Esercizi sulle Serie

Esercizi sulle Serie

Esercizi sulle Serie

Versione italiana

Esercizi sulle Serie

Concetti Chiave

1. Definizione di Serie:
   Una serie è la somma dei termini di una successione. Se a_n$a_n$ è una successione, la serie associata è data da:

   S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n

   $$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

2. Serie Finite e Infinite:

   • Serie Finite: Ha un numero finito di termini.
   • Serie Infinita: Ha un numero infinito di termini.

3. Convergenza e Divergenza:

   • Una serie converge se la somma dei suoi termini tende a un numero finito.
   • Una serie diverge se la somma dei suoi termini tende a infinito o non ha un limite.

4. Test di Convergenza:
   Esistono vari test per determinare la convergenza di una serie, tra cui:

   • Test del termine generale: Se \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, la serie diverge.
   • Test del confronto: Confronta la serie con un'altra serie nota.
   • Test della serie geometrica: La serie \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ converge se |r| < 1$|r| < 1$.

5. Serie di Potenze:
   Una serie di potenze ha la forma:

   \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

   $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$$

   dove c$c$ è il centro della serie e a_n$a_n$ sono i coefficienti.

Esercizi

Esercizio 1: Somma di una Serie Finita

Problema: Calcola la somma della serie finita S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$.

Soluzione:

1. Utilizza la formula per la somma dei primi n$n$ numeri naturali:

   S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

   $$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
   dove n = 10$n = 10$:

   S = \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

   $$S = \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$$

Esercizio 2: Convergenza di una Serie Infinita

Problema: Determina se la serie S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge o diverge.

Soluzione:

1. Utilizza il test del termine generale:

   \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$

   Poiché il limite è zero, non possiamo concludere la convergenza.

2. Utilizza il test di confronto con la serie S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ per p = 2$p = 2$:

   • La serie converge per p > 1$p > 1$.
   • Quindi, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge.

Esercizio 3: Test della Serie Geometrica

Problema: Determina la convergenza della serie S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Soluzione:

1. Identifica a = 1$a = 1$ e r = \frac{1}{2}$r = \frac{1}{2}$.
2. Poiché |r| < 1$|r| < 1$, la serie converge.
3. Calcola la somma:

   S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

   $$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$

English version

Series Exercises

Key Concepts

1. Definition of Series:
   A series is the sum of the terms of a sequence. If a_n$a_n$ is a sequence, the associated series is given by:

S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

2. Finite and Infinite Series:

• Finite Series: It has a finite number of terms.
• Infinite Series: It has an infinite number of terms.

3. Convergence and Divergence:

• A series converges if the sum of its terms tends to a finite number.
• A series diverges if the sum of its terms tends to infinity or has no limit.

4. Convergence Test:
   There are several tests to determine the convergence of a series, including:

• General Term Test: If \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, the series diverges.
• Comparison Test: Compare the series to another known series.
• Geometric Series Test: The series \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ converges if |r| < 1$|r| < 1$.

5. Power Series:
   A power series has the form:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n$$

where c$c$ is the center of the series and a_n$a_n$ are the coefficients.

Exercises

Exercise 1: Sum of a Finite Series

Problem: Calculate the sum of the finite series S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10$.

Solution:

1. Use the formula for the sum of the first n$n$ natural numbers:

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

where n = 10$n = 10$:

S = \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

$$S = \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$$

Exercise 2: Convergence of an Infinite Series

Problem: Determine whether the series S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converges or diverges.

Solution:

1. Use the general term test:

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$

Since the limit is zero, we cannot conclude convergence.

2. Use the comparison test with the series S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ for p = 2$p = 2$:

• The series converges for p > 1$p > 1$.
• Therefore, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converges.

Exercise 3: Geometric Series Test

Problem: Determine the convergence of the series S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Solution:

1. Identify a = 1$a = 1$ and r = \frac{1}{2}$r = \frac{1}{2}$.
2. Since |r| < 1$|r| < 1$, the series converges.
3. Calculate the sum:

S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

$$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$