2

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 3 - 1 = 2$$

• Value of the function:

f(1) = 2

$$f(1) = 2$$

Since the left limit (1) is not equal to the right limit (2), the function is not continuous at x = 1$x = 1$.

Exercise 3: Derivative Calculation

Calculate the derivative of the function

f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 5.

$$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 5.$$

Solution:
We use the rule of differentiation for powers:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(5)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(5)$$

We calculate each term:

• Derivative of x^3$x^3$: 3x^2$3x^2$
• Derivative of -4x^2$-4x^2$: -8x$-8x$
• Derivative of 6x$6x$: 6$6$
• Derivative of -5$-5$: 0$0$

So, the derivative is:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 6.

$$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6.$$

Advanced Exercise: Definite Integral Calculation

Calculate the definite integral:

\int_0^3 (2x + 1) \, dx.

$$\int_0^3 (2x + 1) \, dx.$$

Solution:
First, let’s calculate the indefinite integral:

\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C.

$$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C.$$

Now, let’s calculate the definite integral from 0$0$ to 3$3$:

\int_0^3 (2x + 1) dx = [x^2 + x]_0^3.

$$\int_0^3 (2x + 1) dx = [x^2 + x]_0^3.$$

Let’s calculate the values ​​at the upper and lower limits:

• At the upper limit (3$3$):

(3)^2 + (3) = 9 + 3 = 12.

$$(3)^2 + (3) = 9 + 3 = 12.$$

• At the lower limit (0$0$):

(0)^2 + (0) = 0.

$$(0)^2 + (0) = 0.$$

So, the definite integral is:

12 - 0 = 12.

$$12 - 0 = 12.$$

The definite integral is therefore 12.