Esercizi sulle Sommatorie

Esercizi sulle Sommatorie

Esercizi sulle Sommatorie

Versione italiana

Esercizi sulle Sommatorie

Introduzione

Le sommatorie sono un modo per esprimere la somma di una sequenza di numeri. Sono utilizzate in vari campi della matematica, dalla statistica all'analisi combinatoria.

Concetti Chiave

1. Notazione di Sommatoria: La notazione di sommatoria è espressa come:
   \sum_{i=a}^{b} f(i) $\sum_{i=a}^{b} f(i)$
   dove f(i)$f(i)$ è la funzione da sommare, a$a$ è l'indice di partenza e b$b$ è l'indice finale.

2. Proprietà delle Sommatorie:

   • Linearità:
     \sum_{i=a}^{b} (c \cdot f(i) + d \cdot g(i)) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} f(i) + d \cdot \sum_{i=a}^{b} g(i) $\sum_{i=a}^{b} (c \cdot f(i) + d \cdot g(i)) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} f(i) + d \cdot \sum_{i=a}^{b} g(i)$
   • Sommatoria di Costanti:
     \sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (b - a + 1) $\sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (b - a + 1)$

3. Sommatoria di Sequenze Famosi:

   • Somma dei Primi n$n$ Numeri Naturali:
     \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}$
   • Somma dei Primi n$n$ Numeri Quadrati:
     \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo di una Sommatoria Semplice

Obiettivo: Calcolare la somma \sum_{i=1}^{5} i$\sum_{i=1}^{5} i$.

Soluzione:

1. Utilizza la formula per la somma dei primi n$n$ numeri naturali:
   \sum_{i=1}^{5} i = \frac{5(5 + 1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 $\sum_{i=1}^{5} i = \frac{5(5 + 1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

Esercizio 2: Sommatoria di una Funzione Lineare

Obiettivo: Calcolare \sum_{i=1}^{4} (2i + 1)$\sum_{i=1}^{4} (2i + 1)$.

Soluzione:

1. Scomponi la sommatoria:
   \sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = \sum_{i=1}^{4} 2i + \sum_{i=1}^{4} 1 $\sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = \sum_{i=1}^{4} 2i + \sum_{i=1}^{4} 1$
2. Calcola ciascuna parte:
   • \sum_{i=1}^{4} 2i = 2 \cdot \sum_{i=1}^{4} i = 2 \cdot 10 = 20$\sum_{i=1}^{4} 2i = 2 \cdot \sum_{i=1}^{4} i = 2 \cdot 10 = 20$
   • \sum_{i=1}^{4} 1 = 4$\sum_{i=1}^{4} 1 = 4$
3. Somma i risultati:
   20 + 4 = 24 $20 + 4 = 24$

Esercizio 3: Somma dei Quadrati

Obiettivo: Calcolare \sum_{i=1}^{3} i^2$\sum_{i=1}^{3} i^2$.

Soluzione:

1. Utilizza la formula per la somma dei quadrati:
   \sum_{i=1}^{3} i^2 = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14 $\sum_{i=1}^{3} i^2 = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$

English version

Summations Exercises

Introduction

Summs are a way of expressing the sum of a sequence of numbers. They are used in various fields of mathematics, from statistics to combinatorial analysis.

Key Concepts

1. Sum Notation: Summation notation is expressed as:
   \sum_{i=a}^{b} f(i) $\sum_{i=a}^{b} f(i)$
   where f(i)$f(i)$ is the function to be summed, a$a$ is the starting index, and b$b$ is the final index.

2. Properties of Sums:

• Linearity:
  \sum_{i=a}^{b} (c \cdot f(i) + d \cdot g(i)) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} f(i) + d \cdot \sum_{i=a}^{b} g(i) $\sum_{i=a}^{b} (c \cdot f(i) + d \cdot g(i)) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} f(i) + d \cdot \sum_{i=a}^{b} g(i)$
• Sum of Constants:
  \sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (b - a + 1) $\sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (b - a + 1)$

3. Sum of Famous Sequences:

• Sum of the First n$n$ Natural Numbers:
  \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}$
• Sum of the First n$n$ Square Numbers:
  \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Exercises

Exercise 1: Calculating a Simple Sum

Objective: Calculate the sum \sum_{i=1}^{5} i$\sum_{i=1}^{5} i$.

Solution:

1. Use the formula for the sum of the first n$n$ natural numbers:
   \sum_{i=1}^{5} i = \frac{5(5 + 1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 $\sum_{i=1}^{5} i = \frac{5(5 + 1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

Exercise 2: Sum of a Linear Function

Objective: Calculate \sum_{i=1}^{4} (2i + 1)$\sum_{i=1}^{4} (2i + 1)$.

Solution:

1. Factor the sum:
   \sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = \sum_{i=1}^{4} 2i + \sum_{i=1}^{4} 1 $\sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = \sum_{i=1}^{4} 2i + \sum_{i=1}^{4} 1$
2. Calculate each part:

• \sum_{i=1}^{4} 2i = 2 \cdot \sum_{i=1}^{4} i = 2 \cdot 10 = 20$\sum_{i=1}^{4} 2i = 2 \cdot \sum_{i=1}^{4} i = 2 \cdot 10 = 20$
• \sum_{i=1}^{4} 1 = 4$\sum_{i=1}^{4} 1 = 4$

3. Add the results:
   20 + 4 = 24 $20 + 4 = 24$

Exercise 3: Sum of Squares

Objective: Calculate \sum_{i=1}^{3} i^2$\sum_{i=1}^{3} i^2$.

Solution:

1. Use the formula for the sum of squares:
   \sum_{i=1}^{3} i^2 = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14 $\sum_{i=1}^{3} i^2 = \frac{3(3 + 1)(2 \cdot 3 + 1)}{6} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$