Esercizi sull'Energia Cinetica di un Sistema Rigido

Esercizi sull'Energia Cinetica di un Sistema Rigido

Esercizi sull'Energia Cinetica di un Sistema Rigido

Versione italiana

Esercizi sull'Energia Cinetica di un Sistema Rigido

Concetti Chiave

1. Energia Cinetica: L'energia cinetica di un corpo è l'energia che possiede a causa del suo movimento. Per un corpo rigido che si muove traslazionalmente, l'energia cinetica totale (K$K$) è data da:

   K = \frac{1}{2} m v^2 $K = \frac{1}{2} m v^2$

   dove:

   • m$m$ è la massa del corpo,
   • v$v$ è la velocità del centro di massa.

2. Energia Cinetica Rotazionale: Un corpo rigido che ruota attorno a un asse ha un'energia cinetica rotazionale (K_r$K_r$) data da:

   K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

   dove:

   • I$I$ è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione,
   • \omega$\omega$ è la velocità angolare.

3. Energia Cinetica Totale: L'energia cinetica totale di un corpo rigido che si muove sia traslazionalmente che rotazionalmente è data dalla somma delle due energie:

   K_{\text{tot}} = K + K_r = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 $K_{\text{tot}} = K + K_r = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$

Esercizio 1: Calcolo dell'Energia Cinetica Traslazionale

Problema: Un corpo rigido di massa m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ si muove con una velocità di v = 5 \, \text{m/s}$v = 5 \, \text{m/s}$. Calcola l'energia cinetica traslazionale.

Soluzione:

1. Utilizziamo la formula per l'energia cinetica traslazionale:

   K = \frac{1}{2} m v^2 $K = \frac{1}{2} m v^2$

2. Sostituendo i valori:

   K = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125 \, \text{J}$

Quindi, l'energia cinetica traslazionale è 125 \, \text{J}$125 \, \text{J}$.

Esercizio 2: Calcolo dell'Energia Cinetica Rotazionale

Problema: Un disco ha un momento d'inerzia di I = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ e ruota con una velocità angolare di \omega = 3 \, \text{rad/s}$\omega = 3 \, \text{rad/s}$. Calcola l'energia cinetica rotazionale.

Soluzione:

1. Utilizziamo la formula per l'energia cinetica rotazionale:

   K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

2. Sostituendo i valori:

   K_r = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (3 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J} $K_r = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (3 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J}$

Quindi, l'energia cinetica rotazionale è 9 \, \text{J}$9 \, \text{J}$.

Esercizio 3: Energia Cinetica Totale di un Sistema Rigido

Problema: Un corpo rigido di massa m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ si muove con una velocità di v = 4 \, \text{m/s}$v = 4 \, \text{m/s}$ e ha un momento d'inerzia di I = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ mentre ruota con una velocità angolare di \omega = 2 \, \text{rad/s}$\omega = 2 \, \text{rad/s}$. Calcola l'energia cinetica totale del sistema.

Soluzione:

1. Calcoliamo prima l'energia cinetica traslazionale:

   K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (4 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (4 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40 \, \text{J}$

2. Calcoliamo ora l'energia cinetica rotazionale:

   K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (2 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \, \text{J} $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (2 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \, \text{J}$

3. Ora sommiamo le due energie per ottenere l'energia cinetica totale:

   K_{\text{tot}} = K + K_r = 40 \, \text{J} + 2 \, \text{J} = 42 \, \text{J} $K_{\text{tot}} = K + K_r = 40 \, \text{J} + 2 \, \text{J} = 42 \, \text{J}$

Quindi, l'energia cinetica totale del sistema è 42 \, \text{J}$42 \, \text{J}$.

English version

Exercises on Kinetic Energy of a Rigid System

Key Concepts

1. Kinetic Energy: The kinetic energy of a body is the energy it possesses due to its motion. For a rigid body moving translationally, the total kinetic energy (K$K$) is given by:

K = \frac{1}{2} m v^2 $K = \frac{1}{2} m v^2$

where:

• m$m$ is the mass of the body,
• v$v$ is the velocity of the center of mass.

2. Rotational Kinetic Energy: A rigid body rotating about an axis has a rotational kinetic energy (K_r$K_r$) given by:

K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

where:

• I$I$ is the moment of inertia about the axis of rotation,
• \omega$\omega$ is the angular velocity.

3. Total Kinetic Energy: The total kinetic energy of a rigid body moving both translationally and rotationally is given by the sum of the two energies:

K_{\text{tot}} = K + K_r = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 $K_{\text{tot}} = K + K_r = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$

Exercise 1: Calculating Translational Kinetic Energy

Problem: A rigid body of mass m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ moves with a speed of v = 5 \, \text{m/s}$v = 5 \, \text{m/s}$. Calculate the translational kinetic energy.

Solution:

1. Use the formula for translational kinetic energy:

K = \frac{1}{2} m v^2 $K = \frac{1}{2} m v^2$

2. Substituting the values:

K = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125 \, \text{J}$

So, the translational kinetic energy is 125 \, \text{J}$125 \, \text{J}$.

Exercise 2: Calculating Rotational Kinetic Energy

Problem: A disk has a moment of inertia of I = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ and rotates with an angular velocity of \omega = 3 \, \text{rad/s}$\omega = 3 \, \text{rad/s}$. Calculate the rotational kinetic energy.

Solution:

1. Use the formula for rotational kinetic energy:

K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

2. Substituting the values:

K_r = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (3 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J} $K_r = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (3 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9 \, \text{J}$

So, the rotational kinetic energy is 9 \, \text{J}$9 \, \text{J}$.

Exercise 3: Total Kinetic Energy of a Rigid System

Problem: A rigid body of mass m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ moves with a velocity of v = 4 \, \text{m/s}$v = 4 \, \text{m/s}$ and has a moment of inertia of I = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ while rotating with an angular velocity of \omega = 2 \, \text{rad/s}$\omega = 2 \, \text{rad/s}$. Calculate the total kinetic energy of the system.

Solution:

1. First calculate the translational kinetic energy:

K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (4 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (4 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40 \, \text{J}$

2. Now calculate the rotational kinetic energy:

K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (2 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \, \text{J} $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (2 \, \text{rad/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \, \text{J}$

3. Now we add the two energies to get the total kinetic energy:

K_{\text{tot}} = K + K_r = 40 \, \text{J} + 2 \, \text{J} = 42 \, \text{J} $K_{\text{tot}} = K + K_r = 40 \, \text{J} + 2 \, \text{J} = 42 \, \text{J}$

So, the total kinetic energy of the system is 42 \, \text{J}$42 \, \text{J}$.