Esercizi sull'elettrostatica

Esercizi sull'elettrostatica

Esercizi sull'elettrostatica

Versione italiana

Esercizi sull'elettrostatica

L'elettrostatica è lo studio delle cariche elettriche a riposo e delle forze che agiscono tra di esse. Ecco alcuni concetti fondamentali e alcuni esercizi pratici sull'elettrostatica.

Concetti Fondamentali

1. Legge di Coulomb: La forza F tra due cariche puntiformi q_1$q_1$ e q_2$q_2$ è data dalla formula:

   F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

   $$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

   dove:

   • k è la costante di Coulomb k \approx 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$k \approx 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,
   • r è la distanza tra le cariche.

2. Campo Elettrico (E): Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è dato da:

   E = k \frac{|Q|}{r^2}

   $$E = k \frac{|Q|}{r^2}$$

   La direzione del campo elettrico è radiale e punta lontano dalla carica positiva e verso la carica negativa.

3. Potenziale Elettrico (V): Il potenziale elettrico a una distanza r da una carica puntiforme Q è dato da:

   V = k \frac{Q}{r}

   $$V = k \frac{Q}{r}$$

Esercizi

1. Esercizio 1: Forza tra due cariche

   • Due cariche puntiformi, (q_1 = 3 \, \mu C$q_1 = 3 \, \mu C$) e (q_2 = -2 \, \mu C$q_2 = -2 \, \mu C$), sono separate da una distanza di 0.5 m. Calcola la forza che agisce tra di esse.
   • Soluzione:

     F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{|3 \times 10^{-6} \cdot (-2) \times 10^{-6}|}{(0.5)^2}

     $$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{|3 \times 10^{-6} \cdot (-2) \times 10^{-6}|}{(0.5)^2}$$

     F = 8.99 \times 10^9 \frac{6 \times 10^{-12}}{0.25} = 8.99 \times 10^9 \cdot 24 \times 10^{-12} = 0.21576 \, N \approx 0.216 \, N.

     $$F = 8.99 \times 10^9 \frac{6 \times 10^{-12}}{0.25} = 8.99 \times 10^9 \cdot 24 \times 10^{-12} = 0.21576 \, N \approx 0.216 \, N.$$
     La forza è attrattiva poiché le cariche sono di segno opposto.

2. Esercizio 2: Campo Elettrico di una Carica

   • Calcola il campo elettrico a una distanza di 0.3 m da una carica di Q = 5 \, \mu C$Q = 5 \, \mu C$.
   • Soluzione:

     E = k \frac{|Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.3)^2}

     $$E = k \frac{|Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.3)^2}$$

     E = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{0.09} = 8.99 \times 10^9 \cdot 55.56 \times 10^{-6} \approx 500 \, N/C.

     $$E = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{0.09} = 8.99 \times 10^9 \cdot 55.56 \times 10^{-6} \approx 500 \, N/C.$$

3. Esercizio 3: Potenziale Elettrico

   • Calcola il potenziale elettrico a una distanza di 0.2 m da una carica di Q = 10 \, \mu C$Q = 10 \, \mu C$.
   • Soluzione:

     V = k \frac{Q}{r} = 8.99 \times 10^9 \frac{10 \times 10^{-6}}{0.2}

     $$V = k \frac{Q}{r} = 8.99 \times 10^9 \frac{10 \times 10^{-6}}{0.2}$$

     V = 8.99 \times 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6} = 449.5 \times 10^3 \, V = 449500 \, V.

     $$V = 8.99 \times 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6} = 449.5 \times 10^3 \, V = 449500 \, V.$$

4. Esercizio 4: Forza su una Carica in un Campo Elettrico

   • Un campo elettrico di E = 2000 \, N/C$E = 2000 \, N/C$ agisce su una carica di q = 4 \, \mu C$q = 4 \, \mu C$. Calcola la forza che agisce sulla carica.
   • Soluzione:
     Calcoliamo la forza che agisce su una carica di q = 4 \mu C$q = 4 \mu C$ in un campo elettrico di E = 2000 N/C:

F = qE = (4 \times 10^{-6} \, C) \cdot (2000 \, N/C) = 8 \times 10^{-3} \, N = 0.008 \, N.

$$F = qE = (4 \times 10^{-6} \, C) \cdot (2000 \, N/C) = 8 \times 10^{-3} \, N = 0.008 \, N.$$

• Quindi, la forza che agisce sulla carica è di 0.008 N.

Esercizio 5: Energia Potenziale Elettrica

• Calcola l'energia potenziale elettrica di una carica di q = 3 \, \mu C$q = 3 \, \mu C$ posizionata in un punto dove il potenziale elettrico è V = 1500 \, V$V = 1500 \, V$.
• Soluzione:

  U = qV = (3 \times 10^{-6} \, C) \cdot (1500 \, V) = 4.5 \times 10^{-3} \, J = 0.0045 \, J.

  $$U = qV = (3 \times 10^{-6} \, C) \cdot (1500 \, V) = 4.5 \times 10^{-3} \, J = 0.0045 \, J.$$
• Quindi, l'energia potenziale elettrica è di 0.0045 J.

Esercizio 6: Campo Elettrico di un Dipolo Elettrico

• Un dipolo elettrico è formato da due cariche di +q = 2 \, \mu C$+q = 2 \, \mu C$ e -q = -2 \, \mu C$-q = -2 \, \mu C$ separate da una distanza di d = 0.1 \, m$d = 0.1 \, m$. Calcola il momento dipolare p$p$ del dipolo.
• Soluzione:

  p = q \cdot d = (2 \times 10^{-6} \, C) \cdot (0.1 \, m) = 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m.

  $$p = q \cdot d = (2 \times 10^{-6} \, C) \cdot (0.1 \, m) = 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m.$$
• Quindi, il momento dipolare del dipolo è di 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m$2 \times 10^{-7} \, C \cdot m$.

Esercizio 7: Forza tra Dipoli Elettrici

• Due dipoli elettrici, ciascuno con un momento dipolare di p = 1 \times 10^{-6} \, C \cdot m$p = 1 \times 10^{-6} \, C \cdot m$, sono posti a una distanza di 0.5 \, m$0.5 \, m$ l'uno dall'altro. Calcola la forza che agisce tra di essi.
• Soluzione:
  • La forza tra due dipoli elettrici può essere calcolata usando la formula:

  F = \frac{3k \cdot p_1 \cdot p_2}{r^4}

  $$F = \frac{3k \cdot p_1 \cdot p_2}{r^4}$$
  dove p_1$p_1$ e p_2$p_2$ sono i momenti dipolari e r$r$ è la distanza tra i dipoli.
  • Sostituendo i valori:

  F = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-6})^2}{(0.5)^4} = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-12})}{0.0625}

  $$F = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-6})^2}{(0.5)^4} = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-12})}{0.0625}$$

  F = \frac{26.97 \times 10^{-3}}{0.0625} \approx 431.52 \, N.

  $$F = \frac{26.97 \times 10^{-3}}{0.0625} \approx 431.52 \, N.$$
• Quindi, la forza che agisce tra i due dipoli è di circa 431.52 N.

English version

Exercises on electrostatics

Electrostatics is the study of electric charges at rest and the forces that act between them. Here are some fundamental concepts and some practical exercises on electrostatics.

Fundamental Concepts

1. Coulomb's Law: The force F between two point charges q_1$q_1$ and q_2$q_2$ is given by the formula:

F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

where:

• k is the Coulomb constant k \approx 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$k \approx 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,
• r is the distance between the charges.

2. Electric Field (E): The electric field generated by a point charge Q is given by:

E = k \frac{|Q|}{r^2}

$$E = k \frac{|Q|}{r^2}$$

The direction of the electric field is radial and points away from the positive charge and toward the negative charge.

3. Electric Potential (V): The electric potential at a distance r from a point charge Q is given by:

V = k \frac{Q}{r}

$$V = k \frac{Q}{r}$$

Exercises

1. Exercise 1: Force between two charges

• Two point charges, (q_1 = 3 \, \mu C$q_1 = 3 \, \mu C$) and (q_2 = -2 \, \mu C$q_2 = -2 \, \mu C$), are separated by a distance of 0.5 m. Calculate the force between them.
• Solution:

F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{|3 \times 10^{-6} \cdot (-2) \times 10^{-6}|}{(0.5)^2}

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{|3 \times 10^{-6} \cdot (-2) \times 10^{-6}|}{(0.5)^2}$$

F = 8.99 \times 10^9 \frac{6 \times 10^{-12}}{0.25} = 8.99 \times 10^9 \cdot 24 \times 10^{-12} = 0.21576 \, N \approx 0.216 \, N.

$$F = 8.99 \times 10^9 \frac{6 \times 10^{-12}}{0.25} = 8.99 \times 10^9 \cdot 24 \times 10^{-12} = 0.21576 \, N \approx 0.216 \, N.$$

The force is attractive because the charges are opposite in sign.

2. Exercise 2: Electric Field of a Charge

• Calculate the electric field at a distance of 0.3 m from a charge of Q = 5 \, \mu C$Q = 5 \, \mu C$.
• Solution:

E = k \frac{|Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.3)^2}

$$E = k \frac{|Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.3)^2}$$

E = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{0.09} = 8.99 \times 10^9 \cdot 55.56 \times 10^{-6} \approx 500 \, N/C.

$$E = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{0.09} = 8.99 \times 10^9 \cdot 55.56 \times 10^{-6} \approx 500 \, N/C.$$

3. Exercise 3: Electric Potential

• Calculate the electric potential at a distance of 0.2 m from a charge of Q = 10 \, \mu C$Q = 10 \, \mu C$.
• Solution:

V = k \frac{Q}{r} = 8.99 \times 10^9 \frac{10 \times 10^{-6}}{0.2}

$$V = k \frac{Q}{r} = 8.99 \times 10^9 \frac{10 \times 10^{-6}}{0.2}$$

V = 8.99 \times 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6} = 449.5 \times 10^3 \, V = 449500 \, V.

$$V = 8.99 \times 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6} = 449.5 \times 10^3 \, V = 449500 \, V.$$

4. Exercise 4: Force on a Charge in an Electric Field

• An electric field of E = 2000 \, N/C$E = 2000 \, N/C$ acts on a charge of q = 4 \, \mu C$q = 4 \, \mu C$. Calculate the force acting on the charge.
• Solution:
  Let's calculate the force acting on a charge of q = 4 \mu C$q = 4 \mu C$ in an electric field of E = 2000 N/C:

F = qE = (4 \times 10^{-6} \, C) \cdot (2000 \, N/C) = 8 \times 10^{-3} \, N = 0.008 \, N.

$$F = qE = (4 \times 10^{-6} \, C) \cdot (2000 \, N/C) = 8 \times 10^{-3} \, N = 0.008 \, N.$$

• Therefore, the force acting on the charge is 0.008 N.

Exercise 5: Electric Potential Energy

• Calculate the electric potential energy of a charge of q = 3 \, \mu C$q = 3 \, \mu C$ positioned at a point where the electric potential is V = 1500 \, V$V = 1500 \, V$.
• Solution:

U = qV = (3 \times 10^{-6} \, C) \cdot (1500 \, V) = 4.5 \times 10^{-3} \, J = 0.0045 \, J.

$$U = qV = (3 \times 10^{-6} \, C) \cdot (1500 \, V) = 4.5 \times 10^{-3} \, J = 0.0045 \, J.$$

• So, the electric potential energy is 0.0045 J.

Exercise 6: Electric Field of an Electric Dipole

• An electric dipole is formed by two charges of +q = 2 \, \mu C$+q = 2 \, \mu C$ and -q = -2 \, \mu C$-q = -2 \, \mu C$ separated by a distance of d = 0.1 \, m$d = 0.1 \, m$. Calculate the dipole moment p$p$ of the dipole.
• Solution:

p = q \cdot d = (2 \times 10^{-6} \, C) \cdot (0.1 \, m) = 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m.

$$p = q \cdot d = (2 \times 10^{-6} \, C) \cdot (0.1 \, m) = 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m.$$

• So, the dipole moment of the dipole is 2 \times 10^{-7} \, C \cdot m$2 \times 10^{-7} \, C \cdot m$.

Exercise 7: Force Between Electric Dipoles

• Two electric dipoles, each with a dipole moment of p = 1 \times 10^{-6} \, C \cdot m$p = 1 \times 10^{-6} \, C \cdot m$, are placed at a distance of 0.5 \, m$0.5 \, m$ from each other. Calculate the force between them.
• Solution:
• The force between two electric dipoles can be calculated using the formula:

F = \frac{3k \cdot p_1 \cdot p_2}{r^4}

$$F = \frac{3k \cdot p_1 \cdot p_2}{r^4}$$

where p_1$p_1$ and p_2$p_2$ are the dipole moments and r$r$ is the distance between the dipoles.

• Substituting the values:

F = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-6})^2}{(0.5)^4} = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-12})}{0.0625}

$$F = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-6})^2}{(0.5)^4} = \frac{3 \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1 \times 10^{-12})}{0.0625}$$

F = \frac{26.97 \times 10^{-3}}{0.0625} \approx 431.52 \, N.

$$F = \frac{26.97 \times 10^{-3}}{0.0625} \approx 431.52 \, N.$$

• So, the force acting between the two dipoles is approximately 431.52 N.